整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)

PAGE18整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)整式乘除與因式分解一．知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)）1．冪的運(yùn)算性質(zhì)：am·an＝am＋n（m、n為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．例：(－2a)2(－3a22．＝amn（m、n為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．例：(－a5)53．（n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積．例：(－a2b)3練習(xí)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．＝am－n（a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．例：（1）x8÷x2（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2（4）（-a）7÷（-a）5（5）(-b)5÷(-b)25．零指數(shù)冪的概念：a0＝1（a≠0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l．例：若成立，則滿足什么條件？6．負(fù)指數(shù)冪的概念：a－p＝（a≠0，p是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的－p（p是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)．也可表示為：（m≠0，n≠0，p為正整數(shù)）7．單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．例：（1）（2）8．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加．例：（1）（2）（3）（4）9．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．例：（1）（2）（3）練習(xí)：1．計(jì)算2x3·(－2xy)(－xy)3的結(jié)果是 2．(3×108)×(－4×104)＝ 3．若n為正整數(shù)，且x2n＝3，則(3x3n)2的值為 4．如果(anb·abm)3＝a9b15，那么mn的值是 5．－[－a2(2a3－a)]＝ 6．(－4x2＋6x－8)·(－x2)＝ 7．2n(－1＋3mn2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，則k＝ 9．(－3x2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝ 10．在(ax2＋bx－3)(x2－x＋8)的結(jié)果中不含x3和x項(xiàng)，則a＝ ，b＝ 11．一個(gè)長方體的長為(a＋4)cm，寬為(a－3)cm，高為(a＋5)cm，則它的表面積為 ，體積為 。12．一個(gè)長方形的長是10cm，寬比長少6cm，則它的面積是 ，若將長方形的長和都擴(kuò)大了2cm，則面積增大了 。10．單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x 11．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．例：練習(xí)：1．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．（4）（5）2．計(jì)算：（1）；（2）（3）3．計(jì)算：（1）；（2）．4.若(ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8,則a=,m=,=;易錯(cuò)點(diǎn)：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用同底數(shù)冪的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)；乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12．乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍．例1：（1）(7+6x)(7?6x)；（2）(3y＋x)(x?3y)；（3）(?m＋2n)(?m?2n)．例2：(1)(x+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)2練習(xí)：1、=_______。＝______________。2、（_____________________）3、；（______________）4、已知，那么=_______；=_______。5、若是一個(gè)完全平方式，那么m的值是__________。6、多項(xiàng)式的公因式是_____________________。7、因式分解：__________________________。8、因式分解：____________________________。9、計(jì)算：_____________________。10、，則=_____________________易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13．因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解對象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止．弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．

二、熟練掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)．（4）注意點(diǎn)：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．例：（1）（2）

2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2例：（1）（2）（3）（4）練習(xí)：1、若是完全平方式，則的值等于_____。2、則=____=____3、與的公因式是＿4、若=，則m=_______，n=_________。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其結(jié)果是_____________________。6、若是完全平方式，則m=_______。7、8、已知?jiǎng)t9、若是完全平方式M=________。10、，11、若是完全平方式，則k=_______。12、若的值為0，則的值是________。13、若則=_____。14、若則___。15、方程，的解是________。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤；分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、冪的有關(guān)運(yùn)算例1．（2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A） （B） （C） （D）分析:冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.冪的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ),準(zhǔn)確解決冪的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則知，所以（A）錯(cuò)；根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則知，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則知，所以（C）錯(cuò)；故選（D）.例2.（2009年齊齊哈爾）已知，，則____________．分析:本題主要考查冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式,再逆用冪的乘方的法則,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可.解：.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例3．（2009年賀州）計(jì)算：=．分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,注意符號(hào)的變化.解：＝＝.考點(diǎn)3、乘法公式例4.(2009年山西省)計(jì)算：分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng).解：===.例5.(2009年寧夏)已知：，，化簡的結(jié)果是．分析:本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)（）與，以便求值.解：===.考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6．（2009年長沙）先化簡，再求值：，其中．分析:本題是一道綜合計(jì)算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：當(dāng)，時(shí)，.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例7.(2009年廈門)計(jì)算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x分析:本題的一道綜合計(jì)算題,首先要先算中括號(hào)內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算.解：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x＝(4x2－6xy)÷2x＝2x－3y.考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8.（2009年定西）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：，求方程（43）的解．分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式可知，在本題中“”定義的是平方差運(yùn)算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方.解：∵，∴．∴．∴．∴．考點(diǎn)7、乘法公式例3（1）(2009年白銀市)當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是．（2）(2009年十堰市)已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.解析：問題（1）主要是對乘法的平方差公式的考查.原式=x2-y2+y2=x2=32=9.問題（2）考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，∵，∴.說明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡單快捷，事半功倍.考點(diǎn)8、因式分解例4（1）(2009年本溪市)分解因式：