新疆昌吉州高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)(理)試題_第1頁
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2022屆新疆昌吉州高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1.已知復(fù)數(shù)滿足,則(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】由條件可得,利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算算出可得答案.【詳解】由可得,所以,故選:B2.設(shè)全集,集合,集合,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】求出集合、,利用交集和補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?,,所以,,因此?故選:D.3.《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首,它表現(xiàn)了古代中國(guó)人對(duì)萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí),是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映了中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把陽爻“”當(dāng)做數(shù)字“”,把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“”,則八卦代表的數(shù)表示如下:卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤震坎兌…………以此類推,則六十四卦中的符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】先寫出給定符號(hào)所表示的二進(jìn)制數(shù),再將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意可得六十四卦中的符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)是:,將所得的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為:,所以六十四卦中的符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是77.故選:A4.2022年2月17日—18日,呼圖壁縣第一屆“美麗冰雪,北奧探夢(mèng)”中小學(xué)速滑運(yùn)動(dòng)會(huì)在昌吉州呼圖壁縣青少年示范性綜合實(shí)踐基地管理中心舉行.為了保障比賽的安全,志愿者小王?小李?小方需要清理?????六條短道速滑跑道,每人至少清理一條跑道,則小王清理三條跑道的情況共有多少種(

)A.120 B.80 C.60 D.40【答案】A【分析】小王先選3條,剩下兩人選出1人清理2條,最后1人清理剩下1條即可.【詳解】先給小王選3條,共種,然后從小李、小方中選1人清理2條,沒選上的人清理剩下1條,有種,兩步結(jié)合共有種.故選:A.5.已知向量,,且,,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義,運(yùn)算律以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.【詳解】∵向量,,且,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為.故選:.6.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列,,且構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則(

)A.1或3 B.0或2 C.3 D.2【答案】A【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,∵構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,∴,即,解得或2,所以或,所以或3,故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì),考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于中檔題.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),若對(duì)于任意,不等式恒成立,則不等式的解集為(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】由題意得到在上單調(diào)遞減,再根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),得到在上單調(diào)遞增,且求解.【詳解】解:對(duì)于任意,不等式恒成立,即對(duì)于任意,不等式恒成立,所以在上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,且,則,解得,故選:B8.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn),,,且在上僅有1個(gè)極值點(diǎn),則(

)A. B. C.1 D.【答案】C【分析】根據(jù)所給圖象上的點(diǎn),結(jié)合正弦函數(shù)的五點(diǎn)法作圖求出函數(shù)解析式,即可求解.【詳解】因?yàn)閳D象過點(diǎn),,,且在上僅有1個(gè)極值點(diǎn),所以,即,故,因?yàn)椋晌妩c(diǎn)法作圖知,,,又,解得,所以,則,故選:C9.已知點(diǎn),分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn),以為直徑作圓與雙曲線的右支交于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為(

)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】由于點(diǎn)P在雙曲線的右支,則可得,再結(jié)合已知條件可得,,而,則,將前面的式子代入化簡(jiǎn)可求出離心率【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為以為直徑的圓與雙曲線的右支的交點(diǎn),所以,結(jié)合,得,,又因?yàn)辄c(diǎn)P在以為直徑的圓上,所以,即,所以,整理得,解得(舍去),或,所以雙曲線的離心率.故選:C10.已知圓,圓,點(diǎn)分別是圓?圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】作出圓關(guān)于對(duì)稱的圓,通過圖形關(guān)系可知當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,由此可得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可知:圓心,,半徑,;設(shè)與關(guān)于對(duì)稱,則,則圓與圓關(guān)于對(duì)稱,當(dāng)五點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,.故選:B.11.在三棱錐中,,且,,二面角的大小為,則三棱錐的外接球體積為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題結(jié)合球的基本性質(zhì)可知:過三棱錐其中兩個(gè)面的三角形的外接圓圓心,作該面的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為三棱錐的球心,結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)分析求得三棱錐的外接球的半徑.【詳解】如圖、分別為Rt△PAC、△ABC的外接圓圓心,作平面PAB,平面ABC,則O為三棱錐的外接球的球心.在△ABC中,,即,可得:.由正弦定理可得:,即,又∵為線段AC的中點(diǎn),則可得,且,∴二面角的大小的平面角即為∠,則∠.∴三棱錐的外接球的半徑R=,則三棱錐的外接球體積為V=.故選:A.12.若存在,則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),記為;若存在,則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),記為,已知二元函數(shù),則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(

