2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求集合，進(jìn)而求.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B3．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．45 B．42 C．84 D．135【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及等比數(shù)列的性質(zhì)求得，，進(jìn)而由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得（舍去）或，所以，.故選：A.4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)值的符合分析判斷.【詳解】由題意可得：的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除B，D.當(dāng)時(shí)，則，可得，所以，排除A.故選：C.5．一度跌入低谷的中國(guó)電影市場(chǎng)終于在兔年春節(jié)迎來(lái)了大爆發(fā).2023年春節(jié)檔（除夕至大年初六），在《滿江紅》《流浪地球2》《熊出沒(méi)·伴我“熊芯”》《無(wú)名》《深?！贰督粨Q人生》等電影的帶動(dòng)下，全國(guó)票房累計(jì)67.59億，超越2022年同期票房成績(jī)，僅次于2021年成為史上第二強(qiáng)春節(jié)檔.以下是歷年的觀影數(shù)據(jù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）歷年春節(jié)檔觀影人數(shù)（萬(wàn)）

歷年春節(jié)檔場(chǎng)次（萬(wàn)）

歷年春節(jié)檔上映新片數(shù)量

歷年春節(jié)檔票房（億元）

A．2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)比2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)多B．這4年中，每年春節(jié)檔上映新片數(shù)量的眾數(shù)為10D．這4年春節(jié)檔中，平均每部影片的觀影人數(shù)最多的是2023年【答案】D【分析】計(jì)算2022年，2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)可判斷A；求得這4年中，每年春節(jié)檔上映新片的數(shù)量的眾數(shù)可判斷B；求出這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差可判斷C；求出這4年平均每部影片的觀影人數(shù)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這4年中，每年春節(jié)檔上映新片的數(shù)量從小到大排列為7，8，8，10，所以眾數(shù)為8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差為億元，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這4年平均每部影片的觀影人數(shù)依次為萬(wàn)，萬(wàn)，萬(wàn)，萬(wàn)，故D正確.故選：D.6．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為（

