線性代數(shù)a課件第二章線性方程組

第二章線性方程組線性方程組向量及其線性運(yùn)算向量間的線性關(guān)系向量組的秩與方程組的解R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基一.線性方程組(一)歷史點(diǎn)滴：

約于公元前３世紀(jì),中國(guó)人就發(fā)明了不超過5元的正整系數(shù)線性方程組的解法——

消元法我國(guó)元朝人朱世杰(A.D.1300年前后)創(chuàng)立了“四元術(shù)”

——

多元高次聯(lián)立方程組與消元法

1750年,瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(G.Cramer,1704~1752)

提出了線性方程組的行列式解法—

“克拉默法則”

十九世紀(jì)初,德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(C.F.Gauss,1777~1855)

將一般線性方程組的解法—

消元法系統(tǒng)化一.線性方程組(二)線性方程組AX=β的解法:

行列式解法——A是n階矩陣

“克拉默法則”

:xj=|Bj|/|A|,(j=1,2,…,n),其中

Bj是用β替換A的第j列所得的n階矩陣,j=1,2,…,n.

推論:齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式|A|=0矩陣初等變換法——(高斯)消元法:

用矩陣的行初等變換法將線性方程組的增廣矩陣化為方程組標(biāo)準(zhǔn)形一.線性方程組(三)線性方程組有解的判定定理

線性方程組AX=β有解的充分必要條件是

r(A)=r(B),其中B=(A,β)(四)n元線性方程組AX=β的解的結(jié)構(gòu)定理:

當(dāng)r(A)=r(B)=n時(shí),AX=β有唯一解當(dāng)r(A)=r(B)<n時(shí),AX=β有無窮多解推論:當(dāng)r(A)=n時(shí),AX=0有唯一解當(dāng)r(A)<n時(shí),AX=0有無窮多解二.向量及其線性運(yùn)算

(一)概念n維向量——n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組n維向量空間子空間

(二)運(yùn)算——

矩陣線性運(yùn)算的特例加法:數(shù)量乘法:三.向量間的線性關(guān)系

(一)向量的線性組合(線性表出)零向量是任一向量組的線性組合任一n維向量都是n維單位向量組的線性組合線性方程組AX=β有解的充分必要條件是

β可由A的列向量組來線性表出

三.向量間的線性關(guān)系(二)向量的線性相關(guān)向量組α1,α2,…,αs

線性相關(guān)的充分必要條件是某個(gè)αi

可由其余的向量來線性表出包含零向量的向量組必線性相關(guān)包含線性相關(guān)向量組的向量組必線性相關(guān)

N+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)n維列向量組的線性關(guān)系可通過對(duì)其構(gòu)成的矩陣施行行初等變換求得

三.向量間的線性關(guān)系(三)向量的線性無關(guān)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)的充分必要條件是每個(gè)αi都不能由其余的向量來線性表出單個(gè)非零向量是線性無關(guān)的

n維單位向量組(標(biāo)準(zhǔn)基)

是線性無關(guān)的線性無關(guān)向量組的任一部分向量組也線性無關(guān)任一線性無關(guān)的n維向量組的“延長(zhǎng)向量組”必線性無關(guān)向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)的充分必要條件是向量β被向量組α1,α2,…,αs線性表出時(shí)的表示法是唯一的四.向量組的秩

(一)向量組的極大線性無關(guān)組(極大無關(guān)組)向量組與其任一極大無關(guān)組等價(jià)推論:向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)向量組的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性若向量組α1,α2,…,αs

可由向量組β1,β2,…,βt線性表出,且s>t,則向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān)推論1:向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同推論2:等價(jià)向量組有相同的秩四.向量組的秩(二)向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系矩陣的行(列)向量組的秩稱為矩陣的行(列)秩矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩矩陣的行秩與列秩相等,且即為矩陣的秩用初等變換將矩陣A化為梯形矩陣或等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形即可求得其秩五.線性方程組解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理:n元齊次線性方程組AX=0的所有解構(gòu)成R?的子空間,其基稱為該方程組的基礎(chǔ)解系,它所含向量的個(gè)數(shù)為n-r(A)n元非齊次線性方程組AX=β

的兩個(gè)解的和與差不再是其解,但兩個(gè)解的差是AX=0的解n元非齊次線性方程組AX=β的任一解可表示為

γ=γ0+k1η1+k2η2+…+knηn

其中γ0是AX=β

的一個(gè)特解,η1,η2,…,ηn是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,k1,k2,…,kn是常數(shù)六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基(一)基與坐標(biāo)在R?中,任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一組基R?有無窮多組基,且其任意兩組基都是等價(jià)的任一向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的任一向量在標(biāo)準(zhǔn)基(自然基)下的坐標(biāo)是其本身六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基R?的基α1,α2,…,αn

到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣P是可逆矩陣設(shè)P是R?的基α1,α2,…,αn

到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣,向量α在這兩組基下分別是X和Y,則有X=PY六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基

(二)向量的內(nèi)積定義:對(duì)應(yīng)分量的乘積之和,即αβ=性質(zhì):向量的內(nèi)積具有對(duì)稱性、可數(shù)乘性、可加性和非負(fù)性特征:

αβ=‖α‖·‖β‖Cosφ

其中φ是α與β的夾角(0≤φ≤π)

六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基(三)向量的長(zhǎng)度‖α‖=0當(dāng)且僅當(dāng)α=θ任一非零向量都可以化為單位向量向量的長(zhǎng)度具有非負(fù)性和可數(shù)乘性(絕對(duì)值)，并適合“三角不等式”|αβ|≦‖α‖·‖β‖(柯－布不等式)

當(dāng)且僅當(dāng)α,β線性相關(guān)時(shí)取等號(hào)六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基(四)正交向量組定義:兩兩正交的非零向量組正交向量組必線性無關(guān),但反之不真施密特([德]E.Schmidt,1876-1959)正交化方法任一線性無關(guān)向量組都可經(jīng)施密特(Schmidt)正交化方法化為正交向量組六.R?的標(biāo)準(zhǔn)正交基

(五)正交矩陣定義:滿足AA=E的n階實(shí)矩陣A稱為正交矩陣特征:n階實(shí)矩陣A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A可逆且A=A

當(dāng)且僅當(dāng)A的列(行)向量組是R?的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基性質(zhì):(1)正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣﹑逆矩陣和伴隨矩陣也是正交矩陣

(2)兩個(gè)正交矩陣的乘積是正交矩陣,但其和未必是

(3)若A是正交矩陣,則|A|2=1范例講解對(duì)任意m×n矩陣A與m維列向量β,線性方程組AAX=Aβ必有解任一線性相關(guān)的n維向量組的“縮短向量組”(m維,1≤m≤n)必線性相關(guān)設(shè)向量組α1,α2,…,αs

線性無關(guān),試決定向量組α1

+α2,α2+