《計算流體力學(xué)CFD》

計算流體力學(xué)CFD(1)精選課件引言流體力學(xué)的三種研究方法精選課件流體力學(xué)的控制方程組精選課件基本物理學(xué)原理精選課件基本物理學(xué)原理流體力學(xué)基本控制方程連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律動量方程牛頓第二定律能量方程能量守恒定律精選課件流動模型精選課件流動模型1）有限控制體模型對于有連續(xù)性的流體，有下面兩種模型：2）無窮小流體微團我們不是同時觀察整個流場，而是將物理學(xué)基本原理用在這些流動模型上，從而得到流體流動方程。精選課件流動模型有限控制體模型空間位置固定的有限控制體，流體流過控制體隨流體運動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)精選課件流動模型無窮小流體微團模型空間位置固定的無窮小流體微團，流體流過微團沿流線運動的無窮小流體微團，其速度等于流線上每一點的當(dāng)?shù)厮俣染x課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流動控制方程經(jīng)常用物質(zhì)導(dǎo)數(shù)來表達。精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）沿流線運動的無窮小流體微團，其速度等于流線上每一點的當(dāng)?shù)厮俣炔捎昧黧w微團模型來理解物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念：精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖考慮非定常流動：精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖考慮非定常流動：精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖在1點做如下的泰勒級數(shù)展開：精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖這里D/Dt代表流體微團通過1點時，流體微團密度變化的瞬時時間變化率。我們把D/Dt定義為密度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖注意D/Dt是給定的流體微團在空間運動時，其密度的時間變化率。我們必須跟蹤運動的流體微團，注意它通過點1時密度的變化。精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖物質(zhì)導(dǎo)數(shù)D/Dt與偏導(dǎo)數(shù)/t不同

，/t是在固定點1時觀察密度變化的時間變化率，該變化由流場瞬間的起伏所引起。精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）向量算子精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）D/Dt是物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，它在物理上是跟蹤一個運動的流體微團的時間變化率；流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）/t叫做當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，它在物理上是固定點處的時間變化率；流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）叫做遷移導(dǎo)數(shù)，它在物理上表示由于流體微團從流場中的一點運動到另一點，流場的空間不均勻性而引起的時間變化率。流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可用于任何流場變量，比如Dp/Dt、DT/Dt等流體微團在流場中的運動－物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的示意圖精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）人進入山洞，洞內(nèi)溫度比洞外溫度低，正經(jīng)過洞口向里進時，同時被雪球擊中。洞內(nèi)溫度比洞外溫度低所引起的溫降遷移導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)被雪球擊中所引起的溫降當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)總的溫降物質(zhì)導(dǎo)數(shù)精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)全微分：對時間的全導(dǎo)數(shù)：精選課件物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（運動流體微團的時間變化率）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)在本質(zhì)上與對時間的全導(dǎo)數(shù)相同。對時間的全導(dǎo)數(shù)：精選課件速度散度及其物理意義速度散度這一表達式也經(jīng)常出現(xiàn)在流體動力學(xué)方程中。精選課件隨流體運動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)速度散度及其物理意義考慮如圖所示隨流體運動的控制體。這個控制體在運動中，總是由相同的流體粒子組成，因此它的質(zhì)量是固定的，不隨時間變化。