非線性方程求根二分法

非線性方程求根二分法華長生制作1第1頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四方程是在科學(xué)研究中不可缺少的工具方程求解是科學(xué)計算中一個重要的研究對象幾百年前就已經(jīng)找到了代數(shù)方程中二次至五次方程的求解公式但是,對于更高次數(shù)的代數(shù)方程目前仍無有效的精確解法對于無規(guī)律的非代數(shù)方程的求解也無精確解法因此,研究非線性方程的數(shù)值解法成為必然華長生制作2第2頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)非線性方程--------(1)本節(jié)主要研究單根區(qū)間上的求解方法華長生制作3第3頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四

方程的數(shù)值解法的收斂性，也與方程根的重數(shù)有關(guān)。對于一般的函數(shù)，若有其中m為正整數(shù)，我們稱是f(x)的m重零點，或稱是方程f(x)=0的m重根。顯然，若是f(x)的m重零點，且g(x)充分光滑，則有要求出方程的所有實根，往往要先進行所謂“根的搜索”，即先找出有根的區(qū)間，然后再在有根區(qū)間上求各個根的近似值。華長生制作4第4頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四7.1二分法二分法的基本思想，就是逐步將有根區(qū)間分半，通過判別函數(shù)值的符號，進一步搜索有根區(qū)間，將有根區(qū)間縮小到充分小，從而求出滿足給定精度的根的近似解，具體做法如下華長生制作5第5頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四記，先將[a,b]分半，計算中點及，如果則；否則不妨設(shè)，并記則根這樣就得到長度縮小一半的有根區(qū)間即對有根區(qū)間重復(fù)上述步驟，即分半求中點，判斷函數(shù)值符號，則可得到長度又縮小一半的有根區(qū)間。華長生制作6第6頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四重復(fù)上述步驟，第k步就得到根的近似值序列及包含根的區(qū)間套，且有華長生制作7第7頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四且以等比數(shù)列的收斂速度收斂于。因此，用二分法求f(x)=0的實根可以達到任意指定精度。事實上，對于任意給定的精度要求，由得這樣就得到區(qū)間分半次數(shù)k.華長生制作8第8頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)上述討論有下列定理定理給定方程f(x)=0，設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0.則由二分法產(chǎn)生的序列收斂于方程的根，且具有誤差估計華長生制作9第9頁，共10頁，2023年，2月20日，星期四

上述二分法的優(yōu)點是算法簡單，而且在有限區(qū)間內(nèi)，收斂性總能得到保證。值得注意的是，為了求出足夠精確的近似解，往往需要計算很多次函數(shù)值，是一種收斂較慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作為后面要討論的迭代法的初始值。另一方面，二分法只使用于求一元方程的奇數(shù)重實根。

在二分法中，是逐次將有根區(qū)間折半。更一般地是，從有限區(qū)間的左端點出發(fā)，按預(yù)定的步長h一步一步地向右跨，每跨一步進行一次根的“搜索”，即檢查所在節(jié)點上的函數(shù)值的符號，一旦發(fā)現(xiàn)其與左端的函數(shù)值異號，則可確定一個縮小了的有限區(qū)間，其寬度等于預(yù)定的步長h。然后，再對新的