高等數(shù)學(xué)D4-1不定積分

高等數(shù)學(xué)D4-1不定積分(bùdìnɡjīfēn)第一頁(yè)，共28頁(yè)。二、根本(gēnběn)積分表三、不定積分(bùdìnɡjīfēn)的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分(bùdìnɡjīfēn)的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

第四章第二頁(yè)，共28頁(yè)。一、原函數(shù)與不定積分(bùdìnɡjīfēn)的概念引例:一個(gè)質(zhì)量(zhìliàng)為m的質(zhì)點(diǎn),下沿直線運(yùn)動(dòng),因此(yīncǐ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:求在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.假設(shè)在區(qū)間I上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).那么稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有第三頁(yè)，共28頁(yè)。問(wèn)題(wèntí):1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)(hánshù)的原函數(shù)(hánshù)存在?2.假設(shè)原函數(shù)存在,它如何(rúhé)表示?

定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)第四頁(yè)，共28頁(yè)。定理(dìnglǐ)2.原函數(shù)(hánshù)都在函數(shù)(hánshù)族(C為任意(rènyì)常數(shù))內(nèi).證:1)又知故它屬于函數(shù)族即第五頁(yè)，共28頁(yè)。定義(dìngyì)2.在區(qū)間(qūjiān)I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分(bùdìnɡjīfēn),其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P185)假設(shè)那么(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù),不可丟!例如,記作第六頁(yè)，共28頁(yè)。不定積分(bùdìnɡjīfēn)的幾何意義:的原函數(shù)的圖形(túxíng)稱為的圖形(túxíng)的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.第七頁(yè)，共28頁(yè)。例1.設(shè)曲線(qūxiàn)通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)(yīdiǎn)處的切線斜率(xiélǜ)等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為第八頁(yè)，共28頁(yè)。例2.質(zhì)點(diǎn)(zhìdiǎn)在距地面處以初速(chūsù)力,求它的運(yùn)動(dòng)(yùndòng)規(guī)律.解:

取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸,原點(diǎn)在地面,指向朝上,質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為設(shè)時(shí)刻

t

質(zhì)點(diǎn)所在位置為那么(運(yùn)動(dòng)速度)(加速度)垂直上拋,不計(jì)阻

先由此求

再由此求第九頁(yè)，共28頁(yè)。先求由知再求于是(yúshì)所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為由知故第十頁(yè)，共28頁(yè)。二、根本(gēnběn)積分表(P188)從不定積分(bùdìnɡjīfēn)定義可知:或或利用(lìyòng)逆向思維(k

為常數(shù))第十一頁(yè)，共28頁(yè)?；蚧虻谑?yè)，共28頁(yè)。第十三頁(yè)，共28頁(yè)。例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第十四頁(yè)，共28頁(yè)。三、不定積分(bùdìnɡjīfēn)的性質(zhì)推論(tuīlùn):假設(shè)那么(nàme)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。例5.求解:

原式第十六頁(yè)，共28頁(yè)。例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=第十七頁(yè)，共28頁(yè)。例8.

求解:

原式=第十八頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容(nèiróng)小結(jié)1.不定積分(bùdìnɡjīfēn)的概念?原函數(shù)與不定積分(bùdìnɡjīfēn)的定義?不定積分的性質(zhì)?根本積分表(見(jiàn)P188)2.直接積分法:利用恒等變形,及根本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。思考(sīkǎo)與練習(xí)1.證明(zhèngmíng)2.假設(shè)(jiǎshè)(P193題7)提示:第二十頁(yè)，共28頁(yè)。3.假設(shè)(jiǎshè)是的原函數(shù),那么(nàme)提示(tíshì):第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。4.假設(shè)(jiǎshè)的導(dǎo)函數(shù)(hánshù)為那么(nàme)的一個(gè)原函數(shù)是().提示:求即B??或由題意其原函數(shù)為第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。5.求以下(yǐxià)積分:提示(tíshì):第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。6.求不定積分(bùdìnɡjīfēn)解：第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。7.求A,B.解:等式(děngshì)兩邊對(duì)