)A. B.C.的最小值為 D.的最小值為【答案】B【分析】根據(jù)條件求出、,然后可逐一判斷ABC,,然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最小值即可.【詳解】因?yàn)椋ǎ?,所以,則,又,所以,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為,,令(),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故,從而當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.故選:B.二、填空題13.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】根據(jù),作差得到是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)椋?dāng)時(shí),解得;當(dāng)時(shí),所以,即,即,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以;故答案為:14.若實(shí)數(shù),,,滿足,則的最小值為______.【答案】2【分析】由,,故可理解為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的距離的平方,采用數(shù)形結(jié)合和對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知,函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離的平方為我們要求的的最小值.【詳解】由,,故可理解為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的距離的平方,對(duì)于函數(shù),令,故可得,即函數(shù)在處的切線方程為,切線方程與直線平行,則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離,故的最小值為.故答案為:2.15.已知點(diǎn)A是焦點(diǎn)為的拋物線:上的動(dòng)點(diǎn),且不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,線段的垂直平分線交軸于點(diǎn).若,則___________.【答案】3【分析】本題考查拋物線的方程與定義,設(shè)A,B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),可得(這是常考點(diǎn)),列方程整理可得,然后結(jié)合拋物線定義求解.【詳解】設(shè)A,B,∵,即,整理得:.又∵,即C為線段AF的中點(diǎn),∴.∴.故答案為:3.16.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的有___________.①,②,恒成立③關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,則④關(guān)于的方程的所有根之和為【答案】①③【分析】根據(jù)已知遞推可判斷①,根據(jù)函數(shù)變化的規(guī)律,只需要證明,成立,作差求導(dǎo)可判斷②,作圖可判斷③,數(shù)形結(jié)合,根據(jù)每個(gè)區(qū)間上的對(duì)稱軸可判斷④.【詳解】由,故A對(duì).由A可知,要使,恒成立,只需要滿足,,即成立,令,則,得,當(dāng)時(shí),有最大值,故B不正確.作出的圖像,由圖可知,要使方程有三個(gè)不同的實(shí)根,則,即,故C對(duì).由可知,函數(shù)在上的圖像可以由上的圖像向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?,由于的?duì)稱軸為,故的兩根之和為,同理,的兩根之和為的兩根之和為,故所有根之和為,故D錯(cuò).故選:①③三、解答題17.中,角,,的對(duì)邊分別是,,,(1)求角;(2)若為邊的中點(diǎn),且,求的最大值.【答案】(1)(2)4【分析】(1)根據(jù)正弦定理角化邊得,化簡(jiǎn)利用余弦定理可求解;(2)根據(jù)題意可知,兩邊平方化簡(jiǎn)可得,利用基本不等式可求的最大值.【詳解】(1)由,得,即又由余弦定理,可得,又,;(2)∵是邊的中點(diǎn),∴,那么,又,∴又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴∴,的最大值是4.18.如圖,在三棱柱中,平面,,,,.(1)證明:平面ABC.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)首先可以根據(jù)余弦定理求得,然后通過得出,再然后根據(jù)平面得出,最后根據(jù)即可得出結(jié)果;(2)本題首先結(jié)合(1)建立空間直角坐標(biāo)系,然后分別求出平面的法向量以及平面的法向量,最后通過即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?,,,所以,所以,,因?yàn)槠矫妫移矫?,所以,因?yàn)?,所以平面,?)由(1)可知、、兩兩垂直,故以C為原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:則,,,,故,,.設(shè)平面的法向量,則,令,則,設(shè)平面的法向量,則,令,則,則,設(shè)二面角為,由圖可知為銳角,則.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及二面角的余弦值的求法,若一條直線垂直另一平面內(nèi)的兩條相交直線,則線面垂直,考查利用空間向量求二面角的余弦值,考查推理能力,是中檔題.19.?dāng)?shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲,玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字,推理出所有剩余空格的數(shù)字,并滿足每一行?每一列?每一個(gè)粗線宮()內(nèi)的數(shù)字均含1至9且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國(guó)數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.(1)賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練,每天的解題平均速度(秒)與訓(xùn)練天數(shù)(天)有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù):(天)1234567(秒)990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型,請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù),求出該回歸方程,并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過100天訓(xùn)練后,每天解題的平均速度約為多少秒?(2)小明和小紅在數(shù)獨(dú)APP,已知在前3局中小明勝2局,小紅勝1局.若不存在平局,請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率.參考數(shù)據(jù)(其中)1845參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.【答案】(1)回歸方程為,經(jīng)過100天訓(xùn)練后,每天解題的平均速度約為140秒(2)【分析】(1)首先求得,然后根據(jù)回歸方程的計(jì)算公式,計(jì)算出回歸方程,并求得預(yù)測(cè)值.(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求的概率.【詳解】(1)由題意,,令,設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為,則,則.∴,又,∴關(guān)于的回歸方程為,故時(shí),.∴經(jīng)過100天訓(xùn)練后,每天解題的平均速度約為140秒.(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終贏得比賽,則最后一局一定是小明獲勝,由題意知,最多再進(jìn)行4局就有勝負(fù).當(dāng)時(shí),小明勝,∴;當(dāng)時(shí),小明勝,∴;當(dāng)時(shí),小明勝,∴.∴小明最終贏得比賽的概率為.20.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng),在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng),某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容,例如:用一張圓形紙片,按如下步驟折紙(如下圖1)步驟1:設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn),標(biāo)記為F;步驟2:把紙片折疊,使圓周正好通過點(diǎn)F;步驟3:把紙片展開,并留下一道折痕;步驟4:不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕(如圖2).已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片,設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為2,按上述方法折紙.(1)以點(diǎn)F,E所在的直線為x軸,線段EF的中垂線為y軸,建立坐標(biāo)系,求折痕所圍成的橢圓C(即圖1中M點(diǎn)的軌跡)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)如圖3,若直線m:與橢圓C相切于點(diǎn)P,斜率為的直線n與橢圓C分別交于點(diǎn)A,B(異于點(diǎn)P),與直線m交于點(diǎn)Q.證明:,,成等比數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)以所在的直線為軸,的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)橢圓的定義求出的值,根據(jù)求出的值,再由求出的值即可得橢圓的方程;(2)通過計(jì)算與的表達(dá)式就可以證明結(jié)論.【詳解】(1)如圖,以所在的直線為軸,的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)為橢圓上一點(diǎn),由題意可知,所以點(diǎn)軌跡是以為左右焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,

