2023屆北京市第四中學(xué)高三階段性考試（零模）數(shù)學(xué)試題

2023屆北京市第四中學(xué)高三階段性考試（零模）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再求交集.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2．復(fù)數(shù)的模（）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】首先根據(jù)體題意得到，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】，所以.故選：D3．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，若，，則與的位置關(guān)系是平行，相交和異面，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得與的位置關(guān)系是平行，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故D錯(cuò)誤.故選：C4．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.5．設(shè)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】先分析四個(gè)答案，A舉一反例，而，A錯(cuò)誤，B舉同樣反例，，而，B錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，故D錯(cuò)，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，是等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于，則，故選C.【解析】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問(wèn)題，重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查.6．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，繼而由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷即可.【詳解】，.因?yàn)椋?，所以，?由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，，故A錯(cuò)誤；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，故B正確；因?yàn)椋?，所以，故C錯(cuò)誤；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，故D錯(cuò)誤；故選：B7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B8．函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)在上（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．最大值為 D．最小值為【答案】C【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定的范圍，進(jìn)而由余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，，則當(dāng)時(shí)，.而函數(shù)在上先增后減，即函數(shù)在上先增后減，有最大值.故選：C9．明朝早起，鄭和七下西洋過(guò)程中，將中國(guó)古代天體測(cè)量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)的航海技術(shù)——“過(guò)洋牽星術(shù)”，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是通過(guò)觀測(cè)不同季節(jié)?時(shí)辰的日月星辰在填空運(yùn)行的位置和測(cè)量星辰在海面以上的高度來(lái)判斷水位.其采用的主要工具是牽星板，其由塊正方形模板組成，最小的一塊邊長(zhǎng)約(稱一指)，木板的長(zhǎng)度按從小到大均兩兩相差，最大的邊長(zhǎng)約(稱十二指).觀測(cè)時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀測(cè)的星辰依高低不停替換?調(diào)整木板，當(dāng)被測(cè)星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指板，觀測(cè)的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示，若在一次觀測(cè)中，所用的牽星板為六指板，則約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到六指，進(jìn)而得到，再結(jié)合二倍角的正弦公式和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】由題意知：六指為，所以，所以，.故選：D10．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)結(jié)合題設(shè)條件得出，兩邊取對(duì)數(shù)，結(jié)合等比定義以及求和公式求解即可.【詳解】，，，則兩邊取對(duì)數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A二、填空題11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則_________【答案】2【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程可直接求解.【詳解】由拋物線，得準(zhǔn)線方程為，由題意，，得．故答案為：2．12．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____________.【答案】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，令的指數(shù)為即可求解.【詳解】解：由得，令，故答案為：.13．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則_________.【答案】##【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得的值.【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.故答案為：.14．能夠說(shuō)明“若，則”是假命題的一組非零實(shí)數(shù)，的值依次為_(kāi)__________.【答案】，(答案不唯一)【分析】根據(jù)反比例函數(shù)在各自象限具有單調(diào)性知：在各區(qū)間取一個(gè)數(shù)即有，即可確定，的值.【詳解】只要第個(gè)數(shù)大于，第個(gè)數(shù)小于即可，即，故答案為：，.15．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是空間中任意一點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；②若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則過(guò)，，三點(diǎn)的正方體截面面積的最小值為；③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；④若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)有________．【答案】①③④【分析】由平面判斷①；由向量法判斷②；由等體積法判斷③；將與四邊形沿展開(kāi)在同一平面上，由余弦定理得出的最小值.【詳解】對(duì)于①：如下圖，連接，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以，由線面垂直的判定可知，平面，因?yàn)槠矫妫?，故①正確；對(duì)于②：在上取一點(diǎn)，使得，連接，易知，且，即四點(diǎn)共面，即過(guò)，，三點(diǎn)的截面為截面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系：，因?yàn)?，，所以截面的面積為，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)的正方體截面面積最小值為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如下圖，由已知得，所以直線上所有點(diǎn)到平面的距離相等，又，而是一個(gè)定值，所以三棱錐體積為定值，故③正確；對(duì)于④：如下圖，將與四邊形沿展開(kāi)在同一平面上，由圖可知，線段的長(zhǎng)度即為的最小值，在中，，故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題時(shí)，常需證明線線，線面，面面間的平行和垂直關(guān)系，從而得出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，存在的不變的位置關(guān)系，存在著面積或體積的定值.三、解答題16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，．已知．(1)求角的大小；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式得出角的大?。唬?）選①：由余弦定理以及判別式求解即可；選②：由余弦定理得出，進(jìn)而求出面積；選③：由正弦定理得出，進(jìn)而由余弦定理得出，即可得解..【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)椋?（2）選①：由余弦定理可得，.即，此時(shí)，無(wú)解，不合題意.選②：由余弦定理可得，整理得，解得或（舍），即.滿足存在且唯一確定，則的面積為.選③：，由正弦定理可得.由余弦定理可得，，即.解得，當(dāng)時(shí)，，不合題意；所以，滿足存在且唯一確定，則的面積為17．某校工會(huì)開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月1日至3月7日的微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)下圖是校工會(huì)根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名（按照從大到小排序）分別為第68和第142，請(qǐng)指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說(shuō)明理由）．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)3月3日【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.（2）根據(jù)題意得到，，，，再寫出分布列數(shù)學(xué)期望即可.（3）根據(jù)折線圖和頻率分布直方圖求解即可.【詳解】（1）令時(shí)間A為“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000”，從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天中，甲乙微信記步數(shù)都不低于10000，故.（2）由（1）知：，，，，的分布列為：（3）根據(jù)頻率分步直方圖知：微信記步數(shù)落在，，，，（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為人，人，人，人，人，由甲微信記步數(shù)排名第68，可知當(dāng)天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬(wàn)之間，根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當(dāng)天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬(wàn)之間，根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.18．如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，，(1)求證：；(2)若與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)與平面所成角的正弦值求得，進(jìn)而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知，，由于平面，平面，所以平面.由于平面，平面平面，所以.（2）由于平面，平面，所以，由于是的中點(diǎn)，所以，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以，解得或，當(dāng)，即時(shí)，,當(dāng)，即時(shí)，.19．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是頂角為120°的等腰三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意得到，，，即可得到答案.（2）設(shè)，，將橢圓向上平移1個(gè)單位得到，則，，設(shè)直線為，得到，根據(jù)得到，從而得到直線恒過(guò)，再將向下平移一個(gè)單位即可.【詳解】（1）由題知：，，，所以.（2）設(shè)，，將橢圓向上平移1個(gè)單位得到，則，，設(shè)直線為，則，即，，所以，即.所以直線為，即，恒過(guò)點(diǎn).將向下平移1個(gè)單位得到，即直線過(guò)定點(diǎn).綜上：直線過(guò)定點(diǎn).20．已知函數(shù)，函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）討論、、三種情況，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，討論、兩種情況，確定的單調(diào)性，從而由的零點(diǎn)個(gè)數(shù)證明曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)且時(shí)，，，則，函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上即證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題（2）時(shí)，關(guān)鍵在于將兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，進(jìn)而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).21．已知集合，若集合，且對(duì)任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底．(1)分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；(3)若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得不是的一個(gè)二元基底.，是的一個(gè)二元基底.．（2）設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得，即．（3）由（2）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得的最小可能值為5．【詳解】（1）①不是的一個(gè)二元基底.理由是；②是的一個(gè)二元基底.理由是，.（2）不妨設(shè)，則形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè).又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.故，即.（3）由（2）可知，所以.當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè).*假設(shè)為的一個(gè)4元基底，不妨設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，