2023屆江西省九江市高三第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）試題-1

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫(xiě)在答題卡上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.34.已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.5.正方體中，M是的中點(diǎn)，則直線DM與的位置關(guān)系是（）A.異面垂直 B.相交垂直 C.異面不垂直 D.相交不垂直6.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，M是雙曲線C左支上一點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（）A. B. C. D.9.定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確是（）A.周期為π，在上單調(diào)遞減B.周期為，在上單調(diào)遞減C.周期為π，在上單調(diào)遞增D.周期為，在上單調(diào)遞增11.青花瓷又稱(chēng)白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱(chēng)青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤(pán)，盤(pán)子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤(pán)面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤(pán)子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．給出下列四個(gè)命題：①兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等；②兩橢圓的離心率相等；③；④與小橢圓相切其中正確的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題90分）考生注意：本卷包括必考題和選考題兩部分．第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，且，則______．14.從邊長(zhǎng)為的正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，則該線段長(zhǎng)度為的概率為_(kāi)_____．15.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____．16.根據(jù)祖暅原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為_(kāi)_____．（注：）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17.九江市正在創(chuàng)建第七屆全國(guó)文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)九江創(chuàng)文的了解和重視，組織全校高三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識(shí)競(jìng)賽（滿分100），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如下：文科生116234416理科生92427328合計(jì)1040507624（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類(lèi)分層抽樣抽取5名學(xué)生．①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率．（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科類(lèi)有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：010，其中．18.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知，．（1）求c；（2）求的取值范圍．19.如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．20.已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，的最小值為．（1）求拋物線E的方程；（2）是圓M內(nèi)一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)N且與直線MN垂直，l與拋物線C相交于兩點(diǎn)，與圓M相交于兩點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由．請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于點(diǎn)A，B，與直線l相交于點(diǎn)C，求最大值．選修4—5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）若的最小值為1，求a的值；（2）若恒成立，求a的取值范圍．

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫(xiě)在答題卡上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，即，所以.故選:C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，或，因?yàn)椋?，所以，故選：A3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，作出可行域，結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，即可得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域的區(qū)域，因?yàn)?，可轉(zhuǎn)化為，平移直線，結(jié)合圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且，解得，即點(diǎn)，所以.故選:D4.已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】因?yàn)槊}：，，所以：，，又因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，即，恒成立，所以，即，解得，故選：D．5.正方體中，M是的中點(diǎn)，則直線DM與的位置關(guān)系是（）A.異面垂直 B.相交垂直 C.異面不垂直 D.相交不垂直【答案】B【解析】【分析】如圖，通過(guò)證明，可得DM與共面相交，后利用三角形相似可得DM與的位置關(guān)系.【詳解】如圖，因，且，則四邊形為平行四邊形，故.又，則DM與共面相交.設(shè)DM與相交于E.又設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，.注意到，則，則可得.因，則，即DM與的位置關(guān)系是相交垂直.故選：B6.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，不斷循環(huán)直到滿足為止.【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，M是雙曲線C左支上一點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在y軸上，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知為等邊三角形，即可得到，，再根據(jù)雙曲線的定義，即可求出離心率.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為F，可知，又，所以為等腰三角形，則，又因?yàn)椋?，則，為等邊三角形，因?yàn)?，所以，，由雙曲線的定義可知，，即，所以，故選：A.8.已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以前8項(xiàng)和為，故選：D9.定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由為上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增和得出，在上單調(diào)遞增，且，，畫(huà)出大致圖像，分類(lèi)討論的取值，即得出不等式的解集．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，，可畫(huà)出其大致圖像，如圖所示，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，所以不等式的解集為，故選：A．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.周期為π，在上單調(diào)遞減B.周期為，在上單調(diào)遞減C.周期為π，在上單調(diào)遞增D.周期為，在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的正負(fù)性、單調(diào)性，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，，顯然該函數(shù)此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，，因此函數(shù)的周期為，在上單調(diào)遞減，故選：B11.青花瓷又稱(chēng)白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱(chēng)青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤(pán)，盤(pán)子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤(pán)面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤(pán)子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．給出下列四個(gè)命題：①兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等；②兩橢圓的離心率相等；③；④與小橢圓相切.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的幾何性質(zhì)可判斷①②；利用直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷③的正誤；取以及，可判斷④的正誤.【詳解】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小橢圓的方程為，則大橢圓的方程為，對(duì)于①，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò)；對(duì)于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，可得，此時(shí)，，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，綜上所述，，③對(duì)；對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，不妨取點(diǎn)、，則，若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，④錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問(wèn)題的兩種方法：（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性可得.【詳解】將用變量x替代，則，，，其中，令，則，令，則，易知在上單調(diào)遞減，且，，∴，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．又，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，記，，則，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以,所以綜上，.