數(shù)字信號(hào)處理（第3版）ch8-3小波變換與多分辨分析

電子信息工程學(xué)院

信號(hào)處理課程組數(shù)字信號(hào)處理DigitalSignalProcessing信號(hào)時(shí)頻分析與小波分析

信號(hào)短時(shí)Fourier變換小波展開(kāi)與小波變換

小波變換與多分辨分析

小波變換分解與重構(gòu)算法

基于小波變換的信號(hào)處理

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)的小波分析小波變換與多分辨分析信號(hào)空間(signalspace)尺度函數(shù)(scalingfunction)—j(t)小波函數(shù)(waveletfunction)—y(t)多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)尺度函數(shù)系數(shù)與小波函數(shù)系數(shù)信號(hào)空間(signalspace)

由泛函理論，任意信號(hào)可以看作是某個(gè)特定集合中的一個(gè)元素，該特定集合包含相同屬性的所有信號(hào)。該特定的信號(hào)集合，稱(chēng)為信號(hào)空間。

L2(R)信號(hào)空間包含所有定義在實(shí)數(shù)域R上的信號(hào)，且每個(gè)信號(hào)都滿(mǎn)足：

信號(hào)空間L2(R)稱(chēng)之為平方可積空間。尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由尺度函數(shù)j(t)經(jīng)過(guò)整數(shù)倍位移k可得函數(shù)族j0,k(t)定義所有可由信號(hào)j0,k(t)線性表達(dá)的信號(hào)構(gòu)成空間V0V0稱(chēng)為由信號(hào)j0,k(t)張成的閉信號(hào)空間，且V0L2(R)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)則表明存在著同時(shí)也意味著

若信號(hào)x(t)可以由信號(hào){j0,k(t)}線性表達(dá)例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V0

空間V0的一個(gè)樣本空間V0中信號(hào)x0(t)可用jH(t)線性表示為x0(t)=3jH(t)

+6jH(t-1)+3jH(t-2)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)則可同理得到由信號(hào){jj,k(t);k∈Z}張成的信號(hào)空間Vj

若由尺度函數(shù)j(t)經(jīng)過(guò)展縮和平移而得到的不同尺度j下的尺度函數(shù)jj,k(t)定義為尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由尺度函數(shù)展縮可得不同尺度下的尺度信號(hào)尺度越大，對(duì)應(yīng)的信號(hào)的時(shí)間分辨率越高。尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

由于信號(hào)jj,k(t)比jj-1,k(t)在時(shí)域上更窄，因此{(lán)jj,k(t);k∈Z}可以表達(dá)更多的信號(hào)，即信號(hào){jj,k(t);k∈Z}張成的信號(hào)空間Vj

比信號(hào){jj-1,k(t);k∈Z}張成的信號(hào)空間Vj-1

大。同理可得：尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)由高分辨率尺度信號(hào)張成的信號(hào)空間包含由低分辨率尺度信號(hào)張成的信號(hào)空間，即存在例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V1

V1的一個(gè)樣本函數(shù)V1中信號(hào)x1(t)可表示為x1(t)=2jH(2t)

+4jH(2t-1)+6jH(2t-2)+6jH(2t-3)+4jH(2t-4)+2jH(2t-5)空間V0的一個(gè)樣本空間V0中信號(hào)x0(t)可用jH(2t)線性表示為x0(t)=3jH(2t)+3jH(2t-1)+6jH(2t-2)6jH(2t-3)+3jH(2t-4)+3jH(2t-5)例：Haar尺度函數(shù)jH(t)與空間V1

尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

通過(guò)尺度函數(shù)j(t)的尺度展縮，就可以改變尺度函數(shù)的分辨率，從而建立了尺度函數(shù)、分辨率及信號(hào)空間之間的關(guān)系。

若信號(hào)x(t)可以由尺度函數(shù)jj,k(t)表達(dá)，則信號(hào)x(2t)可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)表達(dá)，即尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)根據(jù)信號(hào)空間的包含關(guān)系，

這表明若信號(hào)x(t)可由尺度函數(shù)jj,k(t)線性表達(dá)，則必然可以由尺度函數(shù)jj+1,k(t)線性表達(dá)。

低分辨率信號(hào)可以由高分辨率信號(hào)線性表達(dá)。

例：V0中信號(hào)兩種表示V0的一個(gè)樣本信號(hào)x0(t)可用jH(t)線性表示為x0(t)=3jH(t)

