上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題

2022屆上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則“為純虛數(shù)”是“”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】求為純虛數(shù)的等價(jià)條件，結(jié)合充要條件判斷得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以為純虛數(shù)；若為純虛數(shù)，，所以，所以或，所以“為純虛數(shù)”是“”的必要非充分條件.故選：B.2．若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?、，所以，即，所以，即，?dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.3．在中，，．若，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意可得,即,即，即，解得，故選：B4．在正方體中，、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與所成的角為，則下列直線中與所成的角必為的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】在上取一點(diǎn)T，使，則直線與所成的角即直線與所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)與所成的角為，找出點(diǎn)T位置，利用空間向量計(jì)算線線角分別驗(yàn)證答案即可.【詳解】在上取一點(diǎn)T，使，則直線與所成的角即直線與所成的角，設(shè)直線與所成的角為，則，，以D為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，則，所以，，所以，化簡(jiǎn)得，所以，對(duì)于A：，所以與所成的角的余弦值即與所成的角的余弦值，即，與所成的角的正切值為，故A錯(cuò)誤；同理，對(duì)于B：與所成的角的正切值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：與所成的角的正切值為，故C正確；對(duì)于D：與所成的角為，故D錯(cuò)誤；故選：C.二、填空題5．已知集合，，則______．【答案】【分析】利用交集定義直接求解．【詳解】解：集合，，．故答案為：．6．不等式的解集是________.【答案】【分析】將分式不等式化為整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想.屬于基礎(chǔ)題.7．若等差數(shù)列滿足，則_______．【答案】【分析】由是等差數(shù)列可得，從而即可求出的值．【詳解】解：是等差數(shù)列，，．故答案為：8．8．已知函數(shù)，它的反函數(shù)為，則_______．【答案】【分析】令，求函數(shù)的自變量即為對(duì)應(yīng)反函數(shù)的函數(shù)值.【詳解】因?yàn)?，所以令，解得，根?jù)互為反函數(shù)之間的關(guān)系，可得.故答案為：.9．在展開式中，的系數(shù)為________（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式中含的項(xiàng)，由此即可求解．【詳解】解：展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為60，故答案為：60．10．若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為_______．【答案】【分析】先畫出不等式組表示的可行域，然后由，得，作出直線，向上平移過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：611．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為________．【答案】【分析】由三視圖確定三棱柱的底面面積和高，即可求得答案.【詳解】由“塹堵”的三視圖可知，直三棱柱的底面直角三角形斜邊為2，其上的高為1，三棱柱高為2，原幾何體如圖示：則底面積為，故三棱柱的體積為：，故答案為：212．若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列，且各項(xiàng)的和為，則的值為________【答案】【分析】由題意可得：，化為：，解得并驗(yàn)證即可得出．【詳解】由題意可得：，化為：，解得或，時(shí)，公比為0，舍去．．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查無窮等比數(shù)列的求和公式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．從、、、、、、、、、這個(gè)數(shù)中任取個(gè)不同的數(shù)，則這個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為的概率為________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．【答案】【分析】算出10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)的可能數(shù)量，再算出所選個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為的可能種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】由題意知，從、、、、、、、、、這個(gè)數(shù)中任取個(gè)不同的數(shù)，有種可能，所選個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為，則比6小的數(shù)有2個(gè)，共有種可能，比6大的數(shù)有2個(gè)，有種可能，故所選個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為的情況共有種可能，故這個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為的概率為,故答案為：14．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及奇函數(shù)的定義求出當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)進(jìn)行分類討論，確定單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得（舍），當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最小值為，所以，解得（舍），綜上，實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.15．已知橢圓

