新課標(biāo)人教A版數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》教案

選修4_5不等式選講

課題：第01課時(shí)不等式的基本性質(zhì)

一、引入：

不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系?！读凶?湯問(wèn)》中膾炙人口的“兩小兒辯II"：“遠(yuǎn)

者小而近者大”、“近者熱而遠(yuǎn)者涼”，就從側(cè)面表明了現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的廣泛存在：日常生活中

息息相關(guān)的問(wèn)題，如“自來(lái)水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫(xiě)字臺(tái)上

方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個(gè)角各剪去?個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋

的盒子。要使制成的盒子的容積最大，應(yīng)當(dāng)剪去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問(wèn)題，

需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。

本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對(duì)值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式

等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。

人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不

等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕時(shí)的，而相等則是局部的、相對(duì)的。還可從

引言中實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，說(shuō)明本章知識(shí)的地位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)

克糖，則糖水更甜了，為什么？

分析：起初的糖水濃度為巳h，加入m克糖后的糖水濃度為h4匕-77竺7，只要證h匕+m”>h巳即可。

aa+ma-Vma

怎么證呢？

二、不等式的基本性質(zhì)：

1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：

a>h<^>a-h>0

a=b<=>a—b=0

a<ba-b<0

得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。

2、不等式的基本性質(zhì)：

①、如果a>b,那么b<a,如果b〈a,那么a>b。(對(duì)稱性)

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c=>a>co

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>b=>a+c>b+c。

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a〉b,c>d=>a+c>b+d.

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc.

⑤、如果a>b>0,那么(nsN,且n>l)

⑥、如果a>b>0,那么標(biāo)>我(neN,且n>l)。

三、典型例題：

例1、已知a>b,c<d,求證：a-c>b-d.

例2已知a〉b>0,c<0,求證：—>—

ab°

選修4_5不等式選講

課題：第02課時(shí)含有絕對(duì)值的不等式的解法

一、引入：

在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一定的了解。在此基礎(chǔ)

上，本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。

關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類：?類是解不等式，另一類是證明不等式。下

面分別就這兩類問(wèn)題展開(kāi)探討。

1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，

化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的意義.

請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。

x,如果x>0

在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即忖=<0,如果x=0。

-x,如果x<0

2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式兇的解集是

{x\-a<x<a],它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開(kāi)區(qū)間（—a,a）,如

圖所示。

—Q圖1-1CL

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。

第二種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式國(guó)>a的解集是{xlx>a或x<—a}

它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開(kāi)區(qū)間（-8,-。）,伍,8）的并

集。如圖1-2所示。

-aa

圖1-2

同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。

二、典型例題：

例1、解不等式|3x-l|<x+2。

例2、解不等式|3x—1|>2-X。

方法1：分域討論

★方法2：依題意，3》一1>2-x或3x-l<x—2,（為什么可以這么解？）

例3、解不等式|2x+l|+|3x-2|25。

例4、解不等式卜―2|+,一1|?5。

解本題可以按照例3的方法解，但更簡(jiǎn)單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的點(diǎn)x

到1,2的距離的和大于等于5。因?yàn)?,2的距離為1,所以x在2的右邊，與2的距離大于等于2

（=（5-1）+2）；或者x在1的左邊，與1的距離大于等于2。這就是說(shuō)，xN4或

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、練習(xí)：解不等式

1、2|2x-l|>l.2、4|l-3x|-l<0

3、|3—2x|x4-4.4、|x+l|>2-x.

5、|x2-2x-4|<l6、卜~-1|>x+2.

7、W+k-248、,26.

9、|x|+|x+l|<210、||x|-|x-4八〉2.

選修5不等式選講

課題：第03課時(shí)含有絕對(duì)值的不等式的證明

一、引入：

證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)

于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：

(1)|《+Mln0+目(2)|tz|-|/?|<|a+/>|

(3)時(shí)?網(wǎng)=mW(4)百怖,°)

請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)明上述性質(zhì)存在的道理?

