第二學期高等數(shù)學期末考試試卷及答案2

第二學期高等數(shù)學期末考試試卷（A卷）答案PAGE14第頁共14頁第二學期高等數(shù)學期末考試試卷及答案2第二學期高等數(shù)學B（Ⅱ）期末考試試卷（A卷）答案一．填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請將合適的答案填在空中．1．設(shè)，則________________________．解：由，得，所以，應(yīng)填：．2．交換累次積分的順序______________________．解：．應(yīng)填：．3．設(shè)，則___________________．解：，所以，，，．所以，而，，．應(yīng)填：．4．設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，冪級數(shù)的收斂半徑為，且，則冪級數(shù)的收斂半徑為_____________．解：由于冪級數(shù)的收斂半徑為，冪級數(shù)的收斂半徑為，且，所以冪級數(shù)的收斂半徑為應(yīng)填：．5．微分方程的通解為_____________________________．解：這是一個可分離變量的微分方程，由，得，兩端積分，得，得．所以，，即（為任意常數(shù)）．應(yīng)填：（為任意常數(shù)）．二．選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）．以下每道題有四個答案，其中只有一個答案是正確的，請選出合適的答案填在空中，多選無效．1．函數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點處存在偏導(dǎo)數(shù)的【】．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不是必要，也不是充分條件．解：由二元函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，可知：函數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點處存在偏導(dǎo)數(shù)的既非必要，也非充分條件．應(yīng)選：（D）．2．設(shè)是平面上以、、為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分，則積分等于【】．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．解：將平面區(qū)域分成兩個小區(qū)域與，是以、、為頂點的三角形區(qū)域，是以、、為頂點的三角形區(qū)域．則．由于區(qū)域是關(guān)于軸對稱的，則前一個積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，而后一個積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，所以．又由于區(qū)域是關(guān)于軸對稱的，則前一個積分中的被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，而后一個積分中的被積函數(shù)也是關(guān)于的奇函數(shù)，所以．因此，．應(yīng)選：（A）．3．下列級數(shù)中，屬于條件收斂的是【】．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．解：級數(shù)是發(fā)散的（因為其通項的極限不為0）．級數(shù)是絕對收斂的（因為，而級數(shù)收斂）．級數(shù)是絕對收斂的（因為，而級數(shù)收斂）．級數(shù)是條件收斂的（因為發(fā)散，而由Leibniz判別法，交錯級數(shù)收斂）．應(yīng)選：（D）．4．設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，它在上的表達式為，再設(shè)的Fourier（傅立葉）級數(shù)的和函數(shù)為，則【】．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．解：由于，．所以，．應(yīng)選：（）．5．微分方程的特解的形式為【】．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．解：微分方程對應(yīng)的齊次微分方程是，因此其特征方程為．得其解為．因此微分方程有形如．的特解．又微分方程有形如．的特解．所以，微分方程有形如的特解．應(yīng)選：（D）．三．（本題滿分7分）設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試求，．解：，．四．（本題滿分7分）計算二重積分，其中．解：作極坐標變換，有五．（本題滿分8分）當輪船的前進速度為時，推進器停止工作，已知受水的阻力與船速的平方成正比（比例系數(shù)為，其中為常數(shù)，而為船的質(zhì)量）．問經(jīng)過多少時間，船的速度減為原速度的一半？解：由題意，得方程，，解方程，得，由初始條件，得，因此，有．當時，，即經(jīng)過時間，船的速度減為原速度的一半．六．（本題滿分8分）判別級數(shù)的斂散性．解：而所以，由比值判別法，知級數(shù)收斂．再由比較判別法知級數(shù)收斂．七．（本題滿分8分）計算曲面積分其中為曲面，取下側(cè)．解：取平面，取上側(cè)．則與構(gòu)成封閉曲面，取外側(cè)．令與所圍空間區(qū)域為，由Gauss公式，得八．（本題滿分8分）求微分方程的積分曲線，使該積分曲線過點，且在該點的切線斜率為．解：這是一個不顯含自變量的微分方程．設(shè)，則有，代入方程，得解此方程，得．由，，得．因此有方程．其解為，，由，得，因此所求積分曲線為或九．（本題滿分8分）選取與，使得成為某一函數(shù)的全微分，并求．解：，由，得即有解得，，．所以，十．（本題滿分8分）過直線作曲面的切平面，求此切平面的方程．解：過已知直線作平面束方程，即，其法向量為．設(shè)所求切平面的切點坐標為，則有，解得，或．因此，所求切平面