數(shù)字信號課件（鄭楚君）第4章3

4.6FIR數(shù)字濾波器的設計方法引言線性相位濾波器的特點窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器頻率采樣法設計FIR濾波器利用等紋波最佳逼近法設計FIR濾波器2引言【問題的引入】優(yōu)點：能借助模擬濾波器已有成果設計；簡單方便IIR數(shù)字濾波器缺點：相位非線性，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器優(yōu)點：嚴格線性相位；系統(tǒng)十分穩(wěn)定（傳輸函數(shù)為全零點型）；進行濾波時可采用FFT缺點：幅度特性較差；設計繁瑣線性相位濾波器的特點線性相位條件設FIR系統(tǒng)的單位采樣響應為實序列（長度為N），則其Z變換為：顯然為關于的N-1階多項式，它在Z平面上有N-1個零點、在原點有N-1個重極點。若滿足下面的“偶對稱”或“奇對稱”條件：則FIR濾波器將具有嚴格的線性相位特性。對于長度為N的單位采樣響應h(n)，其頻率響應為當h(n)為實數(shù)序列時，可將頻率響應表示為式中，H（w）稱為幅度函數(shù)，稱為相位特性，稱為幅頻特性，稱為相頻特性。線性相位是指系統(tǒng)的相位特性是頻率的線性函數(shù)，即54類線性相位濾波器知識拓展（FIR濾波器具有線性相位的充要條件）把系統(tǒng)相位特性與頻率的關系式代入頻率響應表達式，得等式左右兩側實部、虛部分別相等兩式相除，可得7整理，得即：要使上式成立，必須滿足得到第一類線性相位濾波器的條件。8第二類線性相位濾波器，可作與第一類線性相位同樣的推導，得到第二類FIR濾波器是線性相位的充要條件

9線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點1第I種類型，h(n)偶對稱，N為奇數(shù)其求和項全為實數(shù)則：顯然：幅度函數(shù)是標量函數(shù)，可正可負；相位函數(shù)是的線性函數(shù)，且通過原點，即具有嚴格的線性相位特性。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點11線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點的各項相對于對稱的項相等。線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點將相等項合并，因N為奇數(shù)，余中間項令，則：改換記法其中線性相位FIR濾波器幅度函數(shù)特點∴該類濾波器適合于設計任何關于為偶對稱特性頻率的濾波器?！邔詾榕紝ΨQ，所以幅度函數(shù)對也是偶對稱。2第II種類型：h(n)偶對稱，N取偶數(shù)與情形1推導相同∵N為偶數(shù)，∴余項令，得：FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點改換記法其中因此這種情況不適合做在處不等于零的濾波器，如高通濾波器、帶阻濾波器。特點：當時，，故，即在z=-1為零點，且由于對呈奇對稱，因而對也呈奇對稱。FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點3第III種類型，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)16FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點顯然：相位特性同樣為一嚴格的直線，但在零點處有的截距。則：幅度特性相位特性FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點上式表明，當時，，相當于在z=1和z=-1有兩個零點，并且由于對呈奇對稱，因而對也呈奇對稱。∴這種情況不適合做在處為偶對稱的濾波器，如低通和高通濾波器。推導方法與前面類似，可得：∵對為奇對稱，∴18FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點4第III種類型，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)∴這種情況不適合做在處為偶對稱的濾波器，如低通濾波器。上式表明：當時，，相當于在z=1處有一個零點；并且由于對呈奇對稱、對呈偶對稱，因而也對呈奇對稱、對呈偶對稱。19FIR數(shù)字濾波器幅度函數(shù)的特點下表給出了上述4種類型的線性相位濾波器的相位響應、時域幅度響應和頻域幅度響應的示意圖。20知識拓展I型濾波器適合于設計低通、高通、帶通和帶阻濾波器；II型適合于設計低通、帶通濾波器;III型適合于設計帶通濾波器；IV型適合于設計高通、帶通濾波器。但在實際應用中，低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設計一般選擇I,II兩種類型，III,IV兩種線性相位FIR濾波器常在微分器和希爾伯特變換器中使用。21線性相位FIR濾波器的零點特性線性FIR數(shù)字濾波器零點分布特點