精選課件隨流體運動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)速度散度及其物理意義但是，當(dāng)它運動到流體不同的區(qū)域，由于密度不同，它的體積和控制面會隨著時間改變。精選課件隨流體運動的有限控制體，同一批流體質(zhì)點始終位于同一控制體內(nèi)速度散度及其物理意義也就是說，隨著流場特性的變化，這個質(zhì)量固定的、運動著的控制體，體積不斷地增大或減小，形狀也在不斷地改變著。精選課件速度散度及其物理意義速度散度的物理意義：是每單位體積運動著的流體微團，體積相對變化的時間變化率。精選課件連續(xù)性方程精選課件空間位置固定的有限控制體模型精選課件空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量＝控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率精選課件空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型通過控制面S流出控制體的凈質(zhì)量流量＝控制體內(nèi)質(zhì)量減少的時間變化率或精選課件空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的有限控制體模型連續(xù)性方程：精選課件隨流體運動的有限控制體模型精選課件隨流體運動的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律有限控制體的總質(zhì)量為：精選課件隨流體運動的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型連續(xù)性方程：精選課件空間位置固定的無窮小微團模型精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型X方向的凈流出量為：流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型Y方向的凈流出量為：流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型Z方向的凈流出量為：流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型微團內(nèi)質(zhì)量增加的時間變化率為：流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型流出微團的質(zhì)量流量＝微團內(nèi)質(zhì)量的減少或精選課件空間位置固定的無窮小微團模型空間位置固定的無窮小微團模型或連續(xù)性方程：精選課件隨流體運動的無窮小微團模型精選課件隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型流體微團的質(zhì)量：連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律精選課件隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律精選課件隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程質(zhì)量守恒定律精選課件隨流體運動的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型連續(xù)性方程：精選課件方程不同形式之間的轉(zhuǎn)換空間位置固定的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型精選課件方程不同形式之間的轉(zhuǎn)換空間位置固定的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型精選課件方程不同形式之間的轉(zhuǎn)換空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型精選課件積分形式與微分形式的重要注釋空間位置固定的有限控制體模型隨流體運動的有限控制體模型空間位置固定的無窮小微團模型隨流體運動的無窮小微團模型精選課件積分形式與微分形式的重要注釋積分形式的方程允許出現(xiàn)間斷，微分形式的方程要求流動參數(shù)是連續(xù)的。因此，積分形式的方程比微分形式的方程更基礎(chǔ)、更重要。在流動包含真實的間斷（如激波）時，這一點尤其重要。精選課件動量方程精選課件動量方程動量方程牛頓第二定律精選課件動量方程力的兩個來源：1）體積力：直接作用在流體微團整個體積微元上的力，而且作用是超距離的，比如重力，電場力，磁場力。隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程力的兩個來源：2）表面力：直接作用在流體微團的表面。隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程表面力的兩個來源：1）壓力2）粘性力精選課件動量方程粘性力的兩個來源：1）正應(yīng)力2）切應(yīng)力精選課件動量方程切應(yīng)力：與流體剪切變形的時間變化率有關(guān)，如下圖中的xy精選課件動量方程正應(yīng)力：與流體微團體積的時間變化率有關(guān)，如下圖中的xx精選課件動量方程作用在單位質(zhì)量流體微團上的體積力記做，其X方向的分量為隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程作用在流體微團上的體積力的X方向分量＝隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向的壓力＝精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向的正應(yīng)力＝精