2015年四川高考文科數(shù)學(xué)試題和答案詳解

2015年四川高考數(shù)學(xué)文科卷詳細(xì)解答第頁絕密★啟封并使用完畢前2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。滿分l50分?？荚嚂r間l20分鐘?？忌鞔饡r，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題共50分）注意事項(xiàng)：必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應(yīng)的標(biāo)號涂黑。第Ⅰ卷共10小題。一、選擇題：本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，集合，則（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】∵，，，選A.設(shè)向量與向量共線，則實(shí)數(shù)(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由共線向量，的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即，選B.3.某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（A)抽簽法（B）系統(tǒng)抽樣法（C）分層抽樣法（D）隨機(jī)數(shù)法【答案】C【解析】因?yàn)槭菫榱私飧髂昙壷g的學(xué)生視力是否存在顯著差異，所以選擇分層抽樣法。4.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的(A)充要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由已知當(dāng)時，∴，“”是“”的充分條件。反過來由，可得，∴“”是“”的必要條件，綜上，“”是“”的充要條件，選A.5.下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是A.B.C.D.【答案】A【解析】A.,可知其滿足題意;B.,可知其最小正周期為，偶函數(shù);C.,最小正周期為，非奇非偶函數(shù);D.,可知其最小正周期為，非奇非偶函數(shù).選A6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值是(A)(B)(C)-(D)【答案】D【解析】易得當(dāng)k=1,2,3,4時執(zhí)行的是否，當(dāng)k=5時就執(zhí)行是的步驟，所以，選D.7.過雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（B）（C）6（D）【答案】D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點(diǎn)，則直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，，∴,選D.15.已知函數(shù)，(其中)。對于不相等的實(shí)數(shù)，，設(shè)，，現(xiàn)有如下命題：(1)對于任意不相等的實(shí)數(shù)，，都有；(2)對于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù)，，都有；(3)對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得；(4)對于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得。其中的真命題有_________________(寫出所有真命題的序號）?！敬鸢浮?1)(4)【解析】(1)設(shè)，,∵函數(shù)是增函數(shù)，∴，，則=>0,所以正確；(2)設(shè)，則，∴不妨我們設(shè)，則，矛盾，所以(2)錯。(3)∵，由(1)(2)可得：，化簡得到，，也即，令，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，。則，顯然當(dāng)時，恒成立，即單調(diào)遞增，最多與x軸有一個交點(diǎn)，不滿足題意，所以錯誤。(4)同理可得，設(shè)，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，從而不是恒為單調(diào)函數(shù)。，恒成立，∴單調(diào)遞增，又∵時，，時，。所以為先減后增的函數(shù)，滿足要求，所以正確。三、簡答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和，求。【解答】：（Ⅰ）當(dāng)時有，則，（），∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。又由題意得，，∴，∴（Ⅱ）由題意得，∴17.（本小題滿分12分）一個小客車有5個座位，其座位號為，乘客的座位號為，他們按照座位號順序先后上車，乘客因身體原因沒有坐自己號座位，這時司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.（I）若乘客坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法。下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）乘客座位號3214532451（II）若乘客坐到了2號座位，其，他乘客按規(guī)則就坐，求乘客坐到5號座位的概率。【解答】（Ⅰ）當(dāng)乘客坐在3號位置上，此時的位置沒有被占，只能坐在2位置，位置被占，可選剩下的任何，即可選1、4、5:①當(dāng)選1位置，位置沒被占，只能選4位置，選剩下的，只有一種情況；②當(dāng)選4位置，可選5位置也可選1位置，選剩下的，有兩種情況；③當(dāng)選5位置，只可選4位置選剩下的，有一種情況；乘客座位號32145324513241532541（Ⅱ）這個問情況比較復(fù)雜，需要列表解答，當(dāng)坐2位置時，位置被占，可選剩下的座位，下表列出了所有可能乘客座位號2134523451234152314523541243152435125341綜上，共有8種情況，坐在5位置上的情況有4種，所求概率為18.（本小題滿分分）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示。（=1\*ROMANI）請將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）；（=2\*ROMANII）判斷平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（=3\*ROMANIII）證明：平面?！窘獯稹浚?1\*ROMANI）如答圖1所示答圖1答圖2答圖3（=2\*ROMANII）如答圖2所示，連接，易得四邊形和四邊形為，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面（=3\*ROMANIII）如答圖3所示，易得，∴平面,得∵平面，∴，同理可得，，又，∴平面。19.（本小題滿分12分）已知為的內(nèi)角，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根.（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，求的值.【解答】（Ⅰ）是關(guān)于的方程的兩個根可得：，，所以，則，由三角形內(nèi)角和為可知，.（Ⅱ）在中，由正弦定理可得，求得，則.又，由三角形內(nèi)角和為及誘導(dǎo)公式可知，解得，將代入，解得.20.（本小題滿分13分）如圖，橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且。（Ⅰ）球橢圓的方程；xyOBAP（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。xyOBAP【解答】（Ⅰ）由知，，解得，又∵由離心率是得到；∴橢圓E的方程為：。(Ⅱ)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的解析式為，，聯(lián)立：，顯然，由韋達(dá)定理可知，，，∴，這里，與的取值無關(guān)，∴，即。此時，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB就是CD，那么∴綜上，存在常數(shù)，使得為定值。21.已知函數(shù)，其中，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在，使得恒成立，且在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解?！窘獯稹浚海á瘢撸嗲髮?dǎo)可得，，即∴恒成立，∴在其定義域上單調(diào)遞增。（Ⅱ）∵，∴由(Ⅰ)可知在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增。又時，，當(dāng)時，顯然。而在(1，)是單調(diào)遞增的，因此在(1，)內(nèi)必定