2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合，根據(jù)集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系的定義依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)不等式的解集為，所以，又，所以，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念確定共軛復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)相等確定實(shí)部與虛部關(guān)系，即可得的值.【詳解】因?yàn)椋?，則由得：，即，故，解得：.故選：B.3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得最小時(shí)的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】分與討論項(xiàng)的正負(fù)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，數(shù)列恒為負(fù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列恒為正，所以當(dāng)時(shí)最小.故選:B.4．已知p：，q：表示橢圓，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由橢圓方程的定義化簡命題，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分條件，故選：C.5．已知兩個(gè)平面，，兩條直線l，m，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若l，m是異面直線，，，，，則【答案】D【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系一一判斷求解.【詳解】對(duì)于A，若，，則或或與相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與可以相交或平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以存在直線，因?yàn)閘，m是異面直線，所以l與相交，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，D正確，故選:D.6．在黑板上從左到右寫2，0，2，3四個(gè)數(shù)，對(duì)兩個(gè)相鄰的數(shù)，每次用右邊的數(shù)減左邊的數(shù)的差填在這兩數(shù)中間，從3開始到最左邊的2為止，稱為填一次.比如填第一次：2，-2，0，2，2，1，3，其中劃線部分是填的右邊的數(shù)減左邊的數(shù)的差.則這樣填2023次之后，黑板上所有數(shù)的和是（

）A．2023 B．2025 C．2028 D．2030【答案】D【分析】通過觀察找到填寫一次之后數(shù)字之和變化的規(guī)律即可求解.【詳解】原來四個(gè)數(shù)的和為2+0+2+3=7，填第一次后，七個(gè)數(shù)分別為2，-2，0，2，2，1，3，其和為8，填2次之后，數(shù)變?yōu)榱?，-4，-2，2，0，2，2，0，2，-1，1,2，3，其和為9，……，每填寫一次，黑板上的數(shù)字之和增加1，故填2023次之和，黑板上所有數(shù)字之和為.故選：D7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，然后求解實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】由題意可得：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)區(qū)間上的值域?yàn)椋C上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件乙表示“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件丙表示“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為”，事件丁表示“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為”，則（

）A．事件甲與事件乙互斥 B．C．事件甲與事件丁相互獨(dú)立 D．事件丙與事件丁互為對(duì)立事件【答案】C【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】用表示第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，表示第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，則兩枚骰子的情況用數(shù)對(duì)表示，則所有可能情況有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)結(jié)果，對(duì)于A：顯然事件甲與事件乙可以同時(shí)發(fā)生，如出現(xiàn)，故事件甲與事件乙不互斥，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：記事件甲為，事件丁為，則，，，所以，即事件甲與事件丁相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D：事件丙與事件丁不能同時(shí)發(fā)生，但是可以都不發(fā)生，故事件丙與事件丁互為互斥不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；故選：C9．已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則向量在向量上的投影的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，利用向量投影的定義以及三角恒等變換可求得向量在向量上的投影的最大值.【詳解】取點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，所以，向量在向量上的投影為，若向量在向量取最大值，則，所以，，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故向量在向量上的投影的最大值是為.故選：A.10．若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求時(shí)函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值，得時(shí)，，求出m的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.①若，在上單調(diào)遞減，，，得；②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去.綜上.故選：B.11．如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與地面所成角均相等，此時(shí)水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件求出，再利用圖1和圖2中水的體積相等，求出，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镈A，DB，DC三條棱與地面所成角均相等，所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，則圖1中，則，所以.故選：D.12．在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由正弦定理和和角公式得到，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，得到點(diǎn)C的軌跡，從而確定面積的最大值.【詳解】，，，，，，由正弦定理得.設(shè)，，，∵，∴，，化簡得，點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.過C作，當(dāng)CD最大時(shí)，有最大值，.故選：C二、填空題13．某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)成績不及格（在90分以下）的學(xué)生人數(shù)為______.【答案】150【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】由已知可得，，所以.又，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，所以.所以，可估計(jì)成績不及格（在90分以下）的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：150.14．音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（do）的音階頻率為f，則簡譜中七個(gè)音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中后一個(gè)音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階．上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則______．【答案】0【分析】根據(jù)條件求出和，再求的值.【詳解】相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為，，，，，，由題意，，，.