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向的切應(yīng)力＝精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向總的表面力＝隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向總的力：隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程作用在流體微團上的X方向總的力：精選課件動量方程運動流體微團的質(zhì)量：隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程運動流體微團的X方向的加速度：隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程由牛頓第二定理得粘性流X方向的動量方程：隨流體運動的無窮小微團模型精選課件動量方程類似地，可得Y方向和Z方向的動量方程：精選課件動量方程三個方向的動量方程：以上為非守恒形式的納維－斯托克斯方程(Navier-Stokes方程)，簡稱非守恒形式的N－S方程。精選課件動量方程非守恒形式的的N－S方程可以轉(zhuǎn)化為如下守恒形式的N－S方程精選課件動量方程牛頓流體：流體的切應(yīng)力與應(yīng)變的時間變化率(也就是速度梯度)成正比。在空氣動力學(xué)的所有實際問題中，流體都可以看成牛頓流體。精選課件動量方程對牛頓流體，有精選課件動量方程完整的N－S方程守恒形式：精選課件能量方程精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量能量方程能量守恒定律精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內(nèi)能量的變化率流入微團內(nèi)的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量作用于速度為V的流體微團上的體積力，做功的功率為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量對比下圖作用在面adhe和面bcgf上的壓力，則壓力在X方向上做功的功率為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量類似地，在面abcd和面efgh上，切應(yīng)力在X方向上做功的功率為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量所有表面力（包括壓力、正應(yīng)力、切應(yīng)力）在X方向上做功的功率為：精選課件能量方程所有力（包括體積力、表面力）做功的功率總和（包括X方向、Y方向、Z方向）為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內(nèi)能量的變化率流入微團內(nèi)的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流入微團的凈熱流量來源兩個方面：1）體積加熱，如吸收或釋放的熱輻射。精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流入微團的凈熱流量來源兩個方面：2）由溫度梯度導(dǎo)致的跨過表面的熱輸運，即熱傳導(dǎo)。精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量定義為單位質(zhì)量的體積加熱率；運動流體微團的質(zhì)量為，因此，微團的體積加熱為精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量考慮面adhe和面bcgf，熱傳導(dǎo)在X方向?qū)α黧w微團的加熱為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量熱傳導(dǎo)在X、Y、Z三個方向?qū)α黧w微團的加熱為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量因此，流入微團內(nèi)的凈熱流量為：精選課件能量方程根據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)定律，熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱流與當(dāng)?shù)氐臏囟忍荻瘸烧?，設(shè)k為熱導(dǎo)率，則精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量因此，流入微團內(nèi)的凈熱流量可寫為：精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內(nèi)能量的變化率流入微團內(nèi)的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量跟隨流體運動的微團的能量有兩個來源：1）由分子隨機運動而產(chǎn)生的內(nèi)能，定義單位質(zhì)量內(nèi)能為e精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量跟隨流體運動的微團的能量有兩個來源：2）流體微團平動時具有的動能，單位質(zhì)量的動能為精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量運動流體微團的質(zhì)量為，因此，流體微團內(nèi)能量的變化率為精選課件能量方程隨流體運動的無窮小微團的能量通量流體微團內(nèi)能量的變化率流入微團內(nèi)的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率根據(jù)能量守恒定律，有精選課件能量方程流體微團內(nèi)能量的變化率流入微團內(nèi)的凈熱流量＝＋體積力和表面力對微團做功的功率于是能量方程（非守恒形式）為：精選課件能量方程只用內(nèi)能e表示的能量方程（非守恒形式）為：只用內(nèi)能e表示的能量方程中不包含體積力項。