數(shù)字信號處理（第3版）ch8-3小波變換與多分辨分析

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信號處理課程組數(shù)字信號處理DigitalSignalProcessing信號時頻分析與小波分析

信號短時Fourier變換小波展開與小波變換

小波變換與多分辨分析

小波變換分解與重構算法

基于小波變換的信號處理

利用MATLAB實現(xiàn)信號的小波分析小波變換與多分辨分析信號空間(signalspace)尺度函數(shù)(scalingfunction)—j(t)小波函數(shù)(waveletfunction)—y(t)多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)尺度函數(shù)系數(shù)與小波函數(shù)系數(shù)信號空間(signalspace)

由泛函理論，任意信號可以看作是某個特定集合中的一個元素，該特定集合包含相同屬性的所有信號。該特定的信號集合，稱為信號空間。

L2(R)信號空間包含所有定義在實數(shù)域R上的信號，且每個信號都滿足：

信號空間L2(R)稱之為平方可積空間。尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由尺度函數(shù)j(t)經過整數(shù)倍位移k可得函數(shù)族j0,k(t)定義所有可由信號j0,k(t)線性表達的信號構成空間V0V0稱為由信號j0,k(t)張成的閉信號空間，且V0L2(R)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)則表明存在著同時也意味著

若信號x(t)可以由信號{j0,k(t)}線性表達例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V0

空間V0的一個樣本空間V0中信號x0(t)可用jH(t)線性表示為x0(t)=3jH(t)

+6jH(t-1)+3jH(t-2)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)則可同理得到由信號{jj,k(t);k∈Z}張成的信號空間Vj

若由尺度函數(shù)j(t)經過展縮和平移而得到的不同尺度j下的尺度函數(shù)jj,k(t)定義為尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由尺度函數(shù)展縮可得不同尺度下的尺度信號尺度越大，對應的信號的時間分辨率越高。尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

由于信號jj,k(t)比jj-1,k(t)在時域上更窄，因此{jj,k(t);k∈Z}可以表達更多的信號，即信號{jj,k(t);k∈Z}張成的信號空間Vj

比信號{jj-1,k(t);k∈Z}張成的信號空間Vj-1

大。同理可得：尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由高分辨率尺度信號張成的信號空間包含由低分辨率尺度信號張成的信號空間，即存在例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V1

V1的一個樣本函數(shù)V1中信號x1(t)可表示為x1(t)=2jH(2t)

+4jH(2t-1)+6jH(2t-2)+6jH(2t-3)+4jH(2t-4)+2jH(2t-5)空間V0的一個樣本空間V0中信號x0(t)可用jH(2t)線性表示為x0(t)=3jH(2t)+3jH(2t-1)+6jH(2t-2)6jH(2t-3)+3jH(2t-4)+3jH(2t-5)例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V1

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

通過尺度函數(shù)j(t)的尺度展縮，就可以改變尺度函數(shù)的分辨率，從而建立了尺度函數(shù)、分辨率及信號空間之間的關系。

若信號x(t)可以由尺度函數(shù)jj,k(t)表達，則信號x(2t)可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)表達，即尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)根據信號空間的包含關系，

這表明若信號x(t)可由尺度函數(shù)jj,k(t)線性表達，則必然可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)線性表達。

低分辨率信號可以由高分辨率信號線性表達。

例：V0中信號兩種表示V0的一個樣本信號x0(t)可用jH(t)線性表示為x0(t)=3jH(t)

+6jH(t-1)+3jH(t-2)信號x0(t)也可用jH(2t)線性表示為x0(t)=3jH(2t)

+

3jH(2t-1)+6jH(2t-2)

+6jH(2t-3)+3jH(2t-4)+3jH(2t-5)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

h0[k]是尺度函數(shù)系數(shù)(scalingfunctioncoefficient)，也稱為尺度濾波器(scalingfilter)單位脈沖響應。

該式稱為尺度函數(shù)j(t)的多分辨分析(MRA)方程，該遞歸方程是尺度函數(shù)理論的基礎。j

(t)

V0j

(t)

V1例：Haar尺度函數(shù)jH(t)的多分辨分析方程由圖可知例：三角尺度函數(shù)jT(t)的多分辨分析方程小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

根據信號空間的概念，由尺度函數(shù)j(t)可以定義其對應的小波函數(shù)y(t)，再由小波函數(shù)y(t)經過尺度展縮與平移得到小波信號yj,k(t)，即小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

小波信號yj,k(t)設計為尺度信號jj,k(t)的正交信號，即存在例：Haar小波函數(shù)yH(t)應為

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

小波信號yj,k(t)設計為尺度信號jj,k(t)的正交信號，即存在WjVj正交和小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)利用Haar小波函數(shù)和尺度函數(shù)表示信號x1(t)=C0(t)+D0(t)x1(t)=3j(t)+6j(t-1)+3j(t-2)

-y(t)+y(t-2)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

由于小波函數(shù)y(t)隸屬于由尺度信號j(2t-k)張成的信號空間V1，表明y(t)可以由j(2t-k)線性表達，這就是小波函數(shù)y(t)的MRA方程：h1[k]稱為小波函數(shù)系數(shù)(waveletfunctioncoefficient)。

根據MRA方程計算Haar小波對應的h1[k]小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)若尺度函數(shù)j(t)與小波函數(shù)y(t)滿足正交性，當h0[k]為有限長序列，且長度N為偶數(shù)時，則有

則小波函數(shù)系數(shù)h1[k]與尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]滿足

多分辨分析(MRA)對應信號x(t)中的粗略(coarse)信息

對應信號x(t)中的精細(fine)信息

由低分辨率的尺度信號jj0,k(t)表達

由高分辨率的小波信號yj,k(t)(jj0)表達

多分辨分析(MRA)

展開系數(shù)cj[k](cj,k)反映了信號x(t)中的低頻分量的分布情況，而一系列展開系數(shù)dj

[k](dj,k)反映了信號x(t)中的高頻分量的分布情況，這些展開系數(shù)就是信號的離散小波變換DWT。這表明信號x(t)也可以完全由小波信號表達。多分辨分析(MRA)Doppler信號多分辨分析(MRA)

當尺度函數(shù)和小波函數(shù)為正交規(guī)范基時，信號的小波展開系數(shù)cj[k]和dj[k]由內積計算信號的DWT滿足Parseval能量守恒尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]與小波函數(shù)系數(shù)h1[k]的特性2.若

,

則有1.若

，并且尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]與小波函數(shù)系數(shù)h1[k]的特性4.若實現(xiàn)y(t)的正交