實(shí)際上，性質(zhì)即網(wǎng)=卜?可和口=E1*0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出;

而絕對(duì)值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明向+網(wǎng)"a+4對(duì)于任意實(shí)數(shù)都

成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論一個(gè)問(wèn)題：設(shè)。為實(shí)數(shù)，a和何哪個(gè)大？

顯然M2a,當(dāng)且僅當(dāng)a20時(shí)等號(hào)成立(即在a20時(shí)，等號(hào)成立。在a<0時(shí)，等號(hào)不成立)。

同樣，|42一。.當(dāng)且僅當(dāng)?！?時(shí).，等號(hào)成立。

含有絕對(duì)值的不等式的證明中，常常利用時(shí)2+a、同？-a及絕對(duì)值的和的性質(zhì)。

二、典型例題：

例1、證明(1)|a|+|fo|>|a+Z?|,(2),+可之同一例。

證明(1)如果a+〃20,那么,+q=4+/?.所以時(shí)+網(wǎng)2a+。=+..

如果a+bv0,那么+4=一(〃+力).所以同+網(wǎng)>-(74-(-/?)=-(a+/?)=,+.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，有,+4+|-42,+。一。|,就是，k+4+四2時(shí)。

所以，,+42時(shí)_網(wǎng)。

例2、證明|a|-|i|<|a-&|<|a|+|i|?

例3、證明\a-b\<|a-c|+1/?-c|o

思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？

(設(shè)A,B,C為數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)a,b,c,則線段AC+CB.當(dāng)且僅當(dāng)C

在A,B之間時(shí)，等號(hào)成立。這就是上面的例3。特別的，取c=0(即C為原點(diǎn))，就得到例2的后

半部分。)

探究：試?yán)媒^對(duì)值的幾何意義，給出不等式時(shí)+M以。+耳的幾何解釋？

含有絕對(duì)值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1,例2和例3的

結(jié)果來(lái)證明。

例4、已知<■!■,>一耳<I,求證］(x+y)-(a+6)|<c.

證明|(x+y)—(a+匕)|=|(x-a)+(y-b)|<|x-a|+|y-/?|(1)

4-4<］，|—|<|，

?，?卜一+-b|<5+1=c(2)

由(1),(2)得：］(x+y)-(a+b)|〈c

例5、已知忖求證：|2x-3y|<〃。

證明

由例1及上式，|2次一3》|4|2x|+|3y|

注意：在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫(xiě)。但這種寫(xiě)法，只能用于不等號(hào)

方向相同的不等式。

四、練習(xí)：

1、已知|4一《<|,忸一同<|.求證：|(A—8)—(a—與|<c。

2、己知卜一《v(Jyv￡.求證:\lx-3y-2a+3H<c。

鏈接：不等式的圖形

借助圖形的直觀性來(lái)研究不等式的問(wèn)題，是學(xué)習(xí)不等式的一個(gè)重要方法，特別是利用絕對(duì)值和

絕對(duì)值不等式的兒何意義來(lái)解不等式或者證明不等式，往往能使問(wèn)題變得直觀明了，幫助我們迅速

而準(zhǔn)確地尋找到問(wèn)題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形，從而有效

地解決問(wèn)題。我們?cè)賮?lái)通過(guò)幾個(gè)具體問(wèn)題體會(huì)不等式圖形的作用。

1.解不等式卜-1|+卜一2|w|x+l|。

題意即是在數(shù)軸上找出到。=1與乙=2的距離之和不大于到點(diǎn)或=T的距離的所有流動(dòng)點(diǎn)

XO

首先在數(shù)軸上找到點(diǎn)。=1,或=2,或=-1（如圖）。

-10123

從圖上判斷，在。與女之間的一切點(diǎn)顯示都合乎要求。事實(shí)上，這種點(diǎn)到。與虞的距離和正

好是1,而到女的距離是2+（X-1）=1+X（1WX<2）。

現(xiàn)在讓流動(dòng)點(diǎn)x由點(diǎn)5向左移動(dòng)，這樣它到點(diǎn)&的距離變，而到點(diǎn)。與虞的距離增大，顯然,

合乎要求的點(diǎn)只能是介于虞=T與。=1之間的某一個(gè)點(diǎn)項(xiàng)。

2

由（1—X］）+（2—為）<工］—（―1）,可得%i.

再讓流動(dòng)點(diǎn)X由點(diǎn)乙向右移動(dòng)，雖然這種點(diǎn)到。與乙的距離的和及到或的距離和都在增加，

但兩相比較，到。與o的距離的和增加的要快。所以，要使這種點(diǎn)合乎要求，也只能流動(dòng)到某一點(diǎn)

x2而止。

2

由（/-1）+。2-2）</一（一1），可得Z44.從而不等式的解為-<x<4.