精選課件能量方程只用內(nèi)能e表示的能量方程（非守恒形式）可寫為：根據(jù)，，精選課件能量方程對牛頓流體，有精選課件能量方程只用內(nèi)能e表示的能量方程（非守恒形式）可寫為：精選課件能量方程只用內(nèi)能e表示的能量方程（守恒形式）為：精選課件能量方程用總能表示的能量方程（守恒形式）為：精選課件流體力學(xué)控制方程的總結(jié)與注釋精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：1.連續(xù)性方程非守恒形式：守恒形式：精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程非守恒形式：精選課件粘性流動的納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三維可壓縮粘性流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程守恒形式：精選課件無粘流歐拉(Euler)方程精選課件非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：1.連續(xù)性方程非守恒形式：守恒形式：無粘流歐拉(Euler)方程精選課件非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：無粘流歐拉(Euler)方程精選課件非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：2.動量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：無粘流歐拉(Euler)方程精選課件非定常三維可壓縮無粘流動的控制方程總結(jié)如下：3.能量方程非守恒形式：無粘流歐拉(Euler)方程守恒形式：精選課件關(guān)于控制方程的注釋精選課件關(guān)于控制方程的注釋連續(xù)性方程、動量方程、能量方程共有5個，但有六個未知的流場變量：精選課件關(guān)于控制方程的注釋在空氣動力學(xué)中，通常假設(shè)氣體是完全氣體（分子間作用力可忽略），狀態(tài)方程是：狀態(tài)方程提供了第6個方程，但引進了第七個未知量：溫度T精選課件關(guān)于控制方程的注釋用以封閉整個方程組的第七個方程必須是狀態(tài)參量之間的熱力學(xué)關(guān)系。比如：對常比熱容完全氣體，這個關(guān)系可以是：其中的是定容比熱。這個方程有時候也被稱為量熱狀態(tài)方程。精選課件物理邊界條件精選課件物理邊界條件無論流動是波音747飛機周圍的流動、亞聲速風(fēng)洞內(nèi)的流動，還是流過一個風(fēng)車流動，控制方程都是相同的。然而，盡管流動的控制方程是相同的，可這些情形中流動卻是完全不同的。為什么會這樣的呢？差異是哪里產(chǎn)生的呢？精選課件物理邊界條件答案是邊界條件。不同的邊界條件，有時還包括初始條件，使得同一個控制方程得到不同的特解。精選課件物理邊界條件對于粘性流動，物面上的物理邊界條件有物面速度無滑移邊界條件和物面溫度邊界條件。物面速度無滑移邊界條件指：緊挨物面的氣流與物面之間的相對速度為零。即：在物面（對于粘性流動）精選課件物理邊界條件大部分粘性流動的物面溫度邊界條件要么給定一個常數(shù)作為壁面溫度，即在物面要么假設(shè)壁面為絕熱壁，即在物面精選課件物理邊界條件對于無粘流動，物面上唯一的物理邊界條件是法向速度為零邊界條件。也就是說物面上的流動與物面相切。在物面（對于無粘流動）精選課件物理邊界條件無論是粘性流還是無粘流，根據(jù)問題的不同，流場中不是物面的地方有多種不同類型的邊界條件。比如對于流過固定形狀管道的流動，應(yīng)該在管道的入口和出口有適合的入流和出流邊界條件。比如對于已知來流中的飛行物，則給定自由來流條件作為物體四周無窮遠處的邊界條件。精選課件適合CFD使用的控制方程精選課件適合CFD使用的控制方程守恒變量：非守恒變量：精選課件適合CFD使用的控制方程非守恒變量可以由守恒變量求出：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是守恒變量。非守恒形式的控制方程：流動控制方程中的因變量是非守恒變量。精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一個優(yōu)點：守恒形式的控制方程為算法設(shè)計和編程計算提供了方便。守恒形式的連續(xù)性方程、動量方程和能量方程可以用同一個通用方程來表達，這有助于計算程序的簡化和程序結(jié)構(gòu)的組織。精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于無粘或粘性流動：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于無粘流動：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：對于粘性流動：精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程組都可以表達成如下形式：列向量U被稱為解向量。列向量F,G,H被稱為通量向量（或通量項）。列向量J代表源項（當(dāng)體積力和體積熱流可忽略時等于零）精選課件適合CFD使用的控制方程在某些問題中，非定常的瞬時流場是我們最感興趣的。這類問題為非定常問題。對其他一些問題，需要得到定常解，這類問題為定常問題。精選課件適合CFD使用的控制方程求解定常問題，最好的方式是求解非定常方程，用長時間的漸進解趨于定常狀態(tài)。