與圓有關(guān)的比例線段切割線定理

關(guān)于與圓有關(guān)的比例線段切割線定理第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月——相交弦、切割線、切線長定理五與圓有關(guān)的比例線段第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月一、下面我們首先沿用從特殊到一般的思路,討論與圓有關(guān)的相交弦的問題.探究1:如圖1,AB是⊙O的直徑,CD⊥AB,AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？OBDACP圖1證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月探究2:將圖１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直徑（如圖２），結(jié)論（１）還成立嗎？OBDACP圖２OBDACP圖１PA·PB=PC·PD……(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月OBDACP圖１PA·PB=PC·PD……(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:∠A＝∠C.∴△APD∽△CPB.探究3:上面討論了CD⊥AB的情形．進(jìn)一步地,如果CD與AB不垂直，如圖３,AB

、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（１）還成立嗎？OBDACP圖３OBDACP圖２PA·PB=PC·PD……(2)PA·PB=PC·PD……(3)綜上所述，不論AB、CD具有什么樣的位置，都有結(jié)論（１）成立！第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.OBDACP幾何語言：

AB

、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,交點為P,∴PA?PB=PC?PD.上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段．第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月探究4:使圓的兩條弦的交點從圓內(nèi)（圖３）運動到圓上（圖４），再到圓外（圖５），結(jié)論(1)還成立嗎？OBDACP圖3OBA(C,P)D圖4OBDACP圖5當(dāng)點P在圓上,PA=PC=0,所以PA?PB=PC?PD=0仍成立.當(dāng)點P在圓外,連接AD、BC,容易證明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA?PB=PC?PD仍成立.第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖,已知點P為⊙O外一點,割線PBA、PDC分別交⊙O于A、B和C、D.求證:PA?PB=PC?PD.證法2：連接AC、BD，∵四邊形ABDC為⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA?PB=PC?PD.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每一條割線與圓的交點的兩條線段長的乘積相等.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割線,∴PA?PB=PC?PD.OCPADB第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月點P從圓內(nèi)移動到圓外PA?PB=PC?PDOBDACP圖3PA?PB=PC?PD圖5OCPADBOA(B)PCD使割線PA繞P點運動到切線的位置，是否還有PA?PB=PC?PD？證明:連接AC、AD,同樣可以證明△PAD∽△PCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PC?PD仍成立.第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖,已知點P為⊙O外一點，PA切⊙O于點A，割線PCD交⊙O于C、D.求證：PA2=PC?PD.證明：連接AC、AD，∵PA切⊙O于點A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC：PA.

∴PA2=PC?PD.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和條割線,切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:∵PA是⊙O的切線,PCD是⊙O的割線,∴PA2=PC?PD.ODPCA探究5:使圓的割線PD繞點P運動到切線位置，可以得出什么結(jié)論？第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月點P從圓內(nèi)移動到圓外.相交弦定理PA?PB=PC?PDOBDACP圖3割線定理PA?PB=PC?PD圖5OCPADB使割線PA繞P點運動到切線的位置.OA(B)PCD切割線定理PA2=PC?PD使割線PC繞P點也運動到切線的位置.切線長定理PA=PC,∠APO=∠CPOOA(B)PC(D)第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：從這幾個定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點？1.結(jié)論都為乘積式;2.幾條線段都是從同一點出發(fā);3.都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）.PC切⊙O于點C

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PA?PB=PC2切割線定理OBPCA割線PCD、PAB交⊙O于點C、D和A、B

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PA?PB=PC?PD割線定理OBCADPAB交CD于點P

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PA?PB=PC?PD相交弦定理OBPCADPA、PC分別切⊙O于點A、C

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PA=PC,∠APO=∠CPO切線長定理OA(B)PC(D)另外，從全等角度可以得到：第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBC′O說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！BADC第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例1如圖,圓內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的長.OBPCAD解：設(shè)CD=x,則PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PA?PB=PC?PD,∴4×4=1/5x?4/5x,解得x=10.∴CD=10.第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=103練習(xí)2.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D,連結(jié)AC,BD,下面各比例式中成立的有:ODPATBCPA·PB=(7-R)·(7+R)△PAC∽△PDB