故答案為：0.15．已知函數(shù)，，若，則的最小值是______.【答案】【分析】依題意可得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，令，，所以，令，解得，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，，所以的最小值是.故答案為：16．已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過作漸近線的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，若，則的周長為______.【答案】18【分析】根據(jù)離心率求出a,b關(guān)系，用m表示雙曲線方程，設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長求出m，然后利用雙曲線定義即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則漸近線，不妨設(shè)，，，則雙曲線的方程，設(shè)，，所以AB：，聯(lián)立，得，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：18.三、解答題17．在中，角，，所對(duì)邊分別記為，，.條件①：；條件②：.從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)證明：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)所選式子利用三角恒等變換公式化簡，即可得證；（2）利用正弦定理及三角恒等變換公式將變形為，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】（1）若選①，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又、為的內(nèi)角，∴.若選②，∵，∴，∴，∴，顯然，∴，∴，∴，又、為的內(nèi)角，∴，∴.（2）由（1）可知，所以，所以，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.18．近幾年，在缺“芯”困局之下，國產(chǎn)替代的呼聲愈發(fā)高漲，在國家的政策扶持下，國產(chǎn)芯片廠商呈爆發(fā)式增長．為估計(jì)某地芯片企業(yè)的營業(yè)收入，隨機(jī)選取了10家芯片企業(yè)，統(tǒng)計(jì)了每家企業(yè)的研發(fā)投入（單位：億）和營業(yè)收入（單位：億），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910研發(fā)投入224681014161820營業(yè)收入1416303850607090102130并計(jì)算得，，，，．(1)求該地芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入的樣本相關(guān)系數(shù)r，并判斷這兩個(gè)變量的相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，r精確到0.01）；(2)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入，并得到所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入總和為268億，已知芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，．【答案】(1)，兩個(gè)變量線性相關(guān)程度較高(2)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為億元．【分析】（1）由條件數(shù)據(jù)求，利用關(guān)系，，求值，代入公式求相關(guān)系數(shù)即可；（2）設(shè)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為m，由條件，列關(guān)系式求即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又，，，所以，，，所以，故兩個(gè)變量線性相關(guān)程度較高．（2）設(shè)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為m，則，解得，所以該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為億元．19．如圖（1），在正三角形中，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點(diǎn)E作平面與平面平行，分別交于.(1)證明：平面；(2)點(diǎn)H在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)或1【分析】（1）先證明G為AC的中點(diǎn)，即可證明，再證明≌，從而證明，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得或表示出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面平面的一個(gè)法向量，結(jié)合空間角的向量求法，利用與平面所成角的正弦值為，列式求解，可得答案.【詳解】（1）作DE中點(diǎn)O，連接，分別為中點(diǎn)，則,而二面角為直二面角，且平面平面,平面，故平面，∵平面平面ABD，平面平面，平面平面,∴同理，由分別為中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，故，∴F為BC中點(diǎn)，∴G為AC的中點(diǎn)，而，∴，∵平面，平面，∴，而，平面，∴平面，平面，∴，∴，由于，GE是公共邊，∴≌，∴，即,又平面，∴平面.（2）由（1）知平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令，則,,,,,,,,設(shè)，,,故，∴，∴，設(shè)平面的法向量，，，則，取，∴，，而與平面所成角的正弦值為，∴，解得或1.20．已知點(diǎn)A在y軸右側(cè)，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為，，直線AB，AC的斜率之積是3.(1)求點(diǎn)A的軌跡D的方程；(2)若拋物線與點(diǎn)A的軌跡D交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過B作于H，是否存在定點(diǎn)G使為常數(shù)？若存在，求出G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡可得出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)、，將拋物線的方程與曲線聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線的方程并化簡，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B，AC的斜率之積是3，所以.所以點(diǎn)A的軌跡D的方程為.（2）由得，，，設(shè)，，則，，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋灾本€EF的方程為，即，所以直線EF過定點(diǎn)，當(dāng)G為BP的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)橛贖，所以，所以存在定點(diǎn)，使為常數(shù).【點(diǎn)睛】求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.【答案】(1)時(shí)，恰有一個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，恰有三個(gè)極值點(diǎn)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按與分類討論，并借助零點(diǎn)存在性定理推理作答.（2）利用（1）中信息，按與探討利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，遞減，遞增，，①當(dāng)時(shí)，，遞減，遞增，有1個(gè)極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，令，則，函數(shù)在上遞增，，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，令，有，令，，即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，因此遞減，遞增，遞減，遞增，有3個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)極值點(diǎn).（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則；②當(dāng)時(shí)，，使得，，使得，遞減，遞增，遞減，遞增，其中，則，顯然符合要求，即有，綜上提，所以m的所有可能值是上的實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線E的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線：與E交于A，B兩點(diǎn)，射線：與E交于C，D兩點(diǎn)．(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（