這種方法稱為求解定常流動的時間相關(guān)算法。精選課件適合CFD使用的控制方程上面方程的求解采用了時間推進的方式，也就是說，相關(guān)的流動變量是按時間步，一步步推進求解的。精選課件適合CFD使用的控制方程時間推進的方式解向量U的分量通常就是每一時間步直接被求解的未知函數(shù)，右邊的空間導(dǎo)數(shù)項被看成是已知的。通過某種方式求出右邊的空間導(dǎo)數(shù)項，比如可以用上一個時間步的結(jié)果計算出方程右邊的這些項。精選課件適合CFD使用的控制方程在包含激波的流場中，流場的原始變量p,,u,T等在跨過激波時，會發(fā)生急劇的不連續(xù)變化。采用激波捕捉法計算含激波的流場時，是讓激波作為流場計算的直接結(jié)果，自然而然地出現(xiàn)在計算區(qū)域里，而不必對激波本身進行特殊的處理。精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二個優(yōu)點：采用激波捕捉法計算含激波的流場時，應(yīng)該采用守恒形式的控制方程，以使計算結(jié)果光滑、穩(wěn)定。如果采用非守恒形式，流場計算結(jié)果在激波上下游出現(xiàn)空間振蕩（抖動），激波的位置也可能不對，甚至計算不穩(wěn)定。精選課件適合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程使用通量變量作為未知函數(shù)，而通量變量在跨過激波時的變化要么為零，要么很小。精選課件適合CFD使用的控制方程與把原始變量作為未知函數(shù)的非守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法數(shù)值解的質(zhì)量。精選課件計算流體力學(xué)CFD(2)精選課件離散化的基本方法精選課件引言精選課件引言理論上，根據(jù)偏微分方程的解能得到流場中任意點上流場變量的值。離散網(wǎng)格點精選課件引言實際上，我們采用代數(shù)差分的方式將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。離散網(wǎng)格點精選課件引言通過求解代數(shù)方程組獲得流場中離散網(wǎng)格節(jié)點上的變量值。離散網(wǎng)格點精選課件引言從而，使得原來的偏微分方程組被“離散化”了。離散網(wǎng)格點精選課件引言精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：精選課件有限差分基礎(chǔ)泰勒級數(shù)展開：差分表達式截斷誤差精選課件有限差分基礎(chǔ)一階向前差分：上述差分表達式用到了(i,j)點及其右邊(i+1,j)點的信息，沒有左邊(i-1,j)點的信息，且精度為一階精選課件有限差分基礎(chǔ)離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：精選課件有限差分基礎(chǔ)泰勒級數(shù)展開：精選課件有限差分基礎(chǔ)一階向后差分：上述差分表達式用到了(i,j)點及其左邊(i-1,j)點的信息，沒有右邊(i+1,j)點的信息，且精度為一階精選課件有限差分基礎(chǔ)兩式相減得：精選課件有限差分基礎(chǔ)得：精選課件有限差分基礎(chǔ)二階中心差分：上述差分表達式用到了左邊(i-1,j)點及右邊(i+1,j)點的信息，(i,j)點位于它們中間，且精度為二階精選課件有限差分基礎(chǔ)Y方向的差分表達式：精選課件有限差分基礎(chǔ)兩式相加得：精選課件有限差分基礎(chǔ)得：二階中心差分（關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）精選課件有限差分基礎(chǔ)對Y方向的二階導(dǎo)數(shù)有：二階中心差分（關(guān)于Y方向二階導(dǎo)數(shù)）精選課件有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對y求導(dǎo)得：精選課件有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對y求導(dǎo)得：精選課件有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)兩式相減得：6精選課件有限差分基礎(chǔ)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)6精選課件有限差分基礎(chǔ)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)精選課件有限差分基礎(chǔ)二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一個時間步或空間步都需要更多的計算機時間。精選課件有限差分基礎(chǔ)在邊界上怎樣構(gòu)造差分近似？邊界網(wǎng)格點精選課件有限差分基礎(chǔ)向前差分，只有一階精度。邊界網(wǎng)格點精選課件有限差分基礎(chǔ)在邊界上如何得到二階精度的有限差分呢？邊界網(wǎng)格點精選課件有限差分基礎(chǔ)不同于前面的泰勒級數(shù)分析，下面采用多項式來分析。邊界網(wǎng)格點精選課件有限差分基礎(chǔ)設(shè)邊界網(wǎng)格點在網(wǎng)格點1，在網(wǎng)格點2，在網(wǎng)格點3，精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點得精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點對y求導(dǎo)得：在邊界點1，精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點得：精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點根據(jù)知為三階精度精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點故為兩階精度為三階精度精選課件有限差分基礎(chǔ)邊界網(wǎng)格點為單側(cè)差分精選課件差分方程精選課件差分方程對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示。