2014年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

PAGEPAGE62014年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共本大題10小題，每小題5分，共50分）1．（5分）（2014?安徽）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i3+=（）A．﹣iB．iC．﹣1D．1考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果．解答：解：復(fù)數(shù)i3+=﹣i+=﹣i+=1，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2014?安徽）命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．?x∈R，|x|+x2＜0B．?x∈R，|x|+x2≤0C．?x0∈R，|x0|+x02＜0D．?x0∈R，|x0|+x02≥0考點(diǎn)：命題的否定．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．解答：解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定?x0∈R，|x0|+x02＜0，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．3．（5分）（2014?安徽）拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．x=﹣1D．x=﹣2考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及2p=4，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程．解答：解：拋物線y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，焦點(diǎn)在y軸上，2p=4，∴=1，∴準(zhǔn)線方程y=﹣=﹣1．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)．解決拋物線的題目時(shí)，一定要先判斷焦點(diǎn)所在位置．4．（5分）（2014?安徽）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）A．34B．55C．78D．89考點(diǎn)：程序框圖；程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的應(yīng)用．專題：算法和程序框圖．分析：寫(xiě)出前幾次循環(huán)的結(jié)果，不滿足判斷框中的條件，退出循環(huán)，輸出z的值．解答：解：第一次循環(huán)得z=2，x=1，y=2；第二次循環(huán)得z=3，x=2，y=3；第三次循環(huán)得z=5，x=3，y=5；第四次循環(huán)得z=8，x=5，y=8；第五次循環(huán)得z=13，x=8，y=13；第六次循環(huán)得z=21，x=13，y=21；第七次循環(huán)得z=34，x=21，y=34；第八次循環(huán)得z=55，x=34，y=55；退出循環(huán)，輸出55，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，常用的方法是寫(xiě)出前幾次循環(huán)的結(jié)果找規(guī)律，屬于一道基礎(chǔ)題．5．（5分）（2014?安徽）設(shè)a=log37，b=23.3，c=0.81.1，則（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a(chǎn)＜c＜b考點(diǎn)：對(duì)數(shù)值大小的比較．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：分別討論a，b，c的取值范圍，即可比較大?。獯穑航猓?＜log37＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1，則c＜a＜b，故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．6．（5分）（2014?安徽）過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域問(wèn)題．解題過(guò)程采用了分類討論的思想，屬于中檔題．10．（5分）（2014?安徽）設(shè)，為非零向量，||=2||，兩組向量，，，和，，，，均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值為4||2，則與的夾角為（）A．B．C．D．0考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．專題：綜合題；平面向量及應(yīng)用．分析：兩組向量，，，和，，，，均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，結(jié)合其數(shù)量積組合情況，即可得出結(jié)論．解答：解：由題意，設(shè)與的夾角為α，分類討論可得①?+?+?+?=?+?+?+?=10||2，不滿足②?+?+?+?=?+?+?+?=5||2+4||2cosα，不滿足；③?+?+?+?=4?=8||2cosα=4||2，滿足題意，此時(shí)cosα=∴與的夾角為．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）（2014?安徽）（）+log3+log3=．考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：直接利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．解答：解：（）+log3+log3==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．12．（5分）（2014?安徽）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=2，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1，過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2，過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3…，依此類推，設(shè)BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，則a7=．考點(diǎn)：歸納推理．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)條件確定數(shù)列{an}是等比數(shù)列，即可得到結(jié)論．解答：解：∵等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=2，∴sin45°=，即=，同理=，=，由歸納推理可得{an}是公比q=的等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=2，則a7==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)等腰直角三角形之間的關(guān)系，得到數(shù)列{an}是公比q=的等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．13．（5分）（2014?安徽）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為4．考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由不等式組作出平面區(qū)域?yàn)槿切蜛BC及其內(nèi)部，聯(lián)立方程組求出B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出BC的長(zhǎng)度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出A到BC邊所在直線的距離，代入三角形面積公式得答案．解答：解：由不等式組作平面區(qū)域如圖，由圖可知A（2，0），C（0，2），聯(lián)立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．點(diǎn)A到直線x+2y﹣4=0的距離為d=．∴．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14．（5分）（2014?安徽）若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=．考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過(guò)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，通過(guò)分段函數(shù)求解即可．解答：解：函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值的求法，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．15．（5分）（2014?安徽）若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：（i）直線l在點(diǎn)P（x0，y0）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C．下列命題正確的是①③④（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．①直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=x3②直線l：x=﹣1在點(diǎn)P（﹣1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=（x+1）2③直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=sinx④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=tanx⑤直線l：y=x﹣1在點(diǎn)P（1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=lnx．考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；曲線與方程．