2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市千陽縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】＝2＋i，＝1＋i，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2．安排4名大學(xué)生去3所學(xué)校支教，每人只能去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，則不同的分派方法共有（

）A．36種 B．24種 C．18種 D．12種【答案】A【分析】先將4名大學(xué)生分成3組，其中1組2人，其它2組各1個(gè)，然后將這3組分配到3個(gè)學(xué)校即可【詳解】解：由題意可知，先將4名大學(xué)生分成3組，其中1組2人，其它2組各1個(gè)，有種方法，然后將這3組分配到3個(gè)學(xué)校有種方法，由分步乘法原理可得，共有種方法，故選：A3．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)為純虛數(shù)求出的值，再求與共軛復(fù)數(shù)．【詳解】解：復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，，，，共軛復(fù)數(shù)．故選：．4．等于()A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由已知，先把拆分為，然后再寫出其積分表達(dá)式，直接計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.5．已知，且，試證"數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)都滿足，或者對(duì)任意正整數(shù)都滿足，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為（

）A．對(duì)任意的正整數(shù)，都有B．存在正整數(shù)，使C．存在正整數(shù)，使且D．存在正整數(shù)，使【答案】D【分析】區(qū)分所給命題的題設(shè)與結(jié)論，再利用反證法證明命題的一般步驟即可判斷作答.【詳解】解：命題的結(jié)論等價(jià)于“數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列或嚴(yán)格單調(diào)遞減數(shù)列”，其反設(shè)是“數(shù)列是常數(shù)列或者擺動(dòng)數(shù)列”，因而存在一項(xiàng)不比兩邊的項(xiàng)大或者不比兩邊的項(xiàng)小，即且，或者且，所以.故選；D.6．設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用微積分基本定理計(jì)算二個(gè)定積分，再比較它們的大小即可.【詳解】，，∵，∴.故選：C．7．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】令，，，則，所以.故選：A8．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．40【答案】A【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)直接求得.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，要求項(xiàng)，只需令r=3,所以的系數(shù)為.故選：A【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理類問題的處理思路：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析．9．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】觀察函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個(gè)公共點(diǎn)，利用極小值點(diǎn)的定義分析得解.【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個(gè)公共點(diǎn)，在從左到右第一個(gè)交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn)；在從左到右第二個(gè)交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，它是極小值點(diǎn)；在從左到右第三個(gè)交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，它不是極值點(diǎn)；在從左到右第四個(gè)交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn).所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有個(gè).故選：A.10．已知函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則與的大小關(guān)系是A． B．C． D．不確定【答案】B【分析】先求得，然后比較與的大小關(guān)系.【詳解】，所以，所以.故選：B11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B【分析】分析：由已知條件推導(dǎo)出，令，利用導(dǎo)數(shù)形式求出時(shí)，取得最小值4，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】詳解：由題意對(duì)上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，則，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．12．已知定義在R上的函數(shù)滿足.若，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而即可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，故選：A.二、填空題13．復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)________.【答案】【分析】先求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而求得其共軛復(fù)數(shù)．【詳解】解：，．故答案為：．14．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的值為_________．【答案】3【詳解】試題分析：，所以．【解析】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】(1)在解答過程中常見的錯(cuò)誤有：①商的求導(dǎo)中，符號(hào)判定錯(cuò)誤．②不能正確運(yùn)用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則．(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意：①求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角變換先進(jìn)行化簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．②根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元處理．三、雙空題15．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則該商品零售價(jià)定為________元時(shí)利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為________元．【答案】【分析】先根據(jù)利潤(rùn)等于每件利潤(rùn)乘以銷量得函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值以及對(duì)應(yīng)自變量.【詳解】設(shè)該商品的利潤(rùn)為y元，由題意知，y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－則y′＝－3p2－300p＋11700，令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，當(dāng)p∈(0，30)時(shí)，y′>0，當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，y′<0，因此當(dāng)p＝30時(shí)，y有最大值，ymax＝23000.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用得可疑最值點(diǎn)，如導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，則根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最值點(diǎn)在對(duì)應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)取得；第二步：比較極值同端點(diǎn)值的大小．在應(yīng)用題中若極值點(diǎn)唯一，則極值點(diǎn)為開區(qū)間的最值點(diǎn).四、填空題16．兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題.他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類.下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5，9，14，20，，被稱為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成，記第2018個(gè)梯形數(shù)為，則__________.【答案】【分析】觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，歸納得，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，由此即可得到答案．【詳解】解：觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得由此可得.故答案為：．五、解答題17．某中學(xué)將要舉行校園歌手大賽，現(xiàn)有4男3女參加，需要安排他們的出場(chǎng)順序．（結(jié)果用數(shù)字作答）（1）如果3個(gè)女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？（2）如果3位女生都相鄰，且男生甲不在第一個(gè)出場(chǎng)，那么有多少種不同的出場(chǎng)順序？【答案】（1）；（2）576．【分析】（1）采用“插空法”，先排4名男生，形成5個(gè)空檔，將3名女生插入其中，由此可得；（2）3名女生捆綁作為一個(gè)人，優(yōu)先排男生甲，然后其他人全排列．【詳解】（1）采用“插空法”，先排4名男生，有種，形成5個(gè)空檔，將3名女生插入其中，有種，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的出場(chǎng)順序．（2）3名女生捆綁有種，然后優(yōu)先排男生甲有4種選擇，其余可以進(jìn)行全排列，所以共有=576．【點(diǎn)睛】本題考查排列的綜合應(yīng)用，考查“相鄰”與“不相鄰”問題．排列時(shí)，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法．18．已知二項(xiàng)式的第三項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求的值；（2）若展開式的常數(shù)項(xiàng)為，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得出，進(jìn)而可求得的值；（2）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，可求得參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入通項(xiàng)可得出關(guān)于的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）由第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可得，解得；（2）由（1）知，展開式的第項(xiàng)為：；令，得，此時(shí)展開式的常數(shù)項(xiàng)為，解得.19．已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)與在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，求；（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足，求的共軛復(fù)數(shù)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先化簡(jiǎn)得，再根據(jù)復(fù)數(shù)與在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱即可求得；（2）由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求出的值即得解.【詳解】由已知得復(fù)數(shù)（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)與在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則它們實(shí)部互為相反數(shù)，虛部相等，所以．（2）因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)椋?，且，解得，，所以?fù)數(shù).所以的共軛復(fù)數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）由函數(shù)，求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)極值的定義求出函數(shù)的極值即可．【詳解】（1）解：，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）解：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以函數(shù)得極大值為，極小值為.21．如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若為棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明和，再利用線面垂直的判定定理證明出平面；（2）以為軸?軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，.平面，平面，平面.（2），為的中點(diǎn)，，.又平面，平面.分別以為軸?軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.所以,,,,,所以.記為平面的法向量，則，即，不妨令，則而平面的法向量，易知二面角的平面角為銳角記為，則.22．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【答案】(1)見詳解；(2)或.【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.