精選課件差分方程考慮非定常一維熱傳導(dǎo)方程：精選課件差分方程精選課件差分方程精選課件差分方程精選課件差分方程偏微分方程：差分方程：截斷誤差：精選課件差分方程差分方程是一個代數(shù)方程，如果在右圖所示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點上都列出差分方程，就得到一個聯(lián)立的代數(shù)方程組。精選課件差分方程當(dāng)網(wǎng)格點的數(shù)量趨于無窮多，也就是時，差分方程能否還原為原來的微分方程呢？精選課件差分方程截斷誤差：截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原微分方程。精選課件差分方程從而差分方程確實趨近于原微分方程，如果，截斷誤差趨于零，此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相容的。精選課件差分方程原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別截斷誤差：精選課件差分方程原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別離散誤差：精選課件顯式方法與隱式方法精選課件顯式方法精選課件顯式方法精選課件顯式方法上述方程是拋物型方程，可以推進求解，推進變量是時間t精選課件顯式方法邊界條件已知精選課件顯式方法邊界條件已知精選課件顯式方法顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方法顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。精選課件隱式方法精選課件隱式方法克蘭克－尼科爾森格式精選課件隱式方法對于排列在同一時間層所有網(wǎng)格點上的未知量，必須將它們聯(lián)立起來同時求解，才能求出這些未知量，這種方法就定義為隱式方法。精選課件隱式方法由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運算。隱式方法比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計算。精選課件隱式方法精選課件隱式方法A，B，Ki均為已知量精選課件隱式方法A，B，Ki均為已知量精選課件隱式方法在網(wǎng)格點2：A，B，Ki均為已知量T1為邊界條件，已知量精選課件隱式方法在網(wǎng)格點3：A，B，Ki均為已知量在網(wǎng)格點4：在網(wǎng)格點5：精選課件隱式方法A，B，Ki均為已知量在網(wǎng)格點6：T7為邊界條件，已知量精選課件隱式方法于是有關(guān)于T2，T3，T4，T5，T6這五個未知數(shù)的五個方程A，B，Ki均為已知量精選課件隱式方法寫成矩陣形式：精選課件隱式方法系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非零元素。求解線性代數(shù)方程組的標準方法是高斯消去法。應(yīng)用于三對角方程組，通常采用托馬斯算法（國內(nèi)稱為追趕法）求解。精選課件顯式方法與隱式方法的比較精選課件顯式方法與隱式方法的比較對于顯式方法，一旦x取定，那么t的取值必須受到穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否則，計算不穩(wěn)定。因此，t必須取得很小，才能保持計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運行很長時間。精選課件顯式方法與隱式方法的比較隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多的t，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，隱式方法所用的時間步數(shù)比顯式方法少很多。精選課件顯式方法與隱式方法的比較對某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會比顯式方法花的時間長，但由于時間步數(shù)少，總的運行時間可能比顯式方法少。精選課件顯式方法與隱式方法的比較另外，當(dāng)t取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在跟蹤嚴格的瞬態(tài)變化（未知函數(shù)隨時間的變化）時，可能不如顯式方法精確。不過，對于以定常態(tài)為最終目標的時間相關(guān)算法，時間上夠不夠精確并不重要。精選課件顯式方法與隱式方法的比較當(dāng)流場中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點分布很密，采用顯式方法，小的時間步長會導(dǎo)致計算時間特別長。例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場會產(chǎn)生急劇的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的空間網(wǎng)格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運行時間。