）A．7 B．6 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域（如圖），把變形為，得到斜率為，在軸上的截距為，隨變化的一族平行直線．由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，截距最大，解方程組，得點(diǎn)A坐標(biāo)為，所以的最大值為．故選：B.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，代入拋物線方程，再由，利用拋物線的定義求解.【詳解】解：依題意得，因?yàn)?，所?又，解得，所以拋物線的方程為.故選：D8．已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)【答案】B【分析】由可得，由對(duì)稱中心可求得，從而知函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以.又，所以.因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心是，所以，，則，.又，所以，則，A正確.，則直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，B不正確.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C正確.，是奇函數(shù)，D正確.故選：B.9．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)平面與平面交于，由面面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合題意可知F是BC的中點(diǎn)，利用臺(tái)體的體積公式可得，進(jìn)而得出答案.【詳解】連接，設(shè)平面與平面交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面與平面交于，則，又，則，又是棱的中點(diǎn)，則F是BC的中點(diǎn).，,，，故.故選：A.10．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的定義得，，在中利用余弦定理求得結(jié)果.【詳解】顯然，直線經(jīng)過(guò)，設(shè)直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)M，右支交于點(diǎn)N，由雙曲線的定義，得，，所以，在中，，，，，由余弦定理得，整理得，所以.故選：D.11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；，所以，即若在上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加2，則對(duì)應(yīng)值變?yōu)樵瓉?lái)的；若減少2，則對(duì)應(yīng)值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不成立，當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，，以此類推，當(dāng)時(shí)，必有.函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，解得，（舍去），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，成立，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類問(wèn)題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時(shí)應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來(lái)尋找臨界點(diǎn).12．已知，，，則下列關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)即可得答案.【詳解】令，，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，即.，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，則，即；，令，則，故在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則，即，.綜上，，即.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小，通常根據(jù)題目特征及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出需要的函數(shù)，然后對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行討論，利用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)得出結(jié)論．二、填空題13．已知向量，，且，則__________．【答案】16【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解?故答案為：16．14．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為__________．【答案】6【分析】由累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，，…，，將這個(gè)式子累加得，則，時(shí)也適合，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：6.15．為了參加學(xué)校組織的米接力賽，某班挑選甲、乙、丙、丁4名員進(jìn)行訓(xùn)練，現(xiàn)要求甲、乙必須安排交接棒，但甲、丙不能安排交接棒，則不同的交接棒順序有__________種.【答案】8【分析】應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列數(shù)計(jì)算求解即可.【詳解】若甲第一棒，則乙必須第二棒，此時(shí)有種交接棒順序；若甲第二棒，則乙必須第一棒或者第三棒，此時(shí)丙只能在第四棒，所以有2種交接棒順序；若甲第三棒，則乙必須第二棒或者第四棒，此時(shí)丙只能在第一棒，所以有2種交接棒順序；若甲第四棒，則乙必須第三棒，此時(shí)有種交接棒順序.故共有8種不同的交接棒順序.故答案為：8.16．已知球O的體積為，三棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上，，，，，E為AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為__________．【答案】/【分析】根據(jù)題意分析可得E就是球O的球心，平面BCD，球的半徑，結(jié)合錐體的體積公式分析運(yùn)算.【詳解】連接，因?yàn)椋?，所以，E為AC的中點(diǎn)，且，即，則E就是球O的球心，因?yàn)?，，，所以平面ABD，平面ABD，所以，又因?yàn)?，，平面BCD，設(shè)球O的半徑為，因?yàn)榍騉的體積為，則，解得，則，，，所以三棱錐的體積.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法定睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解．P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)．3.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)．4.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．三、解答題17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，且的周長(zhǎng)為，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合二倍角公式求得，由此可得結(jié)果；（2）利用三角形周長(zhǎng)得到，利用余弦定理構(gòu)造出關(guān)于的方程，解出的值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，所以，則，因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?（2）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，，所以，由余弦定理得，即，解得，所以.18．現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)球．(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X，X的數(shù)學(xué)期望為．證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)超幾何分布，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，X的取值可能是2，3，4；當(dāng)時(shí)，X的取值可能是0，1，2，利用超幾何分布分布求出對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式分布計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題可知，甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．（2）當(dāng)時(shí)，X的取值可能是2，3，4，且，，，則．當(dāng)時(shí)，X的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．19．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，，，M是AD的中點(diǎn).(1)證明：平面ECD.(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可得四邊形DEFM是平行四邊形，從而，利用線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)O，連接FO，過(guò)點(diǎn)O作AD的平行線ON交CD于N，以O(shè)為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得是二面角的平面角，，求出平面CBF，平面ABF的法向量，利用向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，M是AD的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形DEFM是平行四邊形，從而，因?yàn)槠矫鍱CD，平面ECD，所以平面ECD.（2）取AB的中點(diǎn)O，連接FO，過(guò)點(diǎn)O作AD的平行線ON交CD于N，以O(shè)為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槭堑冗吶切?，所?因?yàn)?，所以，且，所以就是二面角的平面角，，則，，，，，，.設(shè)是平面CBF的法向量，則即取，得.設(shè)是平面ABF的法向量，則即取，得，所以，易知二面角為銳角，所以它的余弦值為.20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為C上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過(guò)P作圓的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由，求解；（2）當(dāng)過(guò)P的切線斜率存在，設(shè)其方程為，即，令，得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)切線和圓O相切，得到，即，設(shè)切線，的斜率分別為，，從而得到，，由結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）解：由題意得，，所以，所以，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示：當(dāng)過(guò)P的切線斜率存在，即，時(shí)，設(shè)其方程為，即，令，得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)榍芯€和圓O相切，所以化簡(jiǎn)得，則有，.設(shè)切線，的斜率分別為，，則，，所以因?yàn)镻在橢圓C上，所以有，代入上式化簡(jiǎn)可得.令，得，，則.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即.當(dāng)過(guò)P的切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)或.若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱性可得，因?yàn)?，所以面積的最小值為.21．已知，函數(shù).(1)過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；(2)證明：當(dāng)或時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，得，切線斜率，即可得切線的方程；（2）（方法一）①當(dāng)時(shí)，即證，利用不等式及基本不等式可得證；②當(dāng)時(shí)，即要證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.（方法二）當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，即證，構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性可知，只需證明，由，只要證明，構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)樵c(diǎn)O不在的圖象上，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率，解得，所以，，所以切線的方程為，即.（2）（方法一）①當(dāng)時(shí)，要證成立，即證，也即.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則．所以，又，所以，即.②當(dāng)時(shí)，，即，即要證.令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，即當(dāng)時(shí)，.由①知，所以.綜上，當(dāng)或時(shí)，.（方法二）當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，要證，即證，亦即.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以只需證明.由①知，下面只要證明.令，所以，單調(diào)遞增，從而.綜上，當(dāng)或時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)