2023屆高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷核心考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練12講06-突破全國(guó)卷解三角形范圍問題的12種方法

解三角形范圍問題講義5.齊二次結(jié)構(gòu)與余弦定理求最值6.秦九韶公式第1講：消角構(gòu)造三角函數(shù)例1.（2020浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.例2．（廣東省2023屆高考一模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍.解析：（1）因?yàn)?，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)椋?（2），在中，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?對(duì)邊對(duì)角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對(duì)角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.例2.（2020年全國(guó)2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2），即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.小結(jié)1.結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實(shí)現(xiàn)周長(zhǎng)或者面積的最值.在正弦定理中：此時(shí)，我們并非一定需要對(duì)邊對(duì)角，實(shí)際上，只要知道任意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關(guān)系，下面我通過例題予以分析.例3.（2019全國(guó)3卷）的內(nèi)角對(duì)邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是在這一部分中，我們經(jīng)常會(huì)看到諸如：等結(jié)構(gòu)，這種類型當(dāng)然還可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為純角結(jié)構(gòu)，所以，我們只需要做的就是消元，把三個(gè)角消成一個(gè)角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.例4.（2022新高考1卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．例4．在銳角中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．在銳角中，，因?yàn)?，?所以，，解得，所以，，而，所以，所以由正弦定理可知：，因?yàn)椋?，所以，?故選：A.例6．（浙江省溫州市普通高中2023屆高三下學(xué)期3月第二次適應(yīng)性考試）已知滿足．（1）試問：角是否可能為直角？請(qǐng)說明理由；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解析：（1）不可能為直角．（2）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，由余弦定理化?jiǎn)，得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以令，則有，所以的取值范圍為．第5講.齊二次結(jié)構(gòu)與余弦定理求最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在上的嚴(yán)格單調(diào)性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個(gè)約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個(gè)均值結(jié)構(gòu)，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．解：∵，∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.例8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以又因?yàn)?，所以角A的最大值為例9.（福建省福州市普通高中2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)（二檢））記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化簡(jiǎn)得，即.由正弦定理可得，即，展開得，即，所以．（2）由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)?，所以，所以的最大值?第6講.秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來解三角形?？荚囶}中熱門考察方向之一，相關(guān)內(nèi)容是人教版新教材的閱讀內(nèi)容，未來完全有可能出現(xiàn)在高考試題中.例10.秦九韶是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)．秦九韶把已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由得，，即，所以，，所以，即時(shí)，．故選：A．例11.已知，，是內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解：中，因?yàn)?，所以，則，即，又，則，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為，故選：A如圖，設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進(jìn)一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長(zhǎng)度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.例12.（2022成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，ADAB+2AC的最小值為___________.解析：，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡(jiǎn)得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：基本結(jié)論：如圖：當(dāng)設(shè)為的邊中點(diǎn)時(shí)，.注：該結(jié)論還可由證得.更一般的情形即斯特瓦爾特定理，此處不再贅述，我們通過例題展示中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡(jiǎn)得，.又，因此，.（2）由，又為的中點(diǎn)，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，的面積最大值為.例14．內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）是邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，因?yàn)?，所以，則，又，所以，因?yàn)?，所以；?）根據(jù)題意可得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立所以，面積的最大值為.這類最值問題的特點(diǎn)是利用恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，它們的目標(biāo)函數(shù)往往不是上面的類型，而且有點(diǎn)“丑”，你需要做的就是耐心美化目標(biāo)函數(shù)，直到找到可以入手的結(jié)構(gòu)！例15．已知在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由，知，，，，因?yàn)?、，則，，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，則，，故選：A.例16．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．1.再將邊結(jié)構(gòu)推廣又可給出二次邊結(jié)構(gòu)和面積之間的不等關(guān)系，即嵌入不等式.（嵌入不等式）若三角形的三邊為，面積為，為給定的正實(shí)數(shù)，則有：，當(dāng)且僅當(dāng)取等.2托勒密不等式：若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，或者，則四點(diǎn)共圓.ABCD中，，AD=3，BD=則CD的最小值為（）解析：如圖，可設(shè)，則，則由托勒密不等式可得：，代值可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓. B． C． D．例18.（2022四川預(yù)賽）若三角形的三邊滿足，則面積的最大值為________.解析：（嵌入不等式）若三角形的三邊為，面積為，為給定的正實(shí)數(shù)，則有：，當(dāng)且僅當(dāng).第11講：軌跡背景阿氏圓定義：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑,則圓的半徑為，圓心為.解析：設(shè)．因?yàn)榍矣蓛牲c(diǎn)間距離公式得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．例19.中，，，則的面積最大值為_______.解析：由，見系代入得．設(shè)圓心為，顯然當(dāng)軸時(shí)，面積最大，此時(shí)．所以．中，已知，求的面積的最大值.解析：以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊所在直線為軸，以線段的中點(diǎn)垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，由得，化簡(jiǎn)并整理得，即的頂點(diǎn)在圓的面積，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，面積的最大值為.第12講：幾何輔助見真章如圖，在三角形中，已知角的大小，為邊上一點(diǎn).那么我們可利用初中的相似三角形來求解一些這種條件下的爪型三角形問題，簡(jiǎn)直妙！如下圖，過點(diǎn)做的平行線交延長(zhǎng)線于，則，且由平行的性質(zhì)可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我們進(jìn)一步指導(dǎo)的長(zhǎng)度，以及點(diǎn)為邊上的具體位置，