2023屆云南省紅河州高三第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題

2023屆云南省紅河州高三第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，然后由并集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，所以，又由，得，所以，于是，故選：C．2．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由共軛復(fù)數(shù)定義得，，所以．故選:A．3．已知函數(shù)（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)得出，繼而由周期公式得出.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個對稱中心之間的距離為，知，，又因為，所以，即，則．故選：B．4．《九章算術(shù)》作為古代中國的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”．今有圓亭，被一過上底圓周上一點且垂直于底面的平面所截，截面交圓亭下底于，若尺，劣弧上的點到弦的距離的最大值為6寸，圓亭母線長為10寸，則該圓亭的體積約為（1尺寸，）（

）A．3528立方寸 B．4410立方寸 【答案】A【分析】設(shè)圓臺上底半徑為，下底半徑為，利用勾股定理求出底面圓半徑，再利用勾股定理求出高，再根據(jù)圓臺的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)圓臺上底半徑為，下底半徑為，則，所以（寸），（寸），設(shè)圓臺的高為，（寸），所以圓臺的體積為：（立方寸）．故選：A．5．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了解居民節(jié)約用水的意識，隨機調(diào)查了100戶居民某年的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：立方米），制成如圖所示的頻率分布直方圖．下列說法正確的是（

）A．該組樣本數(shù)據(jù)的極差是4立方米C．可估計全市居民用戶月均用水量的眾數(shù)的估計值是2立方米D．可估計全市居民用戶中月均用水量超過3立方米的約占15%【答案】D【分析】根據(jù)題意，由頻率分布直方圖對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖無法得到這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故無法準(zhǔn)確判斷這組數(shù)據(jù)的極差，故A錯誤．對于B選項，因為，，設(shè)中位數(shù)為，由得，故B錯誤．對于C選項，眾數(shù)為：，故C錯誤．對于D選項，月均用水量超過3立方米的頻率為，故D正確．故選:D．6．已知為第三象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，三者之間的關(guān)系，結(jié)合余弦的二倍角公式即可求解，進而可求解正切.【詳解】因為，兩邊平方得，即，又因為為第三象限角，且，所以，，所以，所以，則．故．故選：D．7．若函數(shù)與函數(shù)（且）的圖像有且僅有一個交點，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分，分別做出分段函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，由，得當(dāng)時，的周期．設(shè)，則，做出分段函數(shù)的圖像，如圖當(dāng)時，由圖可知，顯然成立．當(dāng)時，則，，即．綜上所述，且．故選:C．8．已知，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，為虛軸的一個端點，為坐標(biāo)原點，直線與的一條漸近線交于點，若與的面積相等，則的離心率為（

）A． B．2 C．或 D．2或【答案】B【分析】根據(jù)題意可得直線的方程，由條件可得，然后根據(jù)兩個三角形的面積相等，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，由已知，得，，直線的方程為，若點在第一象限，則聯(lián)立直線與直線，得，，即；若點在第二象限，聯(lián)立直線與直線，得，同理可得；分別設(shè)點和點到直線的距離為，，則，由與的面積相等，得，即，所以離心率．故選:B二、多選題9．在不透明的甲、乙兩個盒子中分別裝有除標(biāo)號外完全相同的小球，甲盒中有4個小球，標(biāo)號分別為1，2，3，4，乙盒中有3個小球，標(biāo)號分別為5，6，7．現(xiàn)從甲、乙兩個盒里分別隨機抽取一個小球，記事件“取到標(biāo)號為2的小球”，事件“取到標(biāo)號為6的小球”，事件“兩個小球標(biāo)號都是奇數(shù)”，事件“兩個小球標(biāo)號之和大于9”，則（

）A．事件與事件相互獨立 B．事件與事件互斥C． D．【答案】ACD【分析】窮舉出所有樣本空間，根據(jù)題意和古典概型求取對應(yīng)事件概率即可.【詳解】從甲盒、乙盒里分別隨機抽取一個小球的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，共12種．事件：，，，；事件：，，，，，，，故A正確；事件和事件都有，事件與事件不互斥，故B不正確；事件：，，，，，故C正確；事件：，，，，，，故D正確．故選：A、C、D．10．如圖所示，在中，，，，分別是邊上的兩個三等分點，是的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運算法則化簡以，可判定A正確；設(shè)和，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則，可判定B正確；根據(jù)數(shù)量積的運算法則，可判定C正確；由，可判定D錯誤．【詳解】由，所以，所以A正確；由，設(shè)，因為，所以，即，可得，則，所以B正確；由，所以C正確；由，所以，所以D錯誤．故選：ABC．11．已知曲線：，則（

）A．當(dāng)時，是雙曲線，其漸近線方程為B．當(dāng)時，是橢圓，其離心率為C．當(dāng)時，是圓，其圓心為，半徑為D．當(dāng)，時，是兩條直線【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐曲線的方程及其性質(zhì)，對選項逐個驗證即可．【詳解】對于選項A，或，當(dāng)時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，當(dāng)時，原方程可化為，所以是焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，故A正確；對于選項B，當(dāng)時，，原方程可化為，所以是焦點在軸上的橢圓，所以，所以，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，原方程可化為，所以是圓，其圓心為，半徑為，故C正確；對于選項D，若，時，原方程可化為，當(dāng)時，，此時是兩條直線，當(dāng)時，上面方程無解，此時不表示任何圖形，故D錯誤．故選：AC．12．在棱長為2的正方體中，下列選項正確的是（

