科學(xué)研究的結(jié)果和數(shù)據(jù)處理講義

1《科學(xué)研究的結(jié)果和數(shù)據(jù)處理》

主講：林建聯(lián)系電話mail：第一頁，共三十一頁。2第1節(jié)試驗數(shù)據(jù)的誤差分析

※試驗的目的是獲得規(guī)律，規(guī)律的表現(xiàn)形式在于數(shù)據(jù)※誤差存在的客觀性※誤差范圍的可控性和數(shù)據(jù)的可靠性※本章的主要內(nèi)容：誤差來源誤差表示誤差估計誤差傳遞第二頁，共三十一頁。31.1真值與平均值※真值─客觀值或?qū)嶋H值。真值一般是未知的;但從相對的意義上來說，真值又是已知的:

理論真值約定真值相對真值※平均值─真值的近似值或估計值

。第三頁，共三十一頁。4（1）算術(shù)平均值適用場合：等精度的試驗、試驗值服從正態(tài)分布。等精度的試驗指試驗人員、試驗方法、試驗場合、試驗條件相同的試驗。設(shè)有n個試驗值：x1，x2，…，xn，則它們的算術(shù)平均值為：第四頁，共三十一頁。5（2）加權(quán)平均值

設(shè)有n個試驗值：x1，x2，…，xn，w1,w2,…，wn代表單個試驗值對應(yīng)的權(quán)，則它們的加權(quán)平均值為：

適用場合：非等精度的試驗、試驗值服從正態(tài)分布。第五頁，共三十一頁。6權(quán)數(shù)或權(quán)值的確定：①當(dāng)試驗次數(shù)很多時，以試驗值xi在測量中出現(xiàn)的頻率ni/n作為權(quán)數(shù)。②如果試驗值是在同樣的試驗條件下但來源于不同的組，則以各組試驗值的出現(xiàn)的次數(shù)作為權(quán)數(shù)。加權(quán)平均值即為總算術(shù)平均值。（見例1-1）③根據(jù)權(quán)與絕對誤差的平方成反比來確定權(quán)數(shù)。例1-2權(quán)數(shù)的計算：x1的絕對誤差為0.1；x2的絕對誤差為0.02，則：x1的權(quán)數(shù)為w1=1/0.12=100x2的權(quán)數(shù)為w2=1/0.022=2500一般有三種方法第六頁，共三十一頁。7（3）對數(shù)平均值設(shè)有兩個數(shù)值x1、x2，都為正數(shù)，則它們的對數(shù)平均值為：注意：如果0.5≤x1/x2≤2時，可用代替，誤差≤4.4％適用場合：試驗數(shù)據(jù)的分布曲線具有對數(shù)特性。

第七頁，共三十一頁。8（4）幾何平均值（5）調(diào)和平均值設(shè)有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，它們的調(diào)和平均值為：適用場合：試驗值的倒數(shù)服從正態(tài)分布

。

適用場合：試驗數(shù)據(jù)取對數(shù)后分布曲線更加對稱時

。

設(shè)有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則它們的幾何平均值為：第八頁，共三十一頁。91.2誤差的基本概念1.絕對誤差絕對誤差=試驗值－真值

△x=x–xt最大絕對誤差的估算：用儀器的精度等級估算；用儀器最小刻度估算真值一般是未知的，通常用最大的絕對誤差來估計其大小范圍：第九頁，共三十一頁。102.相對誤差由于真值一般為未知，所以相對誤差也不能準(zhǔn)確求出，通常也用最大相對誤差來估計相對誤差的大小范圍：在實際計算中，常常將絕對誤差與試驗值或平均值之比作為相對誤差，即：或第十頁，共三十一頁。113.算術(shù)平均誤差設(shè)試驗值xi與算術(shù)平均值之間的偏差為di，則算術(shù)平均誤差定義式為：

（1-23)求算術(shù)平均誤差時，偏差di可能為正也可能為負(fù)，所以一定要取絕對值。顯然，算術(shù)平均誤差可以反映一組試驗數(shù)據(jù)的誤差大小，但是無法表達(dá)出各試驗值間的彼此符合程度。第十一頁，共三十一頁。124.標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差：均方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差與每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，而且對其中較大或較小的誤差敏感性很強，能明顯地反映出較大的個別誤差。它常用來表示試驗值的精密度：標(biāo)準(zhǔn)差越小，試驗數(shù)據(jù)精密度越好。

當(dāng)試驗次數(shù)為有限時，稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，其定義為：當(dāng)試驗次數(shù)n無窮大時，稱為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，其定義為：第十二頁，共三十一頁。131.3試驗數(shù)據(jù)誤差的來源及分類

