2023屆山東省濟(jì)寧市高三二模擬數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省濟(jì)寧市高三二模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出從而求出其所在的象限即可．【詳解】，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選:C．2．已知集合，，若，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)得出或，分別求出的值，并檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性，即可得出的值．【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，即，則，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，所以，故選：D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩直線平行得出的值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，或.故選：A4．為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之間的溝通，凝聚班級(jí)集體的力量，激發(fā)學(xué)生熱愛體育的熱情．某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為（

）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】B【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類求解可得.【詳解】當(dāng)甲排第1棒時(shí)，乙可排第2棒或第4棒，共有種；當(dāng)甲排第2棒時(shí)，乙只能排第4棒，共有.故甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為種.故選：B5．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程．【詳解】圓的圓心為，半徑為2，以、為直徑,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)圓的兩條切線切點(diǎn)分別為A，B，所以是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為：.故選：A．6．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊上的高為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得.【詳解】如圖，邊上的高為CD,因?yàn)?，所以所以，由勾股定理可得，由余弦定理可?故選：B7．、為兩條直線，為兩個(gè)平面，滿足：與的夾角為與之間的距離為2．以為軸將旋轉(zhuǎn)一周，并用截取得到兩個(gè)同頂點(diǎn)(點(diǎn)在平面與之間)的圓錐．設(shè)這兩個(gè)圓錐的體積分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】?jī)蓚€(gè)圓錐的軸截面如下圖所示，設(shè)，由題意表示出，，再由圓錐的體積公式求出，令，對(duì)求導(dǎo)，即可求出的最小值即的最小值.【詳解】?jī)蓚€(gè)圓錐的軸截面如下圖所示，分別為兩圓錐的底面圓的圓心，設(shè)半徑分別為，，直線分別為兩圓錐與的交線，因?yàn)榕c之間的距離為2，所以設(shè)，因?yàn)榕c的夾角為，所以，由圓錐的性質(zhì)知，，所以為等邊三角形，所以,所以，同理，所以，，令，解得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.所以的最小值為.故選：D.8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，可得的單調(diào)性和最值，可知，得出，同理構(gòu)造，可得，即可得出答案.【詳解】令，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由可知，設(shè)，則在區(qū)間上是減函數(shù)．且．所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．所以，即．即：．故選：A．二、多選題9．下表是某校高三（1）班三名同學(xué)在高三學(xué)年度的六次數(shù)學(xué)測(cè)試中的分?jǐn)?shù)及班級(jí)平均分表．下列敘述中正確的是（

）學(xué)生測(cè)試序號(hào)第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲同學(xué)138127131132128135乙同學(xué)130116128115126120丙同學(xué)108105113112115123班級(jí)平均分A．甲同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平B．乙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不穩(wěn)定，總在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)C．丙同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終低于班級(jí)平均水平D．通過與班級(jí)平均分的對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高【答案】ABD【分析】將每位同學(xué)的成績(jī)與班級(jí)平均分比較，判斷正誤.【詳解】甲同學(xué)每次成績(jī)都高于平均分，故A正確；乙同學(xué)3次成績(jī)高于平均分，3次成績(jī)低于平均分，故B正確；丙同學(xué)第6次成績(jī)高于平均分，故C正確；丙同學(xué)成績(jī)逐漸提升，且第6次成績(jī)高于平均分，故D正確.故選：ABD.10．已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判斷A，C選項(xiàng),特殊值法判斷B，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故A正確，當(dāng),,則,故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故C正確;當(dāng)時(shí),則，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最大值為2B．面積的最大值為C．D．若數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則【答案】AB【分析】關(guān)于直線對(duì)稱，且都在圓上，根據(jù)圖象結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算判斷AC；當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，，此時(shí)的面積取最大值，從而判斷B；由三角恒等變換得出，結(jié)合周期性判斷D.【詳解】易知關(guān)于直線對(duì)稱，且都在圓上，對(duì)于AC：由圖可知，當(dāng)直線過原點(diǎn)，且垂直于直線時(shí)，取最大值，此時(shí)，，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，，的面積取最大值，此時(shí)的面積為，故B正確；對(duì)于D：由題意，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)的周期為3，因?yàn)椋?故D錯(cuò)誤；故選：AB12．已知正方體的棱長(zhǎng)為為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為線段上任一點(diǎn)，則與所成角的范圍為B．若為正方形的中心，則三棱雉外接球的體積為C．若在正方形內(nèi)部，且，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為D．若三棱雉的體積為恒成立，點(diǎn)軌跡的為橢圓的一部分【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)異面直線夾角分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意分析可得與的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合錐體的體積公式分析運(yùn)算；對(duì)于C：分析可得，結(jié)合圓的周長(zhǎng)分析運(yùn)算；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.【詳解】對(duì)于A：過點(diǎn)作//交于點(diǎn)，連接．則即為與所成角的平面角，且．當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)A向點(diǎn)移動(dòng)的過程中，點(diǎn)由點(diǎn)D向點(diǎn)移動(dòng),線段逐漸變長(zhǎng)，逐漸變短,所以逐漸變大．又當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)A處時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，．故A正確．對(duì)于B：由題意可知：平面，平面，則，又因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，則，故和均為直角三角形．所以與的交點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，半徑，此外接球的體積．故B不正確．對(duì)于：由題意可知：平面，平面，則，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，滿足，故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的四分之一圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，C正確．