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析精選課件誤差與穩(wěn)定性分析在從一個推進步進行到下一步時，如果某個特定的數(shù)值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差不增長，甚至在從一個推進步進行到下一步時，誤差還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析A=偏微分方程的精確解（解析解）D=差分方程的精確解離散誤差=A-D精選課件誤差與穩(wěn)定性分析D=差分方程的精確解舍入誤差==N-DN=在某個有限精度的計算機上實際計算出來的解（數(shù)值解）N=D+精選課件誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差數(shù)值解N滿足差分方程，于是有精選課件誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差精確解D也必然滿足差分方程，于是有精選課件誤差與穩(wěn)定性分析數(shù)值解N=精確解D+誤差兩式相減得，誤差也滿足差分方程：精選課件誤差與穩(wěn)定性分析當(dāng)求解過程從第n步推進到第n+1步時，如果i衰減，至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，如果i增大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應(yīng)該有：精選課件誤差與穩(wěn)定性分析根據(jù)vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法，設(shè)誤差隨空間和時間符合如下Fourier級數(shù)分布：則精選課件誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求故放大因子精選課件誤差與穩(wěn)定性分析下面采用vonNeumann（馮諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法分析如下差分方程的穩(wěn)定性：由于誤差也滿足差分方程，故有精選課件誤差與穩(wěn)定性分析由于誤差也滿足差分方程，故有而則精選課件誤差與穩(wěn)定性分析解得放大因子精選課件誤差與穩(wěn)定性分析要使放大因子必須滿足精選課件誤差與穩(wěn)定性分析上式就是差分方程的穩(wěn)定性條件。對于給定的x，t的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。的差分方程是無條件不穩(wěn)定的。比如，一階波動方程：精選課件誤差與穩(wěn)定性分析但如果用則（Lax方法）精選課件誤差與穩(wěn)定性分析令誤差則放大因子式中精選課件誤差與穩(wěn)定性分析則放大因子穩(wěn)定性要求則精選課件誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求式中的C稱為柯朗(Courant)數(shù)。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性要求上式稱為柯朗－弗里德里奇－列維(Courant-Friedrichs-Lewy)條件，一般寫成CFL條件。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析下面來看CFL條件的物理意義。CFL條件：也是二階波動方程：的穩(wěn)定性條件。精選課件誤差與穩(wěn)定性分析下面來看CFL條件的物理意義。二階波動方程：的特征線為精選課件CFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。誤差與穩(wěn)定性分析精選課件CFL條件的物理意義：要保證穩(wěn)定性，數(shù)值解的依賴區(qū)域必須全部包含解析解的依賴區(qū)域。誤差與穩(wěn)定性分析精選課件計算流體力學(xué)CFD(3)精選課件網(wǎng)格生成與坐標變換精選課件引言精選課件引言在CFD里，確定適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格是一件非常重要的事情。網(wǎng)格會影響數(shù)值計算的成功與失敗。精選課件引言標準的有限差分方法需要均勻網(wǎng)格。如果在流場內(nèi)生成了非均勻網(wǎng)格，也需要將它變換成均勻分布的矩形網(wǎng)格。精選課件引言采用均勻網(wǎng)格計算翼型繞流有如下問題：1）有些網(wǎng)格點落入翼型內(nèi)部，而不是在流場里，如何給定這些點上的流動參量？精選課件引言采用均勻網(wǎng)格計算翼型繞流有如下問題：2）只有少量的網(wǎng)格點落在翼型表面上，這也不好。因為翼型表面是極其重要的邊界，翼型表面上的邊界條件確定了整個流動。精選課件引言1）翼型內(nèi)部沒有網(wǎng)格點2）網(wǎng)格點落在翼型表面上精選課件引言網(wǎng)格既不是矩形的，也不是均勻分布的。通常的差分很難應(yīng)用，必須轉(zhuǎn)換。精選課件引言控制方程從物理平面(x,y)轉(zhuǎn)換到計算平面(,)物理平面計算平面貼體網(wǎng)格精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換考慮二維非定常流場，從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)物理平面計算平面精選課件方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)下標表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量精選課件方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)下標表示求偏導(dǎo)數(shù)過程中保持不變的量精選課件方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換精選課件方程的一般變換精選課件度量和雅可比行列式精選課件度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)涉及網(wǎng)格幾何性質(zhì)的項，如/x,/y,/x,/y稱為度量。