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：分別求出每一個(gè)命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)P出的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點(diǎn)P處的切線方程，再由曲線在點(diǎn)P兩側(cè)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)直線上點(diǎn)的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項(xiàng)可求．解答：解：對(duì)于①，由y=x3，得y′=3x2，則y′|x=0=0，直線y=0是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線C的切線，又當(dāng)x＞0時(shí)y＞0，當(dāng)x＜0時(shí)y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，∴命題①正確；對(duì)于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），則y′|x=﹣1=0，而直線l：x=﹣1的斜率不存在，在點(diǎn)P（﹣1，0）處不與曲線C相切，∴命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|x=0=1，直線y=x是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，又x∈時(shí)x＜sinx，x∈時(shí)x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，∴命題③正確；對(duì)于④，由y=tanx，得，則y′|x=0=1，直線y=x是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，又x∈時(shí)tanx＜x，x∈時(shí)tanx＞x，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，∴命題④正確；對(duì)于⑤，由y=lnx，得，則y′|x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x﹣1，設(shè)g（x）=x﹣1﹣lnx，得，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，命題⑤錯(cuò)誤．故答案為：①③④．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，判斷③④時(shí)應(yīng)熟記當(dāng)x∈時(shí)，tanx＞x＞sinx，該題是中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共75分）16．（12分）（2014?安徽）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA與a的值．考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；解三角形．分析：利用三角形的面積公式，求出sinA=，利用平方關(guān)系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面積為，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式、余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．17．（12分）（2014?安徽）某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．（Ⅰ）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？（Ⅱ）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率；（Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2=．考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)；頻率分布直方圖．專題：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）根據(jù)15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)；（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，即可求出該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率；（Ⅲ）寫(xiě)出2×2列聯(lián)表，求出K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）300×=90，∴應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)；（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，∴該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率為0.75；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位學(xué)生中有300×0.75=225人每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，75人每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)，又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)16560225總計(jì)21090300∴K2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想等，屬于中檔題．18．（12分）（2014?安徽）數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn=3n?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定．分析：（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得，由等差數(shù)列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n?=n?3n，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解答：證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），∴，∴，∴數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，bn=3n?=n?3n，∴?3n﹣1+n?3n①?3n+n?3n+1②①﹣②得3n﹣n?3n+1==∴點(diǎn)評(píng)：本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法：錯(cuò)位相減法．求和的關(guān)鍵是求出通項(xiàng)選方法．19．（13分）（2014?安徽）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）證明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四邊形GEFH的面積．考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）證明GH∥EF，只需證明EF∥平面PBC，只需證明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；（Ⅱ）求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積．解答：（Ⅰ）證明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，∴BC∥EF，∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，∵平面EFGH∩平面PBC=GH，∴EF∥GH；（Ⅱ）解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK．∵PA=PC，O為AC中點(diǎn)，∴PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又∵BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，∴PO∥平面GEFH，∵平面PBD∩平面GEFH=GK，∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD∴GK是梯形GEFH的高∵AB=8，EB=2，∴，∴KB=，即K為OB中點(diǎn)，又∵PO∥GK，∴GK=PO，即G為PB中點(diǎn)，且GH=，由已知可得OB=4，PO===6，∴GK=3，故四邊形GEFH的面積S===18．點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查梯形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用線面平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．20．（13分）（2014?安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f（x）取得最大值和最小值時(shí)的x的值．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，討論兩根與1的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在[0，1]時(shí)的單調(diào)性，得出取最值時(shí)的x的取值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，①當(dāng)a≥4時(shí)，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．②當(dāng)0＜a＜4時(shí)，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]單調(diào)遞增，在[x2，1]上單調(diào)遞減，因此f（x）在x=x2=處取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在x=1處取得最小值；當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在x=0和x=1處取得最小值；當(dāng)1＜a＜4時(shí)，f（x）在x=0處取得最小值．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值的知識(shí)，考查學(xué)生