）A．若是側(cè)面的中心，則B．若是的中點，是正方形內(nèi)的動點，且平面，則的軌跡的長度為C．若是上的點，且，，則當(dāng)?shù)拿娣e最小時，D．若，分別是，的中點，平面，則【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，可判斷A錯誤；分別取，的中點，，連接，，，根據(jù)平面平面，得到點的軌跡為線段，可判定B正確；以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，求得，設(shè)到的距離為，求得，進而可判定C正確；設(shè)，根據(jù)空間向量的基本定理，列出方程組求得，進而可判定D正確．【詳解】對于A中，如圖所示，可得，所以A錯誤；對于B中，如圖所示，分別取，的中點，，連接，，，因為，且平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為平面，平面，且，所以平面平面，所以點的軌跡為線段，所以，故B正確；對于C中，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．由，得，，所以，同理可得，所以，設(shè)到的距離為，又因為，則．因為，要使的面積最小，即要最小，此時，所以C正確；對于D中，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，即，則，而，即，所以，解得，所以，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題13．若函數(shù)是偶函數(shù)，則______．【答案】1【分析】設(shè),由題意可得是奇函數(shù)，根據(jù)，求解即可.【詳解】解：設(shè),因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以，解得．經(jīng)檢驗滿足題意，故答案為：114．已知拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，若上存在兩點，，使為等邊三角形，則______．【答案】13【分析】根據(jù)題意可求出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到點的坐標(biāo)，進而利用拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)在第一象限，由對稱性知直線的方程為．由，得，即．因為的準(zhǔn)線為，所以．故答案為：13.15．若是函數(shù)的極小值點，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______．【答案】##【分析】求導(dǎo)，根據(jù)極值點可得，進而解得或，代入驗證極值點可確定，進而根據(jù)極大值以及端點處的函數(shù)值進行比較即可求解.【詳解】由，得，因為是函數(shù)的極小值點，所以，即，即，解得或．當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，是函數(shù)的極大值點，故又因為，，所以函數(shù)在的最大值為．故答案為：．16．在數(shù)列中，，且，設(shè)，其中為常數(shù)．若是遞減數(shù)列，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系式可得數(shù)列等差數(shù)列，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，顯然，．又，所以，所以．又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以．所以因為是遞減數(shù)列，即，，即，代入可整理得恒成立，，令，，，所以最大值為，所以．故答案為：．四、解答題17．已知等差數(shù)列的公差，，其前項和為，且______．在①，，成等比數(shù)列；②；③這三個條件中任選一個，補充在橫線上，并回答下列問題．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）條件①：利用等比中項列式性質(zhì)列式計算求出公差；條件②利用等差數(shù)列前項和公式列式計算；條件③利用因式分解求出公差即可.（2）對項數(shù)進行分類，利用分組求和求出前項和.【詳解】（1）若選擇條件①．因為，，成等比數(shù)列，所以，，整理得，又，解得，所以數(shù)列的通項公式為．若選擇條件②．因為，所以，，解得，所以數(shù)列的通項公式為，若選擇條件③．因為，所以，即，因為，，所以，所以，則數(shù)列的通項公式為（2）解法一：解法二：18．某市教育行政部門為開展普及法律常識的宣傳教育活動，增強學(xué)生的法律意識，提高自身保護能力，在全市中小學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次法律常識知識競賽（滿分100分），現(xiàn)從所有參賽學(xué)生的競賽成績中隨機抽取200份，經(jīng)統(tǒng)計，這200份成績?nèi)拷橛谥g，將數(shù)據(jù)按照，，……，分成七組，得到如下頻數(shù)分布表：競賽成績（單位：分）人數(shù)（單位：人）6143074422311(1)試估計該市競賽成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和第80百分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；(2)以樣本頻率值作為概率的估計值，若從該市所有參與競賽的學(xué)生中，隨機抽取3名學(xué)生進行座談，設(shè)抽到60分及以上的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)以及百分位數(shù)的計算公式即可求解,（2）根據(jù)二項分布即可求解概率，進而可求解分布列以及期望.【詳解】（1）平均分前4組頻率之和為，前5組頻率之和為，故第80百分位數(shù)位于第5組設(shè)第80百分位數(shù)為，則則該市競賽成績的平均分和第80百分位數(shù)分別約為67.3和78.6．（2）抽到60分及以上的學(xué)生的概率為，由題意，的可能取值為0，1，2，3，且服從，則，，，，所以的分布列為：0123所以或．19．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出的范圍，即可得的范圍，即可得證；（2）根據(jù)二倍角的余弦公式可得，設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又因為，所以；（2），設(shè)，則，因為，所以，設(shè)，由，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值為，所以的最大值為.20．如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直．(1)若為線段上的一個動點，證明：∥平面(2)若，，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)或．【分析】（1）根據(jù)題意，先證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理即可證明線面平行；（2）根據(jù)題意，取的中點為，連接，以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，再結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：由題知，四邊形為矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，又因為，，平面所以平面平面，又因為為線段上的一個動點，所以平面，所以平面．（2）因為平面平面，平面平面，，平面所以平面．又因為底面為菱形，且，，所以為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點為，連接，以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，即．設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡可得，解得或設(shè)點到平面的距離為，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則故點到平面的距離為或．21．已知橢圓：的焦距為2，，分別是的左焦點和右頂點，點在上，且．(1)求的方程；(2)若，直線：與交于不同兩點，，的內(nèi)切圓的圓心在直線上，求直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得為橢圓的左頂點，列出方程即可求得,從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可得，列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以又由，得，為橢圓的左頂點，，解得，分所以，故的方程為（2）由的內(nèi)切圓的圓心在直線上，知直線，關(guān)于直線對稱，所以直線，的傾斜角互補，即．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，，所以，即，即，即．若即，直線的方程為，此時直線過點，不合題意，所以，即，故直線的斜率為．22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分，和討論導(dǎo)函數(shù)的正負，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解即可；（3）結(jié)合前面的解析，取時，則，利用不