新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章《基本不等式的應(yīng)用-換元法》專題

2222基本不等式：①若

R

，

a

22

（當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號）②

R

，

a2

（當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號）基本不等式成立的條件：一正，定，三相等③

R，ab

aba222

2

（當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號）基本應(yīng)用：①若

abp

，則

ab

a2

2

p24

（和定，積有最大值）②若

ab，b2abp

（積定，和有最小值）練習(xí)：若

x,yR

，

xyx3

，則

的最小值為.【析思一不等形轉(zhuǎn)：xyxy3得x

xy2

2

3即y4120

，解得

x或y

（舍去的值6思二代消：

由

xyy3得y

x341x1x1

，所以

yx1

4412261x1x1

，當(dāng)x3

時取等號，所以x的小為6思三判式）：令

則yt代xyxy3x

2

txt30

，2

4t

，解得

或

2

（舍去

的最小值為6思四因分+換元分析求形式最值前最有為值形將

xyx3

因式分解，得

y

，令

，

y

，則

，y22mn6，以的值為61

思考：變式若

x,y

，

xy，則2x

的最小值為

分：面思二思三思四法可解本，面展思四法將

xy

因式分解，得

(，，，4，2y2m222

，所以

y

的最小值為

32一二形的元+式解例1①若正數(shù)x,y滿xy，y

的最小值（）

245

C.5D.6解：將

xy

因式分解得

1(5x3)(y)，令5x，y5

，則

35

，

313133xymnm555

，故（思路二，三也可解）②若

logablog4

2

ab，a的小值是）

63

73

C.

63

73解：由

log(3ablog4

2

ab

可得

3b

，將其因式分解得(ab

，

令

a

，

bn

，

則

35

，a3

，故選D（路二，三也可解）③若正數(shù)

x,y

滿足

xyx42

，則

xyx

的最小值為

解：將

xyx42

因式分解得

(3)(y2)48

，令

，

y

，則，

xy

代入

xyx得mnm

，即23155

，所以

xy

的最小值為55（路二也可解）二三形的元2

例題2設(shè)

,,c

均為正實數(shù)，且

a(bc，

的最小值為（）

3

3

C.

2

23解：

a()bc2a)3

，令

a

，

，則

mn3

，

2am

，選D②設(shè)

a,b,c

均為正實數(shù)，且

a2bc

，則

的最小值為

解

aba)(c)bm

，a

(aba)m322

，故

a

的最小值為

2三分形的元+湊例題①已知

x,y

為正數(shù)，

4x4xy

的最大值為

解：令

yxyn

mx3，則y3

，所以

4xm4xy

84n44x，以33n3xy

的最大值為

43②設(shè)正數(shù)滿2a

，則

a2

的最小值為（）

2

122C.2D.233解：令

，則b

代入

2得

，所以12122mnn23故選四根中換3

，

33例題①設(shè)正數(shù)a滿a，b

的最大值為

解：令

am

，

bn

，則

2

2

，所以b2

m

2解二（柯西不等式）

a

ba

，所以

ab②設(shè)正數(shù)

,

滿足

a

，則

3ab

的最大值為

解

am

，

bn

m

令

n3sin所以

3bmn

cos

sin(解二（柯西不等式）

225

，所以課演

3ab15若正數(shù)

x,y

滿足

xxy

，則

x

的最小值是（B）

222333已知正數(shù)滿aba，則(

的最小值為

若

x,yR

，已知

)，則

最小值為

122

若