對(duì)于D：設(shè)三棱錐的高為，由三棱錐的體積為，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．對(duì)于三棱錐，設(shè)高為，由體積可得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為，可得：點(diǎn)到平面的距離為，平面與平面的距離為，故點(diǎn)在平面或?yàn)辄c(diǎn)，若，空間點(diǎn)的軌跡為以為軸的圓錐表側(cè)面，顯然點(diǎn)不滿足題意，設(shè)與平面所成的角為，則，故平面與圓錐側(cè)面相交，且平面與不垂直，故平面與圓錐的截面為橢圓，顯然點(diǎn)不合題意，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法定睛：在立體幾何中，某些點(diǎn)、線、面按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成各式各樣的軌跡，探求空間軌跡與探求平面軌跡類似，應(yīng)注意幾何條件，善于基本軌跡轉(zhuǎn)化．對(duì)于較為復(fù)雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的動(dòng)點(diǎn)的位置，然后對(duì)任意情形加以分析判定，也可轉(zhuǎn)化為平面問題．對(duì)每一道軌跡命題必須特別注意軌跡的純粹性與完備性．三、填空題13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】利用條件和拋物線的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，又，所以由拋物線的定義知，得到，又由，得到，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：.14．已知，函數(shù)，，則________．【答案】【分析】根據(jù)自變量的大小帶入相應(yīng)解析式列方程可解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：15．在排球比賽的小組循環(huán)賽中，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制．甲、乙兩隊(duì)小組賽中相見，積分規(guī)則如下：以或獲勝的球隊(duì)積3分，落敗的球隊(duì)積0分；以獲勝的球隊(duì)積2分，落敗的球隊(duì)積1分．若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為0.6，則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下，甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概率是________．(用分?jǐn)?shù)表示)【答案】【分析】設(shè)“甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分”為事件，“甲隊(duì)前2局比賽都獲勝”為事件，分甲隊(duì)以或獲勝，求得，再由條件概率公式求解即可.【詳解】甲隊(duì)以獲勝，即三局都是甲勝，概率是，甲隊(duì)以獲勝，即前三局有兩局甲勝，第四局甲勝，概率是，設(shè)“甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分”為事件，“甲隊(duì)前2局比賽都獲勝”為事件，甲隊(duì)以獲勝，即前2局都是甲勝，第4局甲勝，概率是，則，，則在甲隊(duì)本場(chǎng)比賽所得積分為3分的條件下，甲隊(duì)前2局比賽都獲勝的概率.故答案為：.16．已知向量、不共線，夾角為，且，，，若，則的最小值為________．【答案】【分析】依題意作出如下圖形，令，，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及橢圓的定義得到點(diǎn)的軌跡，求出其軌跡方程，由的取值范圍，得到時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再代入橢圓方程計(jì)算可得.【詳解】如圖及為平行四邊形，，，令，，則，，因?yàn)?，即，由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓其中、，所以其軌跡方程為，因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代人橢圓得，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是結(jié)合平面向量線性運(yùn)算法則及橢圓的定義將問題轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算..四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)?，求的取值范圍．【答案?1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得出答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱性求出、，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．所以?dāng)，即：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可知：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．所以．解得：．因?yàn)?，所以．所以．?dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)樗裕獾茫海缘娜≈捣秶鸀椋?8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解，（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)．所以19．某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值;(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)人了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變昰服從正態(tài)分布，則，【答案】(1)62(2)182(3)【分析】（1）由頻率直方圖平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（2）由分析知，則，由原則求解即可；（3）由題意可得出，對(duì)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求出答案.【詳解】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62．（2）因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中．所以．所以．所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為．（3）由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為可知：．則．令．．當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以．所以的最小值為．20．如圖，圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為6的正方形，下底面圓的一條弦交于點(diǎn)，其中．(1)證明：平面平面;(2)判斷上底面圓周上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)，的長(zhǎng)為．【分析】（1）將面面垂直轉(zhuǎn)化為平面，根據(jù)圓和圓柱的性質(zhì)可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量可解.【詳解】（1）證明：由題意可知：在下底面圓中，為直徑．因?yàn)樗詾橄业闹悬c(diǎn)，且．因?yàn)槠矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）設(shè)平面交圓柱上底面于，交于點(diǎn)．則二面角的大小就是二面角的大小．分別以下底面垂直于的直線、為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．因?yàn)?，底面圓半徑為3，所以．則，設(shè)．所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得：即：令則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由得：即：令可得所以化簡(jiǎn)得，解得：或(舍)．即：．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫠?，且為的中點(diǎn)．所以．所以存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為的長(zhǎng)為．21．已知雙曲線的離心率為的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．(1)求該雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用條件直接求出，從而求出雙曲線的方程；（2）設(shè)出，利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)在雙曲線上，得到，，再利用條件即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線為，又因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，又，，聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)，則，又，得到，所以，又因?yàn)?，所以，同理可得，如圖，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，所以，即，化簡(jiǎn)得，又，所以，即，所以直線的方程為，恒過點(diǎn)．所以直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)為實(shí)數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根