2.畫(huà)出不等式k|+N〈i的圖形，并指出其解的范圍。

先考慮不等式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第■象限的情況。在第一象限內(nèi)不等式等價(jià)于：

x>0,y>0,x+y<1.

其圖形是由第一象限中直線y=l-x下方的點(diǎn)所組成。

同樣可畫(huà)出二、三、四象限的情況。從而得到不等式

W+|y|wi的圖形是以原點(diǎn)0為中心，四個(gè)等點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸A

上的正方形。不等式解的范圍一目了然。

探究：利用不等式的圖形解不等式

1.||x+l|-|x-l||<l;2.H+2|y|<l.

A組

1.解下列不等式：

(1)|2-3x|＜|

(2)l<|3.x+4|<7

(3)|2x-4]<x+1(4)-r2—2x|<—x

x+2

2.解不等式：(1)|2x-l|<|x-l|(2)>1

x-1

3.解不等式：(1)|x+1|+|x+2|>3(2)|x+2|—|x—1|+3>0.

4.利用絕對(duì)值的幾何意義，解決問(wèn)題：要使不等式卜-4|+卜-3卜。有解，。要滿足什么條件?

5.已知,一《＜_/<—.求證:

33

(1)](A+8+C)—(a+/?+c)|<s；(2)|A+6—C)—(a+/?—c)1Vs.

6.已知|x|<V^,|y|<^l'a,求證：|孫|<a?

7.已知|x|<ch,\y\>c>0.求證:齊?

B組

a+b

*****8.求證\\<網(wǎng)

1+|a+Z?|l+|a|1+例

a+b

*****9.已知時(shí)＜1,網(wǎng)＜1.求證:<i.

1+QZ?

2

10.若a,夕為任意實(shí)數(shù),為正數(shù)，求證：|a+P/W(l+c)|a「+(l+

刎+淵

2

("+夕『＜|a|+|呼+2同四,而冏悔=<-------——)

2

選修4_5不等式選講

課題：第03課時(shí)指數(shù)不等式的解法

二、典型例題：

例1、解不等式2*3-3<(；產(chǎn)1)

解：原不等式可化為：242X-3<2-3CT)?.?底數(shù)2>1

x~-2x—3<-3(x—1)整理得：x~+x—6<0

解之，不等式的解集為{xl-3<rv2}

例2、解不等式3V+1+18?>29。

解：原不等式可化為：3?32,-29?3'+18>0

2

即：(3"-9)(3-3'-2)>0解之：3*>9或3*〈彳

一.2

.'.x>2或*<log3—

2

，不等式的解集為“42或x<log3—}

例3、解不等式：ax2-2x>ax+4,(a>0且a*1)

(當(dāng)4>1時(shí)XW(—oo,—l)D(4,+oo)當(dāng)0<a<l時(shí)xe(-1,4))

23x

例4、解不等式:(-y->4-(-l<x<3)

選修45不等式選講

課題：第04課時(shí)對(duì)數(shù)不等式的解法

二、典型例題：

例1、解不等式log.3(xT)?2。

x-1>0%-1>0

解：原不等式等價(jià)于L-3>1

或v0<x-3<1解之得：4<rW5

x-12(x—3)~X—1W(X—3)2

?,?原不等式的解集為&I4UW5}

例2、解關(guān)于x的不等式：log”(4+3x-1?)一log.(2x-1)>log,2,(a>0,。W1)

2

解：原不等式可化為log”(4+3X-X)>loga2(2x-1)