精選課件度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)如果上述變換式用解析形式給出，則度量也能得到解析值。精選課件度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)大部分情況下，上述關(guān)系式是用數(shù)值形式給出的，則度量用有限差分計算。精選課件度量和雅可比行列式從物理平面(x,y,t)計算平面(,,)逆變換下面推導(dǎo)用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)從計算平面(,,)物理平面(x,y,t)精選課件度量和雅可比行列式令u的全微分為：則：精選課件度量和雅可比行列式由得：精選課件度量和雅可比行列式分母上的行列式稱為雅可比行列式，記作精選課件度量和雅可比行列式由得：精選課件度量和雅可比行列式精選課件度量和雅可比行列式寫成更一般的形式：精選課件度量和雅可比行列式用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)（含J）：精選課件度量和雅可比行列式用直接變換來表示導(dǎo)數(shù)(不含J)：下面根據(jù)逆度量和直接度量之間的關(guān)系式來推導(dǎo)怎么用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)。精選課件度量和雅可比行列式考慮二維的直接變換：有：精選課件度量和雅可比行列式即：精選課件度量和雅可比行列式再考慮二維的逆變換：有：精選課件度量和雅可比行列式即：精選課件度量和雅可比行列式由：得：精選課件度量和雅可比行列式由：和得：精選課件度量和雅可比行列式即：精選課件度量和雅可比行列式因為行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變，則：故：精選課件度量和雅可比行列式于是就得到了直接度量和逆度量之間的關(guān)系式：直接度量逆度量精選課件度量和雅可比行列式用直接變換來表示導(dǎo)數(shù)(不含J)：代入得到用逆變換表示的導(dǎo)數(shù)：精選課件再論適合CFD使用的控制方程精選課件再論適合CFD使用的控制方程在物理平面，流動方程的強守恒形式在計算平面，還能寫成如下的形式嗎？精選課件再論適合CFD使用的控制方程在物理平面，流動方程的強守恒形式答案是能。在計算平面，可以寫成以下形式：精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格流過平板的粘性流直接變換（解析變換）逆變換（解析變換）精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格直接變換（解析變換）逆變換（解析變換）精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格物理平面上的連續(xù)性方程計算平面上的連續(xù)性方程：精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格得：直接變換（解析變換）精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格計算平面上的連續(xù)性方程：精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格物理平面上的連續(xù)性方程計算平面上的連續(xù)性方程：精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格逆變換（解析變換）下面根據(jù)逆變換關(guān)系式來推導(dǎo)計算平面上的連續(xù)性方程。精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格物理平面上的連續(xù)性方程用逆變換來表示導(dǎo)數(shù)（含J）：精選課件拉伸（壓縮）網(wǎng)格逆變換（解析變換）計算平面上的連續(xù)性方程：精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成a)物理平面b)計算平面擴張管道內(nèi)流物理平面中貼體曲線坐標系計算平面內(nèi)均勻矩形網(wǎng)格精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成a)物理平面O型網(wǎng)格qp和sr是同一條曲線割縫精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成b)計算平面精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成b)計算平面a)物理平面四周邊界條件給定，采用橢圓型方程來生成網(wǎng)格，稱為橢圓型網(wǎng)格生成最簡單的橢圓型方程是Laplace方程：精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成Laplace方程：精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成計算平面（標出了邊界條件，并畫了一個內(nèi)點）精選課件貼體坐標系：橢圓型網(wǎng)格生成b)計算平面a)物理平面變換沒有解析式，而是一組數(shù)值控制方程中所要求的