多邊形的內(nèi)角和

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.2多邊形的內(nèi)角和形狀圖形從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)分割出三角形的個(gè)數(shù)多邊形內(nèi)角和三角形四邊形五邊形六邊形……n

邊形······03-3=4-3=5-3=6-3=n-3123······3-

2=14-

2=25-

2=36-

2=4n-2（n-2）·180o180o360o

540o720o············

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n-3）條對(duì)角線，它們將n邊形分為（n-2）個(gè)三角形，這（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．歸納總結(jié)通過(guò)上述過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？

填空：（1）十邊形的內(nèi)角和為

度．（2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為______．練習(xí)例1如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).問(wèn)題3

五邊形的外角和等于多少度？六邊形呢？

仿照上面的方法試一試．6×180°-（6-2）×180°=2×180°=360°

n邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，所以，n邊形的外角和為：

n·180°-（n

-2）·180°=360°．

任意多邊形的外角和等于360°．n

邊形的外角和知識(shí)點(diǎn)3我們也可以在問(wèn)題4的基礎(chǔ)上這樣理解多邊形外角和等于360°．如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．A在行程中轉(zhuǎn)過(guò)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過(guò)的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形外角和等于360°．我們也可以在問(wèn)題4的基礎(chǔ)上這樣理解多邊形外角和等于360°．A鞏固多邊形外角和公式一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是___邊形.一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是___邊形.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是____邊形.隨堂演練1.下列各個(gè)度數(shù)中，不可能是多邊形的內(nèi)角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°2.若多邊形的邊數(shù)由3增加到5，則其外角和的度數(shù)（）A.增加 B.減少C.不變D.不能確定基礎(chǔ)鞏固3.如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米，后左轉(zhuǎn)30度，再沿直線前進(jìn)10米.又向左轉(zhuǎn)30度，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了多少米？拓展延伸課堂小結(jié)

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n-3）條對(duì)角線，它們將n邊形分為（n-2）個(gè)三角形，這（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．多邊形外角和等于360°．A3.已知，在四邊形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B與∠A的差等于∠C，∠D與∠C的差是80度，求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解：設(shè)∠A=5x°，∠D=y°，則∠B=7x°，∠C=2x°，由題意可得解得所以∠A=87.5°，∠B=122.5°，∠C=35°，∠D=115°.綜合應(yīng)用解：不存在．

理由：如果存在這樣的多邊形，設(shè)它的一個(gè)外角為x，則對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為180°-x

，于是x=180°-

x，解得x=1