2x-l>0

z1

當(dāng)a>\時(shí)有<4+3x—x2>0n〈一1cx<4n—<x<2

c2

4+3x—x~>2(2x—1)—3<x<2

（其實(shí)中間一個(gè)不等式可?。?/p>

1

-2x-l>0x>一

2

當(dāng)0<?<1時(shí)有<4+3x-->o=<-l<x<4=>2<x<4

4+3x—x~<2(2x—1)x<-3或x>2

，當(dāng)?>1時(shí)不等式的解集為\x-<x<2>

2

當(dāng)0<”1時(shí)不等式的解集為｛x[2<x<4｝。

例3、解關(guān)于x的不等式j(luò)5-log〃x>1+log“x。

解：原不等式等價(jià)于

1+log“x>0

,5-logx>0

I：<5-log,x>(1+log,x)2a

((log“x+lWO

5—log“x>0

解I：-1Wlog“x<1

解II：log?x<-llog(Jx<1

當(dāng)a>\時(shí)有0<x<a當(dāng)0<a<l時(shí)有x>a

原不等式的解集為｛xl0<r<a,a>l｝或｛xh>a,0<a<l｝

例4、解不等式y(tǒng)og"，>土孚。

a~

解：兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)：

,9

當(dāng)（Ra<l時(shí)原不等式化為：（log“x）2<]log“x-2

4

/.(log(,x-4)(21ogux-1)<0g<log“x<4a<x<4a

,9

當(dāng)。>1時(shí)原不等式化為：(lOgaX/AglogaX-Z

...(log"x-4)(2log?x-1)>0

log。4或log”XV7/.x>a4或o<%<4a

??.原不等式的解集為[xIa4<x<V^,0<a<1｝或｛xIx>cJ或0<x<4a,a>1｝

四、練習(xí)：

解下列不等式

1.logj(x2-31-4)>logj(2x+10)(-2<x<l或4<v<7)

33

2.當(dāng)求不等式：log“(log”九)>0(?<￥<1)

3.6Z>1,0</?<1,求證：a,ogh(2x-1)>1

]+九

4.log”---->0,(Q>0,QW1)(-1<￥<0)

1-X

5.a>\時(shí)解關(guān)于x的不等式log?[a2A-T(優(yōu)+2A+I)+1]>0

(67>2,X>loga2;I<a<2,X<loga2;〃=2,Xc。)

22

選修4_5不等式選講

課題：第05課時(shí)無(wú)理不等式的解法

一、引入：

1、無(wú)理不等式的類型：

7u)>ol

①、J/(x)>Jg(x)型」

J(x)>g(x)

____[gU)>0膜(幻<0

②、77荷〉g(x)型0或*：

、r/、I2fM>Q

[/U)>0

③、J/(X)<g(x)型Q<g(x)>0

J(X)<[g(X)]2

二、典型例題：

例1、解不等式j(luò)3x-4-Vx^3>0

八一、-f3x-4>0

解：???根式有意義，必須有：\nx23

x-3>0

又有?；原不等式可化為J3x-4>

兩邊平方得：3x-4>x-3解之：x>-

2

，{xIx>3}c{xIx>g}={xIx>3}

例2、解不等式J-/+3x-2>4-3x

解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集:

’4-3x20

—x~—3x—220

I：,-x"+3x—2>0II：(

4-3x<0

一x~+3x-2>(4—3x)~

4

解I:《1Wx<2解II：-<x<2

533

，原不等式的解集為{xl|<x<2}

例3、解不等式J?'-6x+4<x+2

(2x2-6x+4>0

解：原不等式等價(jià)于{x+2〉0

12x~-6x+4<(x+2)~

x>2或x<1

=><x>—2=>{xI2<x<10g^0<x<1}

0<x<10

特別提醒注意：取等號(hào)的情況

例4、解不等式J2X+1>J7XT—1

2x+120V>|

解：要使不等式有意義必須：i=42=x?—上

[x+120[x>42

原不等式可變形為A/2X+1+1>VTH因?yàn)閮蛇吘鶠榉秦?fù)

(J2x+1+1)2〉(V7+T)2即2j2x+l>-(X+1)

VA+1>0，不等式的解為2X+120即%>--

2

例5、解不等式&+i_ax<1(。>0)

例6、解不等式「2—，+Jx-1>1

解：定義域片120

原不等式可化為：，口一1>我二，

兩邊立方并整理得：(x+2)7^1>4(x-l)

在此條件下兩邊再平方，整理得：(x-l)(x-2)(x-10)>0

解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為{xll<x<2或x>10}

四、練習(xí)：解下列不等式

1.J2--3+《3x_5>V5x—6(x>2)

2.3x-3+Jx+3<3x+Jx+3U>-3)

-5+V13,

3.d4-V1—x>5/2—x(--------<X<1)s

2

2

4.(x-1)Vx—x—220(x>2或x=-1)

<x<^-

5.，2-X-y/X~t-1>1

選修4_5不等式選講

課題：第06課時(shí)含有參數(shù)不等式的解法

一、引入：

二、典型例題：

例1、解關(guān)于x的不等式logf-x<loga

解：原不等式等價(jià)于log「x<—!—即：(l°g"X+l)(l°g“D<。

&log”xlog“X

10g?x<-1或0<log"X<1

若a>l0<x<—,

a

若0<a<lx>—^a<x<1o

a

例2、解關(guān)于x的不等式23J-2V</n(2'-2'x)

