量子力學(xué)算符之間的對易關(guān)系

量子力學(xué)算符之間的對易關(guān)系第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四1算符之間的對易關(guān)系

1.1算符的基本運(yùn)算關(guān)系（1）算符之和：算符與之和定義為為任意函數(shù)一般，例如粒子的哈密頓算符是動能算符與勢能算符之和（2）算符之積：算符與之積定義為

（1）

（2）

第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四算符之積對函數(shù)的作用有先后作用次序問題一般不能顛倒個相同算符的積定義為算符的次冪

例如則為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號（3）

（5）

第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四若稱算符與是不對易的（不能交換位置）即若

稱算符與是對易的即下面幾個經(jīng)常使用的對易關(guān)系請自行證明（6）

（7）

第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四1.2坐標(biāo)算符與動量算符的對易關(guān)系坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子相互對易動量算符是微分算符因為則坐標(biāo)算符與動量算符：設(shè)為任意函數(shù)（12）

（13）

第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四比較后可得

但是

同理可得坐標(biāo)算符與動量算符的其它對易關(guān)系式可概括為

其中※坐標(biāo)算符與動量算符的對易關(guān)系是最基本的對易關(guān)系，其它力學(xué)量的對易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。

（14a）

（14b）

(14c)

第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四1.3角動量算符的對易關(guān)系只證明其中一個，請注意證明方法記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個指標(biāo)錯位即為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。

(15)

第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四以相同的推導(dǎo)方法和記憶規(guī)律，有另外有

（16）

（17）

（18）

第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四1.4幾個重要的推論

(1)(2)

（3）球坐標(biāo)下是的函數(shù)，若有徑向函數(shù)算符則

（19）

（20）

（21）

（22）

第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2共同本征函數(shù)完備系

2.1共同本征函數(shù)完備系帶來算符對易設(shè)兩個算符和有一個共同的本征函數(shù)，則必有及，即在態(tài)中可以同時確定這兩個力學(xué)量的數(shù)值，那么這似乎提醒我們有，但下結(jié)論過早，因為這只是針對某一個特殊函數(shù)（本征函數(shù)），如果和有一組完備的共同本征函數(shù)，對于任意態(tài)函數(shù)

（23）

第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四有則這時才說和是對易的。這個結(jié)論可以推廣到多個算符，即如果一組算符有共同的本征函數(shù)完備系，則這組算符對易例如即在態(tài)中同時有確定值及，所以是的共同的本征函數(shù)，并且是完備的，所以

（24）

第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2.2逆定理：如果一組算符對易，則這組算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。這里僅就非簡并本征函數(shù)系加以證明若算符和相互對易，對于的本征函數(shù)，有可見也是算符的屬于本征值的本征函數(shù)。已經(jīng)假定非簡并，所以對應(yīng)的兩個本征函數(shù)和最多只能相差一個常數(shù)，所以（26）

（25）

（27）

第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四可見，同時也是的屬于本征值的本征函數(shù)。同理，對的其它本征函數(shù)也有此結(jié)論。所以，和有組成完備系的共同的本征函數(shù)。例如，角動量算符，所以它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在態(tài)中，力學(xué)量同時有確定值及。氫原子哈密頓算符所以，對易，它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在該態(tài)中三者同時有確定值：

（28）

第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四2.3力學(xué)量完全集有些情況下，力學(xué)量的本征值是全部簡并或部分簡并的，一個本征值對應(yīng)若干個本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定本征函數(shù)，這時必定存在和獨立且和對易的其它力學(xué)量。如果的共同的本征函數(shù)仍然有簡并，則必定還存在獨立于而又和對易的其它力學(xué)量，的共同的本征函數(shù)是否還有簡并？我們定義：一組相互對易而又相互獨立的力學(xué)量算符，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡并的，即這組本征值完全確定一個共同本征函數(shù)，則這組力學(xué)量稱為力學(xué)量完全集。在完全集中，力學(xué)量的數(shù)目一般稱為體系的自由度。第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四例題一任意態(tài)

求態(tài)中的可能值、概率及。解法一可以看出是的共同本征函數(shù)所組成，列表對應(yīng)求解：第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四解法二由得由正交歸一性得

第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四例題二在對某一狀態(tài)進(jìn)行測量時，同時得到能量能唯一確定這一狀態(tài)嗎？解：能。因為三個力學(xué)量對易，故共同本征態(tài)為

第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四例題三求粒子處于時角動量分量和分量的平均值。解：首先應(yīng)注意，是的共同本征函數(shù)，而不對易，故不是的本征函數(shù)。利用對易關(guān)系，則

第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四同理

由于坐標(biāo)與的對稱性，可得，故3不確定關(guān)系若算符和不對易時，常記為是一個力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義

（29）

（30）

（31）

第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四注意，仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計積分利用的厄米性，可推出(課本p91)最后得出不確定關(guān)系(代數(shù)中二次式理論)

——不確定關(guān)系（32）

（33）

（34）

（35）

第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四兩個力學(xué)量不對易時，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時有確定值,

或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。對不確定關(guān)系應(yīng)著重掌握其物理意義

例如所以可見，若動量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動量為的自由粒子以波長的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時，你能說出粒子的確定位置嗎？或

（36）

第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫為即位于點的波（粒子）是許多不同波長（動量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長（粒子的動量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)規(guī)律的特點，是粒子具有波動性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見教材。（37）

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