故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題90分）考生注意：本卷包括必考題和選考題兩部分．第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，滿足，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由向量垂直可得其數(shù)量積為，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，即.故答案為:14.從邊長(zhǎng)為的正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，則該線段長(zhǎng)度為的概率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】列舉出所有的線段，并列舉出長(zhǎng)度為的線段，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】如下圖所示，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，任取兩個(gè)頂點(diǎn)連成線段，所有的線段有：、、、、、、、、、、、、、、，共條，其中長(zhǎng)度為的線段有：、、，共條，故所求概率為.故答案為：.15.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____．【答案】6【解析】【分析】令，兩個(gè)解即為零點(diǎn)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，作圖即可求出零點(diǎn)，且和的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，零點(diǎn)也關(guān)于，即可求出所有零點(diǎn)之和.【詳解】解：令，得，解得或，即為零點(diǎn)，令，，可知的周期，對(duì)稱(chēng)軸，且的對(duì)稱(chēng)軸，做出和的圖象如圖所示：顯然，在和上各存在一個(gè)零點(diǎn)，在處的切線為x軸，在上存在零點(diǎn)，同理在上存在零點(diǎn)，所以在上存在6個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹偷暮瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的所有零點(diǎn)之和為.故答案為：6.16.根據(jù)祖暅原理，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．如圖1所示，一個(gè)容器是半徑為R的半球，另一個(gè)容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個(gè)容器的容積相等．若將這兩容器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同．如圖2，一個(gè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，里面注入高為的水，將一個(gè)半徑為的實(shí)心球緩慢放入容器內(nèi)，當(dāng)球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為_(kāi)_____．（注：）【答案】【解析】分析】根據(jù)祖暅原理，建立體積等量關(guān)系，代入體積運(yùn)算公式求解即可.【詳解】設(shè)鐵球沉到容器底端時(shí)，水面的高度為h，由圖2知，容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積，由圖1知相應(yīng)圓臺(tái)的體積加上球在水面下的部分體積也等于圓柱的體積，故容器內(nèi)水的體積等于相應(yīng)圓臺(tái)的體積，因?yàn)槿萜鲀?nèi)水的體積為，相應(yīng)圓臺(tái)的體積為，所以，解得，故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17.九江市正在創(chuàng)建第七屆全國(guó)文明城市，某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)九江創(chuàng)文了解和重視，組織全校高三學(xué)生進(jìn)行了“創(chuàng)文知多少”知識(shí)競(jìng)賽（滿分100），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了文科生、理科生各100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如下：文科生116234416理科生92427328合計(jì)1040507624（1）在得分小于80分的學(xué)生樣本中，按文理科類(lèi)分層抽樣抽取5名學(xué)生．①求抽取的5名學(xué)生中文科生、理科生各多少人；②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生中至少有一名文科生的概率．（2）如果得分大于等于80分可獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”，能否有99.9%的把握認(rèn)為獲“創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)”與文理科類(lèi)有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：，其中．【答案】（1）①文科生2人，理科生3人；②（2）沒(méi)有％的把握認(rèn)為獲"創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)"與文理科類(lèi)有關(guān)．【解析】【分析】（1）求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列舉法求出概率作答.（2）先列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.【小問(wèn)1詳解】①得分小于80分的學(xué)生中，文科生與理科生人數(shù)分別為：40和60，比例為,所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人．②這5名學(xué)生有2人是文科生，記這兩人為，3人是理科生，記這三人為，隨機(jī)抽取兩名同學(xué)2人包含的基本事件有：，共10個(gè)，其中至少有一名文科生情況有7種：因此抽取的2名學(xué)生至少有一名文科生的概率為.【小問(wèn)2詳解】由題中數(shù)據(jù)可得如下聯(lián)表：創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)未獲優(yōu)秀獎(jiǎng)合計(jì)文科生6040100理科生4060100合計(jì)100100200則的觀測(cè)值：，所以沒(méi)有％的把握認(rèn)為獲"創(chuàng)文競(jìng)賽優(yōu)秀獎(jiǎng)"與文理科類(lèi)有關(guān)．18.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知，．（1）求c；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，將轉(zhuǎn)化為，即可求出答案；（2）利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，代入，根據(jù)兩角差的正弦公式及輔助角公式得出，再由為銳角三角形得出角的范圍，即可的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：，，即，，又，，，，，，即，，解得．【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得，，，，，，，則，為銳角三角形，，，，，即．19.如圖，在三棱柱中，平面，，，，D為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得為等邊三角形，為等腰三角形，進(jìn)而證明，利用線面垂直的性質(zhì)可得，再利用線面垂直的判定即可證明平面；（2）由（1）為直角三角形，求出其面積，連接，以A為原點(diǎn)，的正方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)方向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求出高，在根據(jù)錐體的體積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：已知，，，則，，又D為棱的中點(diǎn)，則，所以為等邊三角形，為等腰三角形，則，，所以，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即，而，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，由平面，平面，所以，則為直角三角形，由平面，平面，所以，所以，因?yàn)?，所以在中，，則在中，，所以，連接，已知，，，由余弦定理，滿足，所以，即，而平面，所以?xún)蓛纱怪?，以A為原點(diǎn)，的正方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以點(diǎn)E到平面的距離，則三棱錐的體積.20.已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，的最小值為．（1）求拋物線E的方程；（2）是圓M內(nèi)一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)N且與直線MN垂直，l與拋物線C相交于兩點(diǎn)，與圓M相交于兩點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可得到，進(jìn)而求出拋物線方程；（2）根據(jù)題意求出圓M的方程，即可得到直線MN的斜率，利用垂直關(guān)系求出直線l的斜率，得到直線l的方程，聯(lián)立拋物線可得，由韋達(dá)定理可知，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，將轉(zhuǎn)化為，求得，利用均值不等式可知時(shí)取最小值，進(jìn)而求出b，即可得到直線方程.【小問(wèn)1詳解】解：取，則，∵的最小值為，故的最小值為8，令，則的最小值為8，∵開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，且，則有：若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值9，不合題意；若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值，解得或（舍去）；綜上所述：，所以拋物線E的方程.【小問(wèn)2詳解】已知是圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以圓，圓心，半徑，因?yàn)槭菆AM內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線l垂直于y軸，不可能有，所以直線MN的斜率存在且不為0，，所以直線l的斜率，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，可得，則，設(shè)，，，，已知，則，所以①，由于，所以，當(dāng)取最小值時(shí)，即（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立），此時(shí)，所以，故直線l的方程為，整理得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【解析】分析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，由說(shuō)明，則，由，得出，即可證明結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，由確定的增減區(qū)間，畫(huà)出和的簡(jiǎn)圖，分區(qū)間討論和交點(diǎn)情況，即可得出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，