△BED∽△AEC

△PAD∽△PCB

OCPADBE第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)3.如圖,A是⊙O上一點,過A切線交直徑CB的延長線于點P,AD⊥BC，D為垂足.求證：PB:PD=PO:PC.分析：要證明PB：PD=PO：PC,很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通常化為乘積式來證明,所以可以通過證明PB?PC=PD?PO,而由切割線定理有PA2=PB?PC,只需再證PA2=PD?PO，而PA為切線,所以連接OA,由射影定理得到.第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例2如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點，直線EF//CB,交AD的延長線于點F，F(xiàn)G切圓于點G.求證：(1)△DFE∽△EFA;(2)EF=FG.OBECADFG證明：

(1)∵EF//CB,∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是上的圓周角.∴∠DAB=∠DCB=∠DEF.∵∠DFE=∠EFA（公共角）,∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知∴△DFE∽△EFA，∴EF2=FA?FD.又∵FG是圓的切線，∴FG2=FA?FD.∴EF2=FG2,即FG=EF.第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例3如圖，兩圓相交于A、B兩點，P為兩圓公共弦AB上任意一點，從P引兩圓的切線PC、PD，求證：PC=PD.PC2=PA?PB,PD2=PA?PB.CPADB證明：由切割線定理可得：∴PC2=PD2.即PC=PD．例4如圖，AB是⊙O的直徑，過A、B引兩條弦AD和BE，相交于點C．求證：AC·AD+BC·BE=AB2．AEDCBFO證明：連接AC、AD，過C作CF⊥AB,與AB交于F．∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠ADB=900.又∵∠AFC=900,∴A、F、C、E四點共圓.∴

BC?BE=BF?BA.………(1)同理可證F、B、D、C四點共圓.

∴AC?AD=AF?AB.

………(2)(1)+(2)可得AC?AD+BC?BE=AB(AF+BF)=AB2.

第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例5如圖，AB、AC是⊙O的切線，ADE是⊙O的割線，連接CD、BD、BE、CE.問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？∴

CD:CE=AC:AE,∴CD?AE=AC?CE.………(2)同理可證BD?AE=AC?CE.

……………………

(3)∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE?CD=BD?CE.

………(4)探究1:由已知條件可知∠ACD=∠AEC,而∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE.……(1)CAOBED圖1問題2在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月問題2在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？CAOBED圖1CAOBED圖2GF探究2:連接FG.與探究1所得到的結(jié)論相比較,可以猜想△ACD∽△AEC.下面給出證明.∵AB2=AD?AE,而AB=AC,∴△ADC∽△ACE.……(5)而∠CAD=∠EAC,∴AC2=AD?AE,同探究1的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四點共圓.

∴∠CFG=∠AEC.又∵∠ACF=∠AEC.∴∠CFG=∠ACF.故FG//AC.……(6)你還能推出其他結(jié)論嗎？第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月問題3在圖2中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線CD,得到圖3.此時又能推出哪些結(jié)論？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有結(jié)論.CAOBED圖2GFCAOBED圖3PQG此外，∵AC//DG.

∵

△ADC∽△ACE.由(7)(8)兩式可得：AC?CD=AE?CG.

………

(9)連接BD、BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則∠PCQ=∠PGD∠DBE,所以C、E、B、Q四點共圓.

你還能推出其他結(jié)論嗎？第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

練習(xí)4.

如圖,過⊙O外一點P作兩條割線,分別交⊙O于點A、B和C、D.再作⊙O的切線PE,E為切點,連接CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.（1）求PC的長;（2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE.解：（1）由切割線定理，得PC?PD=PA?PB∵AB=3,PA=2,∴PB=AB+PA=5.設(shè)PC=m,∵CD=4,PD=PC+CD=m+4.∴m（m+4）=2×5化簡，整理得：m2