吉林省吉林市普通高中高三第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆吉林省吉林市普通高中高三第四次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，根據(jù)集合，先求解出，然后結(jié)合集合，即可求解.【詳解】由已知，集合，所以，而集合，所以.故選：A.2．設(shè)命題，，則命題p的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，即可得到答案.【詳解】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定方法可知，特稱命題，的否定為：，.故選：B.3．已知，函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C．5 D．6【答案】B【分析】運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B4．如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出S的值是（

）A．6 B．14 C．16 D．38【答案】C【分析】初始值：k=0，n=4，S=1，根據(jù)判斷條件，執(zhí)行循環(huán)，直到跳出循環(huán)，輸出結(jié)果【詳解】k=0，n=4，S=1第一循環(huán)：n=4，S=2,k=2第二循環(huán)：n=4，S=6,k=4第三循環(huán)：n=4，S=16,k=6輸出S=16故選：C5．如圖，中，，，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】故選：B.6．已知a，b是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】設(shè)出的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A，B，D；舉例說(shuō)明判斷C作答.【詳解】設(shè)平面的法向量分別為，對(duì)于A，由得，，，而，則，有，即，于是得，A正確；對(duì)于B，因，則，令直線的方向向量為，又，于是得，有，，B正確；對(duì)于C，三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別視為平面，顯然平面平面，平面，有，即滿足C中命題的條件，但平面與平面相交，C不正確；對(duì)于D，因，則，因此，向量共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，而平面，即不共線，于是得，所以，D正確.故選：C7．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，所以有，或，故選：D8．智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周?chē)脑肼暎缓笸ㄟ^(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線是，通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是（其中），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由于抵消噪聲，所以振幅沒(méi)有改變，周期沒(méi)有改變，即，，即，要想抵消噪聲，需要主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，即，因?yàn)?，所以令，即，故選：C9．在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】由結(jié)合余弦定理可求得，由結(jié)合正弦定理可求得，從而可判斷出三角形的形狀【詳解】由，得，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?所以為等腰直角三角形，故選：A10．對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．有理項(xiàng)共5項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)和為512C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng) D．各項(xiàng)系數(shù)和為【答案】C【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)有5項(xiàng)，A正確；所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，B正確；因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式共有10項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，C錯(cuò)誤；令，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D正確.故選：C11．下列各個(gè)函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式序號(hào)為（

）①

②

③

④A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①【答案】A【分析】先通過(guò)函數(shù)定義域和奇偶性進(jìn)行判斷，再利用導(dǎo)數(shù)對(duì)①求導(dǎo)，求其在上的最大值．【詳解】，的定義域?yàn)椋?，的定義域?yàn)樵诙x域內(nèi)恒成立，則前兩個(gè)對(duì)應(yīng)函數(shù)分別為④②當(dāng)時(shí)，則，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則①對(duì)應(yīng)的為第三個(gè)函數(shù)故選：A．12．已知直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H，直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為T(mén)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．且 B． C．為定值 D．的最小值為2【答案】D【分析】由已知，可由雙曲線方程推導(dǎo)結(jié)論，選項(xiàng)A，根據(jù)雙曲線方程，可以求得漸近線方程，然后直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，即可求解出的取值范圍；選項(xiàng)B，利用坐標(biāo)表示出，從而找到與之間的關(guān)系；選項(xiàng)C，由可知；選項(xiàng)D，利用借助基本不等式可得，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】參考結(jié)論：已知雙曲線方程為：，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)也在雙曲線上，則．推導(dǎo)：由得，，則，，所以解析：，，，，則選項(xiàng)A，雙曲線，所以漸近線方程為，直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，所以，由已知，，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，∴，∴，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.二、填空題13．復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)__________．【答案】.【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為-1.【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.14．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，分析得出，由圓錐的側(cè)面積計(jì)算出、的值，可求得圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，可得，圓錐的側(cè)面積為，解得，，所以，圓錐的高為，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.15．為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準(zhǔn)備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民．若一個(gè)“蔬菜包”中不同時(shí)含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成___________種不同的“蔬菜包”．【答案】27【分析】運(yùn)用加法分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)土豆和蘿卜都不含有時(shí)，蔬菜包的種數(shù)為；當(dāng)土豆和蘿卜中只含有一種時(shí)，蔬菜包的種數(shù)為，所以可以組成種不同“蔬菜包”種數(shù)為，故答案為：27三、雙空題16．已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為0，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)________；設(shè)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．【答案】