解：原不等式可化為2公一(1+機(jī))?2*+6<0

即：(22、-1)(22]—m)<Os

‘.1

當(dāng)m>\時(shí)1<2~'<m/.0<x<—log2m

當(dāng)m=l時(shí)Q2"—I)?<0.*.XGO

當(dāng)Ovmvl時(shí)m<22x<1—log機(jī)<x<0

29"

當(dāng)機(jī)WO時(shí)x<0

例3、解關(guān)于x的不等式-\/x2-4mx+4//22>m+3

解：原不等式等價(jià)于11一2機(jī)1>加+3

當(dāng)〃?+3>0即〃2>—3時(shí)x-2m>m+3或x-2m<-(m+3)

x>3m+3或x<m-3

當(dāng)〃?+3=0即m=-3時(shí)Ix+6l>0—6

當(dāng)m+3<0即m<—3時(shí)XGRO

例4、解關(guān)于x的不等式(cot^)-^-2<1,(0<^<1)

解：當(dāng)cot。>1即%(0,一)時(shí)一廠+3苫一2<0：.x>2或xvl

4

當(dāng)cot6=1§P0=—時(shí)d>

4

當(dāng)cot6e(0,1)即0e(一,—)時(shí)—x~+3x-2>01<x<2

42

例5、滿足3-x2Jx-1的x的集合為A；滿足-—(a+l)x+aW0的x的集合為8。

1。、若AcB求。的取值范圍

2。、若AqB求。的取值范圍

3。、若ACB為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。

解：A=[1,2]8={xl(x-a)(x-l)W0}

當(dāng)aWl時(shí)fi=[a,l]當(dāng)a>l時(shí)8=[l,a]

當(dāng)a>2時(shí)Au8

當(dāng)1W“W2時(shí)A3B

當(dāng)aW1時(shí)ACS僅含一個(gè)元素

.11

例6、方程asin2x+5cosx+5-〃=0,(0<a<l,0WxW))有相異兩實(shí)根，求〃的取值范

圍。

解：原不等式可化為2QCOS?X-C0SX-1=0,令：t=COSX則

設(shè)/⑴=2〃產(chǎn)-r-1又,?Z>0

1

A=1+8。>0>——

/(-l)=2tz>08

>0

/⑴=2"220n.=>?>1

>1

>-gKa<--

44

五、作業(yè):

21

1.log!X—(。+—)log]X+1<0

a

22

當(dāng)Q〉1或一1<4<0時(shí)(！)"<X<(-)a

2[2,。=±1時(shí)工￡

當(dāng)0<a<1或a<—1時(shí)(g)"a<x<(/)"

2.A={x\3-x>Vx-1}B={%IIX-1l>a,a>0}若AcB二0

求。的取值范圍321)

3.Vtz2-3x2>x+a,(a>0)(--<x<0)

4.x,ogflA+,>a2x,(a>0)

(當(dāng)0<a<1時(shí)a"?<x<cT°,當(dāng)a>1時(shí)x>〃板或0<x<cT?)

o19

5.當(dāng)a在什么范圍內(nèi)方程：x-(log267-4)x+-log2^-1=0有兩個(gè)

(0,；)54,4收)

不同的負(fù)根

6.若方程/+(m一2)x+5-〃?=0的兩根都對(duì)于2,求實(shí)數(shù)小的范圍。((-5,4])

選修4_5不等式選講

課題：第07課時(shí)不等式的證明方法之一：比較法

一、引入：

要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式的性質(zhì)：

a>b=a-h>0

a=b<^>a-b=O

a<ba-b<0

二、典型例題：

例1、設(shè)aw。，求證：Q?+3/>2/?(。+。)。

例2、若實(shí)數(shù)xwl,求證：3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

證明：采用差值比較法：

3(1+X2+X4)-(1+X+X2)2

423

=3+3/+3爐-1-r_x-2X-2X-2X

—2(%4-X?—x+])

=2(X-1)2(X2+x+l)

o1O3

=2(x-l)-[(x+—),-+—].