※1.隨機誤差指在一定試驗條件下，以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差。※特點：在相同條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號的變化時大時小，時正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律；在一次測定中，是不可預(yù)知的，但在多次測定中，其誤差的算術(shù)平均值趨于零。※隨機誤差的來源：偶然因素※隨機誤差具有一定的統(tǒng)計規(guī)律：(1)有界性；(2)正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的頻數(shù)大致相等；(3)絕對值小的誤差比大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多（收斂性）。當(dāng)測量次數(shù)n→∞，誤差的算術(shù)平均值趨于零（抵償性）。第十三頁，共三十一頁。14※2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的誤差?！攸c：系統(tǒng)誤差的大小及其符號在同一試驗中是恒定的，或在試驗條件改變時按照某一確定的規(guī)律變化。當(dāng)試驗條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，它不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小?！到y(tǒng)誤差的來源：儀器（如砝碼不準(zhǔn)或刻度不均勻等）；操作不當(dāng)；個人的主觀因素（如觀察滴定終點或讀取刻度的習(xí)慣）；試驗方法本身的不完善。第十四頁，共三十一頁。15※3.過失誤差粗差、人為誤差：是一種顯然與事實不符的誤差?！攸c：沒有一定的規(guī)律?！^失誤差的來源：由于實驗人員粗心大意造成的，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤或操作失誤等。在測量進(jìn)行中受到突然的沖擊、震動、干擾的影響等。※含有過失誤差的實驗數(shù)據(jù)是不能采用的，必須設(shè)法從測得的數(shù)據(jù)中剔除。第十五頁，共三十一頁。161.4試驗數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度精準(zhǔn)度包含三個概念：精密度、正確度、準(zhǔn)確度。精密度：反映隨機誤差的大小程度（集中程度）。正確度：反映系統(tǒng)誤差的大小程度（正確程度）。準(zhǔn)確度：又稱精確度，簡稱精度，含有精密、正確兩重含義，用來描述試驗結(jié)果與真值的接近程度，即反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差合成的大小程度。第十六頁，共三十一頁。171.5試驗數(shù)據(jù)誤差的估計與檢驗※1隨機誤差的估計對試驗值精密度高低的判斷：

(1)極差：指一組試驗值中最大值與最小值的差值。

R＝xmax-xmin

(2)標(biāo)準(zhǔn)差：總體標(biāo)準(zhǔn)差σ、樣本或子樣標(biāo)準(zhǔn)差s反映試驗數(shù)據(jù)的分散程度：σ或s越小，則數(shù)據(jù)的分散性越低，精密度越高，隨機誤差越小，試驗數(shù)據(jù)的正態(tài)分布曲線也越尖。

(3)方差：方差即為標(biāo)準(zhǔn)差的平方方差也反映了數(shù)據(jù)的分散性，即隨機誤差的大小。

第十七頁，共三十一頁。18※2系統(tǒng)誤差的檢驗秩和檢驗法：檢驗兩組數(shù)據(jù)之間是否存在顯著性差異；證明新試驗方法的可靠性。[例1-5]設(shè)甲、乙兩組測定值為：數(shù)據(jù)按從小到大排序，確定個數(shù)據(jù)的秩；將其中一組的秩相加，稱為秩和。記為R1或R2

；甲組數(shù)據(jù)的個數(shù)n1=6乙組數(shù)據(jù)的個數(shù)n2=9甲組數(shù)據(jù)的秩和R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68由秩和臨界值表（見附錄1）可查得R1的上下限T2和T1，如果R1>T2或R1<Tl

，則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異:

（本例中：取α=0.05，查得T1=33，T2=63，即R1>T2，所以兩組數(shù)據(jù)有顯著差異）第十八頁，共三十一頁。19※3過失誤差的檢驗※試驗數(shù)據(jù)中:隨機誤應(yīng)要進(jìn)行估計系統(tǒng)誤差要設(shè)法消除不能含有過失誤差※如何判斷數(shù)據(jù)中有“壞值”—判別過失誤差的界限

涂改數(shù)據(jù)是假數(shù)據(jù)；不科學(xué)地剔除數(shù)據(jù)也是假數(shù)據(jù)?！梢蓴?shù)據(jù)取舍的一般原則：(1)試驗中發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)停止試驗，分析原因并糾正。(2)試驗后發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)先找原因，再進(jìn)行取舍。(3)在分析數(shù)據(jù)時，如原因不確切，應(yīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計處理；(4)對舍去的數(shù)據(jù)，在報告中應(yīng)注明原因或所選用的方法。第十九頁，共三十一頁。20（1）拉依達(dá)（Pauta）準(zhǔn)則—三倍標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)則※方法：1)計算包括可疑值在內(nèi)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差；

2)計算偏差值、偏差值絕對值、3s值或2s值；3)比較偏差絕對值與3s值的大小，如果：則應(yīng)將xp從該組試驗值中剔除。序號測定值偏差值及其檢驗

xi10.128-0.012-0.02220.129-0.011-0.02330.131-0.009-0.02540.133-0.007-0.02750.135-0.005-0.02960.138-0.002-0.03270.1410.001-0.03280.1420.002-0.03190.1450.005-0.028100.1480.008-0.025110.1670.027-0.006

