高三數學多面體與球

高三數學多面體與球第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四56《立體幾何

－多面體與球》

第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四要點·疑點·考點課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析多面體與球第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四要點·疑點·考點一、多面體(1)若干個平面多邊形圍成的幾何體，叫多面體.(2)把多面體的任何一面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側，這樣的多面體叫凸多面體.(3)每個面都是有相同邊數的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數目的棱的凸多面體，叫正多面體.1.概念第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四(1)設簡單多面體的頂點數為V，面數為F，棱數為E，則它們的關系為V+F-E=2

2.

歐拉公式(2)設正多面體每個面是正n邊形，每個頂點有m條棱，頂點數為V，面數為F，則棱數或第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、球(1)半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫球面，球面圍成的幾何體叫球體.(2)球面也可看成是與定點(球心)距離等于定長(半徑)的所有點的集合.1.概念第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；2.性質(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有如下關系：第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四3.球面距離4.表面積與體積為A、B對球心的張角，R為球半徑.)返回第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四A1.一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為()(A)(B)(C)(D)A2.已知一個簡單多面體的各個頂點處都有三條棱，則頂點數V與面數F滿足的關系式是()(A)2F+V=4(B)2F-V=4(C)2F+V=2(D)2F-V=2課前熱身第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四A3.一個凸多面體的頂點數為20，棱數為30.則它的各面多邊形的內角總和為()(A)2160°(B)5400°(C)6480°(D)7200°A4.將棱長為3的正四面體的各棱長三等分，經過靠近頂點的各分點，將原正四面體各頂點均截去一個棱長為1的小正四面體，剩下的多面體的棱數為()(A)16(B)17(C)18(D)19第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四A返回5.地球表面上從A地(北緯45°，東經120°)到B地(北緯45°，東經30°)的最短距離為(地球半徑為R)()(A)R(B)(C)(D)第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四能力·思維·方法1.已知凸多面體每個面都是五邊形，每個頂點都有三條棱，試求該多面體的面數、頂點數和棱數.【解題回顧】用歐拉公式V+F-E=2解題時，要善于發(fā)

現(xiàn)棱數E與面數F、頂點數V的關系，一般有和第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四2.在北緯60°圈上，有甲、乙兩地，它們的緯度圓上

的弧長等于(R為地球半徑)，求甲、乙兩地間的距離.第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四【解題回顧】求球面上兩點的距離，就是求過這兩點

的大圓的劣弧長，而不是緯線上的劣弧長，求解的關

鍵在于求兩點的球心角的大小，利用弧長公式來求

出：L=θ?R即為所求球面距離.第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四3.設一個凸多面體有V個頂點，求證它的各面多邊形

的內角總和為(V-2)?360°.【解題回顧】此題要大膽設各面為E1、E2…EF邊形，

另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四4.三棱錐A-BCD的兩條棱AB=CD=6,其余各棱長均為5，求三棱錐的內切球半徑.【解題回顧】正如三角形的內切圓經常與面積發(fā)生關

系一樣，多面體的內切球的半徑也常與體積發(fā)生聯(lián)系.返回第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四延伸·拓展5.過半徑為R的球面上一點作三條兩兩垂直的弦MA、MB、MC.(1)求證：MA2+MB2+MC2為定值；(2)求三棱錐M-ABC的體積的最大值.【解題回顧】(1)MA、MB、MC兩兩垂直.根據球的對稱性，采用補形的方法，可以把它補成一個球的內接長方體.長方體的對角線的平方就是球的直徑的平方，即MA2+MB2+MC2=4R2.在做選擇題、填充題時就可直接用這個結論.(2)在球中的線段計算問題，常轉化為小圓半徑，大圓半徑及球心到截面距離來解決.返回第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四誤解分析返回1.在涉及球內接正方體或長方體的題目中，作出的截面一般過多面體的對角線，