偶對稱取“＋”奇對稱取“－”設是的零點，∵則也是的零點。當為實數(shù)時，為實系數(shù)的多項式，此時應是共軛成對的，則也是零點?！鄬τ谝粋€實線性相位FIR濾波器，其零點相對于單位圓鏡像共軛成對。22線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布234.6.1窗函數(shù)法設計FIR濾波器設濾波器要求的理想頻響特性為,則FIR濾波器的設計問題就在于：尋求某一系統(tǒng)函數(shù)，使該系統(tǒng)頻響特性逼近；若要求FIR濾波器具有線性相位特性，則必須滿足上節(jié)所述的奇對稱或偶對稱條件。線性相位FIR濾波器的常用設計方法窗函數(shù)法、頻率采樣法、等波紋最佳逼近法窗函數(shù)法設計的基本思想是設計一個有限長濾波器頻率響應來逼近理想濾波器的頻率響應。24設計方法以低通線性相位濾波器為例,一般選擇選擇為線性理想低通濾波器∴理想低通濾波器單位采樣響應為：一般先給定理想濾波器的頻率響應，設計一個FIR濾波器的頻率響應來逼近要得到有限長的，最簡單的方法是用一長為的矩形窗截斷。按照線性相位濾波器的要求，必須偶對稱，如下圖。對稱中心必須等于濾波器的延時常數(shù)是中心點在a的偶對稱無限長非因果序列。

所以有：設計方法26理想矩形幅頻特性和矩形窗函數(shù)序列幅度函數(shù)

設計方法下面從頻域卷積的角度來分析由矩形窗所求得的濾波器的頻率響應設矩形窗的頻率響應為

為矩形窗的幅度響應。如下圖設計方法主瓣旁瓣旁瓣設計方法將理想低通濾波器的頻率響應表示為：若用代表所設計的低通濾波器的幅度函數(shù)，則:可見：設計的濾波器的幅度響應是矩形窗函數(shù)的幅度響應與理想低通濾波器的幅度響應的卷積（過程如下圖所示）30設計方法矩形窗對理想低通濾波幅度特性的影響31設計方法加矩形窗處理后，對理想頻率響應產(chǎn)生了以下兩點影響：①使理想頻率特性不連續(xù)點ω=ωc

處，形成了一個過渡帶，過渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應WR(ω)的主瓣寬度△ω=4π/N②

在截止頻率ωc的兩邊ω=ωc±2π/N處（即過渡帶的兩邊），H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的快慢，則取決于WR(ω)波動的快慢。32設計方法若增加截取長度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應為：隨著x加大，函數(shù)曲線波動的頻率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對比例保持不變。這個相對比例由sinx/x決定,即由矩形窗函數(shù)的形狀決定。

33設計方法因而，當長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4π/N)，而不會改變肩峰的相對值。

在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增加時，4π/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應。由于窗譜肩峰的存在，影響到H(ω)通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB左右，因此在實際中，矩形窗很少采用。為了消除吉布斯效應，取得較好頻率特性，一般采用其他類型的窗函數(shù)，對進行加窗處理。34窗函數(shù)矩形窗（Rectanglewindow）其頻率響應為三角形窗(BartlettWindow)其頻率響應為：主瓣寬度為：36其頻率響應和幅度響應分別為：是三項矩形窗的幅度響應的移位加權和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍，為漢寧(Hanningwindow)窗，又稱升余弦窗37其幅度響應為：同漢寧窗的主瓣寬度相同，但旁瓣幅度更小，結果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。漢明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗38其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量，幅度響應為：通過加入余弦的二次諧波分量，可進一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)椴既R克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗39下圖為N=31時，矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡曲線窗函數(shù)40窗函數(shù)下圖為N=311時矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼5種窗口函數(shù)的幅度響應41窗函數(shù)凱塞爾(Kaiser)窗I0(·)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)一般取15~25項就可滿足精度要求。β是一個可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關系，一般說來，β越大,過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。42窗函數(shù)零階貝塞爾曲線凱塞爾窗函數(shù)曲線

窗函數(shù)基本參數(shù)比較43窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟求理想濾波器的單位采樣響應由過渡帶帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗函數(shù)，估計窗口長度N；求得所設計的FIR濾波器的單位采樣響應h(n);求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)首先是給定所要求的頻率響應函數(shù)例題（2）求得：解:(1)設理想線性相位濾波器的頻率特性為

由阻帶截止頻率與通帶截止頻率近似求得，即一線性相位高通濾波器設計指標為：通帶截止頻率通帶衰減，阻帶截止頻率阻帶最小衰減。試應用窗函數(shù)設計法設計該濾波器。49例題（4）加窗處理得

（3）已知阻帶最小衰減

，查表6-2知漢寧窗與海明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。

所設計濾波器的過渡帶帶寬為

，加漢寧窗處理后濾波器過渡帶寬度為

解之得：

對于高通線性相位FIR濾波器，選擇N為奇數(shù)，取N=25,得到窗函數(shù)的表達式：50例題一線性相位FIR帶通濾波器設計指標為：阻帶下截止頻率阻帶上截止頻率阻帶最小衰減;通帶下截止頻率,通帶上截止頻率通帶最大衰減應用MATLAB編程實現(xiàn)該濾波器。帶通FIR濾波器的頻率響應及其單位采樣響應4.6.2頻率采樣法設計FIR濾波器

由于有限長序列h(n)和它自身的DFT是一一對應的,因此可以由頻域的N個頻域采樣值H(k)來唯一確定有限長序列h(n)。然后以

作為實際濾波器的頻率特性的采樣值，即設計思想:頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想濾波器的頻率響應加以等間隔采樣

