2023屆上海市普陀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題

2023屆上海市普陀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1．設(shè)全集，若集合，則______．【答案】【分析】解絕對(duì)值不等式求集合A，應(yīng)用集合補(bǔ)運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)或，又，所以.故答案為：2．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)______．【答案】π【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期為【解析】三角函數(shù)的周期3．現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)集，應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的求法求第25百分位數(shù).【詳解】由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個(gè)數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù).故答案為：4．設(shè)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的根，則______．【答案】【分析】將根代入方程即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，即，所以.故答案為：5．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【分析】求函數(shù)的定義域，保證根號(hào)下的式子大于等于0，分母不為0即可.【詳解】，，或所以定義域?yàn)椋?故答案為：6．若且，則______．【答案】【分析】先根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求出，再利用兩角差的正切公式即可得解.【詳解】因?yàn)榍遥?，所以，則.故答案為：.7．現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件，則該工件的表面積為_(kāi)_____（損耗忽略不計(jì)）．【答案】【分析】根據(jù)圓柱的體積等于球的體積求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該工件的表面積為.故答案為：.8．設(shè)的三邊a，b，c滿足，且，則此三角形最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】由，得邊最長(zhǎng)，不妨設(shè)，利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】由，得邊最長(zhǎng)，不妨設(shè)，則，又，所以，則，解得，所以三角形最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為.故答案為：.9．“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為_(kāi)_____．【答案】【分析】求出樣本中心點(diǎn)，再根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)求出，再將代入即可得解.【詳解】，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故答案為：.10．設(shè)為雙曲線:左、右焦點(diǎn)，且的離心率為，若點(diǎn)M在的右支上，直線與的左支相交于點(diǎn)N，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式求出，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.【詳解】由的離心率為，得，解得，由點(diǎn)M在的右支上，得，又因，所以，即.故答案為：.11．設(shè)且，若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，則l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】##【分析】根據(jù)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線l對(duì)稱，再結(jié)合底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可求得，從而可得出答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)與的底數(shù)互為倒數(shù)，而底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖像于軸對(duì)稱，即直線l為軸，所以，所以，則兩個(gè)函數(shù)分別為，，令，得，解得，此時(shí)，所以l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.12．設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得，在坐標(biāo)系中，，將按向量平移至，根據(jù)軌跡為直線，將問(wèn)題化為最小，數(shù)形結(jié)合法求原點(diǎn)到直線距離即可得結(jié)果.【詳解】由，又向量與互相平行，所以，故，令，，則，所以，將按向量平移至，所以是直線上的動(dòng)點(diǎn)，如下圖示，所以，故，由圖知：要使最小，只需三點(diǎn)共線且到直線距離最短，故最小值為原點(diǎn)到直線的距離，最小值為，此時(shí)題設(shè)中的x=2，y=1.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到的，并將其平移至使，即有，問(wèn)題化為求點(diǎn)到直線距離.二、單選題13．設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)充分非必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)與推出關(guān)系即可.【詳解】由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；故選：A14．設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結(jié)論：（1）若且，則

（2）若且，則（3）若且，則

（4）若且，則其中不正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)直線與直線平行、直線與平面平行的性質(zhì)分別判斷命題真假即可得解.【詳解】若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或?yàn)楫惷嬷本€，故命題錯(cuò)誤；若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或相交或異面，故命題錯(cuò)誤.故選：D15．設(shè)P為曲線C:上的任意一點(diǎn)，記P到C的準(zhǔn)線的距離為d．若關(guān)于點(diǎn)集和，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個(gè)元素；②存在，使得．其中正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，證明當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡圓外，即可得出結(jié)論.【詳解】曲線C:的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯(cuò)誤，②正確.故選：B.16．設(shè)，若在區(qū)間上存在a，b且，使得，則下列所給的值中只可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由題設(shè)得且，結(jié)合已知可得且，分類討論求范圍，即可得答案.【詳解】由題意知：且，則，，又且，則，即，，所以且，(或n為其它大于1的整數(shù))不滿足；時(shí)；時(shí)，所以滿足要求，其它不符合.故選：D三、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，，．(1)求證：；(2)設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三梭雉的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由證出，再由線面垂直的性質(zhì)得出，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）為與底面ABC所成角，再由等體積法求體積即可.【詳解】（1），，，，，又直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，平面，.（2）平面，在平面上的射影為，即為與底面ABC所成角，，，.18．已知均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為．(1)設(shè)且，求x的取值范圍；(2)設(shè)，，記，，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項(xiàng)后、不改變其原來(lái)順序所組成的數(shù)列記為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)，利用指數(shù)單調(diào)性求解集即可；（2）由已知有，，根據(jù)條件分析中的元素組成，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、分組求和.【詳解】（1）由題設(shè)，又且都不為1的正實(shí)數(shù)，所以，而，故.（2）由，，而數(shù)列前100項(xiàng)中有，其中屬于數(shù)列有，所以數(shù)列前100項(xiàng)是的前103項(xiàng)去掉三個(gè)元素，則.19．現(xiàn)有3個(gè)盒子，其中第一個(gè)盒子中裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球．現(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)球．(1)求取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率；(2)設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）用乘法公式和全概率公式，分別算出取到2個(gè)白球和3個(gè)白球的概率即可；（2）分別計(jì)算出取到的白球數(shù)的概率，計(jì)算期望即可.【詳解】（1）設(shè)取到的白球數(shù)為X，則X的可能值為：0，1，2，3.取到2個(gè)白球的概率，則取到3個(gè)白球的概率，，則取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率：.（2）,,,，所以取到的白球數(shù)的期望：20．在xOy平面上．設(shè)橢圓：，梯形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均在上，且．設(shè)直線的方程為(1)若為的長(zhǎng)軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點(diǎn)，求的值；(2)設(shè)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)設(shè)，，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)的面積是定值，定值為【分析】（1）由題意可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算，再由橢圓的關(guān)系列式求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)得的范圍，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)向量數(shù)量積公式列式代入計(jì)算化簡(jiǎn)，并結(jié)合的范圍，從而求解出的范圍；（3）分別將直線，的方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別計(jì)算表示出，再由列式化簡(jiǎn)得關(guān)于的關(guān)系式，利用平行線間的距離表示出，從而可得的面積為，代入的關(guān)系式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出定值.【詳解】（1）因?yàn)樘菪螢榈拈L(zhǎng)軸，的高為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，可得，又因?yàn)樵谏系纳溆盀榈慕裹c(diǎn)，，解得，，.（2）由題意，橢圓：，直線的方程為，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，，得，，，，所以所以的取值范圍為（3）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，，所以，化簡(jiǎn)得，即.又的高為，所以將代入化簡(jiǎn)得，.故的面積為定值.【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去（或）立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．21．已知，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（其中）(1)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；(2)設(shè)，，集合，記，若在D上為嚴(yán)格增函數(shù)且對(duì)D上的任意兩個(gè)變量s，t，均有成立，求c的取值范圍；(3)當(dāng)，，時(shí)，記，其中n為正整數(shù)．求證：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題設(shè)可得，解不等式求x的取值范圍；（2）問(wèn)題化為在上成立，根據(jù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值，即可求參數(shù)范圍；（3）問(wèn)題化為證，令則，結(jié)合二項(xiàng)式定理有，且及基本不等式證，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，則，即，故，又，則，所以.（2）由題