+6jH(t-1)+3jH(t-2)信號(hào)x0(t)也可用jH(2t)線性表示為x0(t)=3jH(2t)

+

3jH(2t-1)+6jH(2t-2)

+6jH(2t-3)+3jH(2t-4)+3jH(2t-5)尺度函數(shù)(scalingfunction)——j(t)

h0[k]是尺度函數(shù)系數(shù)(scalingfunctioncoefficient)，也稱(chēng)為尺度濾波器(scalingfilter)單位脈沖響應(yīng)。

該式稱(chēng)為尺度函數(shù)j(t)的多分辨分析(MRA)方程，該遞歸方程是尺度函數(shù)理論的基礎(chǔ)。j

(t)

V0j

(t)

V1例：Haar尺度函數(shù)jH(t)的多分辨分析方程由圖可知例：三角尺度函數(shù)jT(t)的多分辨分析方程小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

根據(jù)信號(hào)空間的概念，由尺度函數(shù)j(t)可以定義其對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)y(t)，再由小波函數(shù)y(t)經(jīng)過(guò)尺度展縮與平移得到小波信號(hào)yj,k(t)，即小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

小波信號(hào)yj,k(t)設(shè)計(jì)為尺度信號(hào)jj,k(t)的正交信號(hào)，即存在例：Haar小波函數(shù)yH(t)應(yīng)為

小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

小波信號(hào)yj,k(t)設(shè)計(jì)為尺度信號(hào)jj,k(t)的正交信號(hào)，即存在WjVj正交和小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)利用Haar小波函數(shù)和尺度函數(shù)表示信號(hào)x1(t)=C0(t)+D0(t)x1(t)=3j(t)+6j(t-1)+3j(t-2)

-y(t)+y(t-2)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)

由于小波函數(shù)y(t)隸屬于由尺度信號(hào)j(2t-k)張成的信號(hào)空間V1，表明y(t)可以由j(2t-k)線性表達(dá)，這就是小波函數(shù)y(t)的MRA方程：h1[k]稱(chēng)為小波函數(shù)系數(shù)(waveletfunctioncoefficient)。

根據(jù)MRA方程計(jì)算Haar小波對(duì)應(yīng)的h1[k]小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)小波函數(shù)(waveletfunction)——y(t)若尺度函數(shù)j(t)與小波函數(shù)y(t)滿(mǎn)足正交性，當(dāng)h0[k]為有限長(zhǎng)序列，且長(zhǎng)度N為偶數(shù)時(shí)，則有

則小波函數(shù)系數(shù)h1[k]與尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]滿(mǎn)足

多分辨分析(MRA)對(duì)應(yīng)信號(hào)x(t)中的粗略(coarse)信息

對(duì)應(yīng)信號(hào)x(t)中的精細(xì)(fine)信息

由低分辨率的尺度信號(hào)jj0,k(t)表達(dá)

由高分辨率的小波信號(hào)yj,k(t)(jj0)表達(dá)

多分辨分析(MRA)

展開(kāi)系數(shù)cj[k](cj,k)反映了信號(hào)x(t)中的低頻分量的分布情況，而一系列展開(kāi)系數(shù)dj

[k](dj,k)反映了信號(hào)x(t)中的高頻分量的分布情況，這些展開(kāi)系數(shù)就是信號(hào)的離散小波變換DWT。這表明信號(hào)x(t)也可以完全由小波信號(hào)表達(dá)。多分辨分析(MRA)Doppler信號(hào)多分辨分析(MRA)

當(dāng)尺度函數(shù)和小波函數(shù)為正交規(guī)范基時(shí)，信號(hào)的小波展開(kāi)系數(shù)cj[k]和dj[k]由內(nèi)積計(jì)算信號(hào)的DWT滿(mǎn)足Parseval能量守恒尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]與小波函數(shù)系數(shù)h1[k]的特性2.若

,

則有1.若

，并且尺度函數(shù)系數(shù)h0[k]與小波函數(shù)系數(shù)h1[k]的特性4.若實(shí)現(xiàn)y(t)的正交