因?yàn)?,,所以,,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由得,依題意,又,解得.故直線m的方程為,且.設(shè)直線n的方程為,則,且,則,由,得,所以,所以.即,且各項(xiàng)均不為零,故,,成等比數(shù)列.21.對(duì)于正實(shí)數(shù),熟知基本不等式:,其中為的算術(shù)平均數(shù),為的幾何平均數(shù).現(xiàn)定義的對(duì)數(shù)平均數(shù):(1)設(shè),求證::(2)①利用第(1)小問證明不等式::②若不等式對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)恒成立,求正實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析;②【分析】(1)令,由可證得在上單調(diào)遞減,,即可證得結(jié)果.(2)(?。┮C,只要證,即證,令,由(1)有,即可證得結(jié)論.(ⅱ)由恒成立,化簡(jiǎn)即得恒成立,令,化簡(jiǎn)則有,求導(dǎo)可得,(注:)討論可得時(shí),即時(shí),在上單調(diào)遞增,及時(shí),在上單調(diào)遞減,從而可得結(jié)果.【詳解】(1)令,有所以,得在上單調(diào)遞減.又,故當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)時(shí),-(2)(?。┮C,只要證,只要證,即證,令,由(1)有,即得,因此,(ⅱ)由恒成立,得恒成立,即得恒成立,令,有恒成立,得恒成立,所以恒成立令,有,-(注:)ⅰ當(dāng)時(shí),即時(shí),易知方程有一根大于1,一根小于1,所以在上單調(diào)遞增,故有,不符;ⅱ當(dāng)時(shí),有,所以,從而在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),恒有,符合.由ⅰ、ⅱ可知,正實(shí)數(shù)的取值范圍為,因此,正實(shí)數(shù)的最大值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:(1)構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(2)(?。﹩栴}轉(zhuǎn)化為(ⅱ)由恒成立,令,問題轉(zhuǎn)化,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性.22.在極坐標(biāo)系中,射線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,且射線與曲線有異于點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn),.(1)求的取值范圍;(2)求的取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)圓心到射線的距離可以確定的范圍;(2)聯(lián)

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