1

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，從而求出，令，即可得到，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)草圖，即可得到，再令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；【詳解】解：，則，則，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取極大值，符合題意；令，則構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，易知的圖象如圖所示：不妨令，令∵∴在上單調(diào)遞增，即∵，∴，即∵，∴∵在上單調(diào)遞減，∴故答案為：1；四、解答題17．在①，②這兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，_________，求．注：如果選擇兩個(gè)條件并分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，即可寫(xiě)出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求基本量，進(jìn)而寫(xiě)出前n項(xiàng)和公式.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，因?yàn)?，且成等比?shù)列，所以，解得：或（舍），所以．(2)選擇①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋?，又，即，所以或（舍），所以．選擇②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，即，可得或（舍），所以?8．為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識(shí)騙防騙能力，守好居民的“錢(qián)袋子”，某社區(qū)開(kāi)展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：成績(jī)（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書(shū)”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書(shū)”．附：若，則，，．【答案】(1)，(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”，進(jìn)而計(jì)算可得人數(shù)；②利用正態(tài)分布的知識(shí)求出，即，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)100名居民本次競(jìng)賽成績(jī)平均分，100名居民本次競(jìng)賽成績(jī)方差，(2)①由于近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成績(jī)方差，所以，，可知，，由于競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，因此競(jìng)賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”的概率估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書(shū)”的居民人數(shù)為2456；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書(shū)”，所以競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先峰證書(shū)”．19．如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點(diǎn)O，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；【分析】(1)由條件證明，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理可證平面；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求與平面所成角的正弦值，由此可求.【詳解】(1)∵，，∴，又O是中點(diǎn)∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面(2)∵底面是菱形，∴以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．又，所以，∴，設(shè)平面的法向量是，∴，令，則，假設(shè)線段上存在點(diǎn)F，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴時(shí)，即存在點(diǎn)F是中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角的正弦值是．20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)證明：．【答案】(1)0(2)證明見(jiàn)解析【分析】小問(wèn)1：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最小值；小問(wèn)2：由（1）得，①當(dāng)時(shí)，不等式成立，②當(dāng)時(shí)，，然后對(duì)不等式進(jìn)行累加即可得到答案.【詳解】(1)函數(shù)的定義域是R，，設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增．又，令，則；令，則．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．即的最小值為：．(2)由（1）得：，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．令，則，①當(dāng)時(shí)，不等式成立；②當(dāng)時(shí)，．所以，，，……．將上式左右兩邊分別相加得：．∴，綜上：．【點(diǎn)睛】本題對(duì)導(dǎo)數(shù)與不等式的放縮進(jìn)行了綜合考查.21．已知拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4，橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．【答案】(1)；(2)【分析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由條件求，(2)聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件求出點(diǎn)的軌跡，列方程求，由此可得離心率.【詳解】(1)拋物線的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4可得拋物線的方程：橢圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)橢圓的右頂點(diǎn)為，所以．(2)①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為由得，∵∴，即∴∴，∴又∵∴，即∴∴N點(diǎn)軌跡為直線②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)在直線上．∴N點(diǎn)軌跡方程為最小值即點(diǎn)O到直線的距離∴，即橢圓的離心率為．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．22．以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，如圖，在極坐標(biāo)系中，曲邊三角形為勒洛三角形，且，，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)求的極坐標(biāo)方程和所在圓的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，曲線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）由已知，可根據(jù)題意直接寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程，并標(biāo)注范圍，然后求解出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，寫(xiě)出所在圓的直角坐標(biāo)方程即可；（2）由已知，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)