0.140s0.0112

3s0.0335第二十頁，共三十一頁。21（1）拉依達(dá)（Pauta）準(zhǔn)則——三倍標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)則（續(xù)）※α——顯著性水平，表示檢驗出錯的幾率。※3s或2s的選擇與顯著性水平α有關(guān)：3s相當(dāng)于顯著水平α=0.012s相當(dāng)于顯著水平α=0.05※適用場合:測定次數(shù)n>20※測定次數(shù)n<10時，應(yīng)采用其它準(zhǔn)則。如：格拉布斯準(zhǔn)則、狄克遜準(zhǔn)則、t檢驗法等第二十一頁，共三十一頁。22(2)格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則※方法：

1）計算包括可疑值在內(nèi)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差；

2）計算偏差絕對值；

3）選取偏差絕對值最大的數(shù)據(jù)來檢驗，如果：則應(yīng)將xp從該組試驗值中剔除。從附錄2查取。序號第一次檢驗第二次檢驗xixi110.290.16410.290.111210.330.12410.330.071310.380.07410.380.021410.400.05410.400.001510.430.02410.430.029610.460.00610.460.059710.520.06610.520.119810.820.36610.4510.40

s=0.165

s=0.078

(1)(2)第二十二頁，共三十一頁。23(3）狄克遜（Dixon）準(zhǔn)則※方法：

1）將n個試驗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列；

2）檢驗x1或xn：用附錄3所列的公式，計算出f0

，如果：若f0>f(α，n)，則應(yīng)該剔除x1或xn。

※注意事項：

1)可疑數(shù)據(jù)應(yīng)逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù)。

2)剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù)，則應(yīng)注意試驗數(shù)據(jù)的總數(shù)發(fā)生了變化。

3)根據(jù)測定次數(shù)n，確定判別過失誤差的準(zhǔn)則：n<20時，用格拉布斯準(zhǔn)則。n>20時，用3s準(zhǔn)則第二十三頁，共三十一頁。241.6

有效數(shù)字和試驗結(jié)果的表示

※1有效數(shù)字--能夠代表一定物理量的數(shù)字(1)有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗的精度或表示所用試驗儀表的精度，所以不能隨便多寫或少寫。1.5687g，精度為0.0001g，相對誤差為1/156871.5g,精度為0.1g，相對誤差為1/15(2)小數(shù)點不影響有效數(shù)字的位數(shù)。第一個非0數(shù)前的數(shù)字不是有效數(shù)字，而第一個非0數(shù)后的數(shù)字是有效數(shù)字。50，0.050，5.0，292位有效數(shù)字29.00，5.000，12.474位有效數(shù)字(3)在計算有效數(shù)字位數(shù)時，如果第一位數(shù)字等于或大于8，則可以多計一位。9.994位有效數(shù)字8.2105位有效數(shù)字第二十四頁，共三十一頁。25※2有效數(shù)字的運算規(guī)則(1)加、減結(jié)果的位數(shù)應(yīng)與其中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同。先計算,后對齊

11.9610.2+0.00322.163先對齊,后計算

12.010.2+0.022.2(2)乘積、商的有效數(shù)位數(shù)，應(yīng)以各乘、除數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準(zhǔn)。例如：12.6×9.81×0.050中0.050的有效數(shù)字位數(shù)最少，只有兩位，所以有12.6×9.81×0.050=6.2。(3)乘方、開方后的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)的相同。例如：

2.42=5.8第二十五頁，共三十一頁。26(4)對數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與其真數(shù)的相同。

例如ln6.84=1.92；lg0.00004＝－4。(5)在4個以上數(shù)的平均值計算中，平均值的有效數(shù)字可增加一位。例如(22.6+22.8+22.5+22.3+22.5)/5=22.54

原來只有3位有效數(shù)字，而計算結(jié)果增加了一位。(6)取自手冊上的數(shù)據(jù)，其有效數(shù)字位數(shù)按實際需要取，但原始數(shù)據(jù)的位數(shù)如有限制，則應(yīng)服從原始數(shù)據(jù)。(7)常數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)，根據(jù)需要取。(8)一般的工程計算中，取2～3位有效數(shù)字。第二十六頁，共三十一頁。27※3有效數(shù)字的修約規(guī)則

四舍六入尾留雙例如，將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)點后3位：

3.141593.1421.366531.3662.330502.3302.777192.7772.77772.7782.45662.4574和4以下的數(shù)字舍去，6和6以上的數(shù)字進(jìn)位；若是5，要看它前面的一個數(shù)：奇數(shù)就入，偶數(shù)就舍第二十七頁，共三十一頁。28※1

誤差傳遞基本公式

1.7誤差的傳遞

設(shè)間接測量值y與直接測量值xi之間存在函數(shù)關(guān)系：

y＝f(x1，x2，…，xn)通過對上式進(jìn)行全微分，用差分代替微分，可