2023屆江西省南昌市高三下學(xué)期第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題

南昌市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上，并在相應(yīng)位置貼好條形碼.2.作答選擇題時(shí)，出每小題答后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.3.非選擇題必須用黑色水筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案，不準(zhǔn)使用鉛筆盒涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一是符合題目要的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（） B. C. D.3.如圖，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（）A.， B.C.， D.，4.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，若，則（）6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A. B. C. D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.8.圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.平面 D.三棱錐體積最大值為9.二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果?越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（）10.已知一簇圓，直線是它們的一條公切線，則（）A. C.11.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.12.如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過點(diǎn)作一條直線分別交，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則______.14.雙曲線的漸近線方程為______.15.在四棱錐中，底面為梯形，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)，若三棱雉的體積為定值，則16.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水在太陽和月球雙重引力作用下產(chǎn)生的全球性的海水的周期性變化，人們可以利用潮汐進(jìn)行港口貨運(yùn).某港口具體時(shí)刻（單位：小時(shí)）與對(duì)應(yīng)水深（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為.某艘大型貨船要進(jìn)港，其相應(yīng)的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，船底與海底距離不小于米時(shí)就是安全的，該船于2點(diǎn)開始卸貨（一次卸貨最長(zhǎng)時(shí)間不超過8小時(shí)），同時(shí)吃水深度以米/小時(shí)的速度減少，該船8小時(shí)內(nèi)沒有卸完貨，要及時(shí)史入深水區(qū)域，則該船第一次停止卸貨的時(shí)刻為______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，且.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.（12分）已知直四棱柱的底面為菱形，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）已知函數(shù).（1）若時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，，方程有解，求的取值范圍.20.（12分）某班準(zhǔn)備購(gòu)買班服，確定從，兩種款式中選出一種統(tǒng)一購(gòu)買，現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購(gòu)買，款式的人數(shù)分別為20，30位，為了盡量統(tǒng)一意見，準(zhǔn)備在全班進(jìn)行三輪宜傳，每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位，介紹他贊成款式的理由，假設(shè)每輪宣傳后，贊成該同學(xué)所選款式的不會(huì)改變意見，不贊成該同學(xué)所選款式的同學(xué)會(huì)有5位改變意見，贊成該同學(xué)所選款式.（1）計(jì)算第二輪選到的同學(xué)贊成款式的概率.（2）設(shè)經(jīng)過三輪宜傳后贊成款式的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.21.（12分）已知橢圓過，，，四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，求直線的斜率.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（10分）選俢4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）當(dāng)時(shí)，求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.23.（10分）選修4-5：不等式選講已知，，且.（1）求證：；（2）求的最小值.南昌市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)123456789101112答案ACDBDBBCBADA二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.14.時(shí)三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.【解析】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，，，所以，則，所以；（2）因?yàn)?，所以，則，令，所以，則是等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，所以，則.18.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，所以四邊形為平行四邊形，即，又因?yàn)榈酌鏋槔庑危渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面：?）方法一：取的中點(diǎn)，連接，，，在直棱柱中平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，則因?yàn)樵谥校?，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以平面，即，則為二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，又，在直角三角形中，所以，即二面角的余弦值為.方法二：如圖，以，，分別為分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵谥?，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，則，，，，因?yàn)?，，設(shè)為平面的法向量，則，即，得令，則，平面的法向量，設(shè)二面角為，則.19.【解析】（1）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，也即有3個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；，故解得；故解得或，即在遞增，在遞減，在遞增.又，，，時(shí)；即；（2）即有解.設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，故在單調(diào)遞增，又，，且存在唯一的，使得，所以，且時(shí)，；時(shí)，.即在遞減，在遞增，時(shí)，時(shí)，故要使得有解，只需，故故，解得，而在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)?，故的取值范圍?20.【解析】記第輪宣傳選中的同學(xué)是贊成款式的事件為，第輪宣傳選中的同學(xué)是贊成款式的事件為，（1）記第二輪選到的同學(xué)贊成款式的概率為，因?yàn)椋?，則；（2）經(jīng)過三輪宣傳后贊成款式的人數(shù)為的所有可能取值為5，15，25，35，則，，，所以分布列為5152535所以.21.【解析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，由于，關(guān)于軸對(duì)稱，必同時(shí)在橢圓上，若橢圓還經(jīng)過點(diǎn)，則，將點(diǎn)代入，求得，可得橢圓方程為；若橢圓還經(jīng)過點(diǎn)，可得，不合題意，舍去.則橢圓方程為.（2）方法一：設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，由于直線過點(diǎn)，則有.設(shè)直線的方程為聯(lián)立所以，同理，進(jìn)一步可得，.直線的斜率為.方法二：因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，則直線的方程為，且將代入直線，整理可得（1）由于，均在橢圓上，代入可得，所以將兩式相減可得，所以（2）則（1）+（2）式可得：由（1）-（2）式可得：直線的斜率為，同理直線的斜率為，而，所以，則.那么.方法三：設(shè)，，則，所以，因?yàn)?，均在橢圓上，所以，由得：，即，又因?yàn)?，所以，所以，同理可得：，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，則，所以，所以所以的斜率.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.【解析】