式中h(n)為待設計的濾波器的單位采樣響應。

待設計濾波器的頻率響應和系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)H(z)的內(nèi)插公式，可以由N個頻域采樣值H(k)恢復出FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻率響應式中：從內(nèi)插公式可以看出，在各個頻率采樣點上，濾波器的實際頻率響應是嚴格地和理想頻率響應數(shù)值相等，頻率采樣點之間的頻率響應是由各采樣點的加權內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成。理想頻率響應特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件設的頻響為：對于第I類線性相位濾波器，h(n)偶對稱，N為奇數(shù)

幅度函數(shù)H(w)g關于偶對稱，即如果采樣值

也用幅值和相位特性表示，則有式中：必須滿足偶對稱關系：頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件第II類線性相位濾波器，h(n)偶對稱,N為偶數(shù),其幅度函數(shù)H(w)奇對稱:對于第III類及第IV類線性相位FIR濾波器,兩類濾波器的相位特性滿足:這時滿足奇對稱要求，即：相位特性滿足：第III類及第IV類濾波器采樣值H(k)的幅值分別滿足奇對稱和偶對稱關系頻率采樣法設計線性相位FIR濾波器的步驟

一般，頻率采樣法設計線性相位FIR濾波器步驟可分為以下幾步：

根據(jù)線性相位的約束條件，確定和，進而得到H(k)；將代入內(nèi)插公式得到所設計的濾波器的頻率響應。根據(jù)設計要求選擇濾波器的類型；例題：利用頻率采樣法，設計一個低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的，即已知，采樣點數(shù)為N=33,要求濾波器具有線性相位。例題求解解：(1)根據(jù)設計指標要求，采樣點數(shù)N=33是奇數(shù)，濾波器為低通濾波器，因此選擇第I種類型濾波器，滿足(2)由通帶截止頻率，確定通帶內(nèi)的采樣點數(shù)，即取整數(shù)k=8，應在通帶內(nèi)設置9個采樣點。(3)根據(jù)，可得因此：(4)將H(k)代入到的內(nèi)插公式，即得到所設計濾波器的頻率響應。（5）濾波器幅度特性與對數(shù)幅頻特性的結果圖60由上圖可以看出過渡帶帶寬為，最小阻帶衰減為-20dB在大多數(shù)情情況下這一衰減往往是不令人滿意的。為了改善頻率特性，在阻帶和通帶交界處安排一個或幾個不等于1的采樣值，就可以使得它的有用頻帶內(nèi)的紋波得以減小。比如在本例中，在處增加一個，則得到下圖所示結果，這相當于加寬過渡帶帶寬，其寬度為，算出阻帶最小衰減為4.7FIR數(shù)字濾波器與IIR數(shù)字濾波器的比較

首先，從性能上說，IIR數(shù)字濾波器可以用較低的階數(shù)獲得好的選擇特性，所用的存儲單元少，運算次數(shù)少，所以經(jīng)濟高效。FIR數(shù)字濾波器可以得到嚴格的線性相位，而IIR數(shù)字濾波器的選擇性越好，相位的非線性越嚴重。4.7FIR數(shù)字濾波器與IIR數(shù)字濾波器的比較

從結構上看，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器采用非遞歸結構，不存在內(nèi)部的反饋，因此系統(tǒng)穩(wěn)定，不論在理論上還是實際的有限精度運算中都不存在穩(wěn)定性問題。而IIR數(shù)字濾波器采用遞歸結構，系統(tǒng)極點位置必須在單位圓以內(nèi)，否則，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。FIR數(shù)字濾波器可以采用快速傅里葉變換(FFT)算法大大減少運算量，運算速度快很多，而IIR數(shù)字濾波器沒有快速運算。

從設計工具看，IIR數(shù)字濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設計公式可供準確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。而FIR數(shù)字濾波器無法借助于模擬濾波器的設計方法，只有計算程序可循，對計算工具要求較高。另外，IIR濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有分段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻濾波器等，往往脫離不了模擬濾波器的局限性。而FIR濾波器則靈活得多，尤其能適應某些特殊的應用，應用于巴特沃斯、切比雪夫等逼近不可能達到預定指標的情況。71FIR數(shù)字濾波器的Matlab仿真實現(xiàn)窗函數(shù)法設計FIR濾波器FIR濾波器的優(yōu)化設計72窗函數(shù)法設計FIR濾波器窗函數(shù)法是通過對理想濾波器的單位取樣響應加窗來逼近理想濾波器的。函數(shù)fir1用于設計標準的低通、帶通、高通和帶阻濾波器。73函數(shù)fir1的調(diào)用格式

函數(shù)fir1的調(diào)用格式為>>b=fir1(n,Wc,'ftype',Windows)其中，n為濾波器階數(shù)，Wc為截止