(為參數(shù)，，)的焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則橢圓的普通方程為_______________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，即可得，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得、的長(zhǎng)，分析可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，兩式聯(lián)立解可得、的值，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓為參數(shù)，，，其普通方程為，若其焦點(diǎn)分別、，則，則有，①點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，又由，而，則，，又由，且、、三點(diǎn)共線，則的坐標(biāo)為，又由，則有，②聯(lián)立①②，解可得：，；故橢圓的方程為；故答案為：．16．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)得到，求得答案.【詳解】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，則，，則,只有當(dāng)時(shí)，不等式組有解，此時(shí)，故，故答案為：三、解答題17．如圖，圓錐的底面半徑，高，點(diǎn)是底面直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是母線的中點(diǎn)．求：(1)該圓錐的表面積；(2)直線與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓錐母線長(zhǎng)，求得圓錐側(cè)面積，即可求得答案；（2）作輔助線，找到直線與平面所成角，解直角三角形可得答案.【詳解】(1)由已知，得OA=2，PO=6，則,

所以圓錐的側(cè)面積為，

于是圓錐的表面積為,即所求圓錐的表面積為．(2)連接OD,由題意得平面，因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)是底面直徑所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以．而、平面，，所以平面,即是在平面上的射影，所以是直線與平面所成角．在中，，，則，由于為銳角，所以,因此直線與平面所成角的大小為．18．設(shè)常數(shù)，函數(shù)．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)的定義即可求解；（2）利用分離參數(shù)法解決函數(shù)恒成立問題，再利用換元法及二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題的處理辦法即可求解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以．即

，即，即．因?yàn)?，所以，解得．所以?shí)數(shù)的值為．(2)因?yàn)?，即，因?yàn)?，可得．令，因?yàn)?，所以的取值范圍是，于是?duì)任意都成立．令函數(shù)，對(duì)稱軸為，開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得的最小值為，則得，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直，路燈采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，，路寬米．設(shè)（）．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)求燈桿與燈柱長(zhǎng)度之和（米）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值．【答案】(1)平方米(2)（），且當(dāng)時(shí)，取得最小值【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理及正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件的出角之間的關(guān)系，利用正弦定理求出,，及兩角差的正弦公式及二倍角公式，結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?，所以．由題意得，所以，因此是等邊三角形，所以．在中，由正弦定理得，即，解得，所以的面積等于（平方米）．所以的面積等于平方米．(2)因?yàn)?，，所以．又因?yàn)闊糁c地面垂直，即，所以．因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．又在中，由正弦定理得，即，解得，，則得，所以，化簡(jiǎn)得（）．因?yàn)?，則得，所以當(dāng)，即時(shí)，（米）．所以關(guān)于的函數(shù)解析式為（），且當(dāng)時(shí)，取得最小值．20．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，它的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)、是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)必在直線上．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)證明見解析【分析】（1）由題意得，解得，即可求解；（2）設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，代入雙曲線方程即可求解；（3）由題意可設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立后整理即可得證．【詳解】(1)由題意得，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，則得，解得，，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或；(3)證明：由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，并整理得，設(shè)，，，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，又設(shè)，，，則得直線的方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程相減得①，因?yàn)?，把它代入①得，所以，因此直線與的交點(diǎn)在直線上．21．若項(xiàng)數(shù)為（且）的有窮數(shù)列滿足：，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”．(1)判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；①；②．(2)設(shè)，2，，，若數(shù)列具有“性質(zhì)”，且各項(xiàng)互不相同．求證：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列為常數(shù)列”；(3)已知數(shù)列具有“性質(zhì)”．若存在數(shù)列，使得數(shù)列是連續(xù)個(gè)正整數(shù)1，2，，的一個(gè)排列，且，求的所有可能的值．【答案】(1)①不是數(shù)列，理由見解細(xì)；②是數(shù)列，理由見解析；(2)證明見解析；(3)或【分析】（1）按照題目給出的定義：數(shù)列具有“性質(zhì)”直接判斷；（2）根據(jù)充要條件的概念直接證明；（3）根據(jù)條件可知，，逐漸增大，且最小值為1，分情況可求之．【詳解】(1)解：①，即該數(shù)列不具有“性質(zhì)”；②，即該數(shù)列具有“性質(zhì)”；(2)證明：充分性，若數(shù)列是常數(shù)列，則，即，或又?jǐn)?shù)列且各項(xiàng)互不相同，，數(shù)列為等差數(shù)列；必要性，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，數(shù)列為常數(shù)列；(3)數(shù)列是連續(xù)個(gè)正整數(shù)1，