24

I3

vx^l,AW(x-l)2>O,K(x+-)2+->0,

24

,1,3

2(x—1)[(x+—)'+—]>0,

24

3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

討論：若題設(shè)中去掉xHl這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

例3、已知a,beR+,求證>abba.

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于。力對(duì)稱，不妨設(shè)aN6>0.

a-b>0

,,,,,,從而原不等式得證。

aubb-abba=abbb(aa-b-ba-b)>0

2)商值比較法：設(shè)。2匕>0,

.屋心ab

a-b>0,’.而一B21.故原不等式得證。

h

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

(或作商)、變形、判斷符號(hào)。

例4、甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度用行走，另一半時(shí)

間以速度〃行走；乙有一半路程以速度機(jī)行走，另一半路程以速度〃行走。如果加問(wèn)甲、乙

兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)。

分析：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為

要回答題目中的問(wèn)題，只要比較乙12的大小就可以了。

解：設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時(shí)間分別為乙J2，

的田呷上士G4cssr/曰25S(〃？+〃)

根據(jù)題，昂有一mH—n=S,----1...->可得=------，t->----------，

222m2nm+n2mn

..2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]S(m-n)2

從而-1=-----------------------------------=--------------,

2m+n2mn2(m+n)mn2(m4-n)mn

其中S,孫〃都是正數(shù)，且〃Z聲〃。于是。一?2<0，即，1<，2。

從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點(diǎn)。

討論：如果機(jī)=〃，甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn)？

例5、設(shè)/(x)=2》2+1,〃4>0,〃+4=1.求證；對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有

Pf(a)+qf⑸2f(pa+qb).(1)

證明考慮(1)式兩邊的差。

Pf(a)+qf(b)-f(pa+qb).

=p(2a~+V)+q(2b2+1)-[2(pa+qb)2+1]

=2p(l-p)a2+2q(l—q)b2—4pqab+p+q—1.(2)

?；p+q=l，pq>0,

/.(2)=2pqa2+2pqh2—4pqah

=2Pq(a—bf>0.

即(1)成立。

五、作業(yè)：

1.比較下面各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?/p>

(1)x~與廠-x+1；(2)廠+x+1與?(x+1)-.

今2〃

2.已知aWl.求證：(1)a~>2df-l;(2)-----<1.

1+a

a+/y+c

3.若a?b?c>0,求證a*%。2(abc)3.

4.比較a4-b4與4a3(a-b)的大小.

44322332233

解.a-b-4a(a-b)=(a-b)(a+b)(a+b)-4a(a-b)=(a-b)(a+ab+ab+b-4a)

=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)

<0(當(dāng)且僅當(dāng)d=b時(shí)取等號(hào))

.?.a4-b4>4a3(a-b)o

5.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小.

6.已知xWO,比較(x?+l)2與x4+x2+l的大小.

7.如果x>0,比較(、石-1)2與(?+1)2的大小.

8.已知aWO,比較(a-+V2tz+1卜~-+1)與+a+l)(a-—a+1)的大小.

9.設(shè)xNl,比較x3與x4x+l的大小.

說(shuō)明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”

的常用方法。

閱讀材料：琴生不等式

例5中的不等式川(a)+/(。)2/(pa+qb)有著重要的數(shù)學(xué)背景，它與高等數(shù)學(xué)中的一類凸

函數(shù)有著密切的關(guān)系，也是琴生(Jensen)不等式的特例。

琴生在1905年給出了一個(gè)定義：

設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,如果對(duì)于［a,b］內(nèi)任意兩數(shù)x”/，都有

/X+七)</(X|)+/(X2)

I2F(1)

則稱/(x)為［a,b］上的凸函數(shù)。

若把(1)式的不等號(hào)反向，則稱這樣的/(x)為［a,b］上的凹函數(shù)。

凸函數(shù)的幾何意義是：過(guò)了=/(x)曲線上任意兩點(diǎn)作弦，則弦的中點(diǎn)必在該曲線的上方或在曲

線上。

其推廣形式是：若函數(shù)/(x)的是［a,b］上的凸函數(shù)，則對(duì)［a,b］內(nèi)的任意數(shù)項(xiàng),》2,…x“，都有

于fX］+-2+…+、</區(qū))+/(》2)+…+/(X”)(2)

I?J"?

當(dāng)且僅當(dāng)/=i=x,時(shí)等號(hào)成立。一般稱(2)式為琴生不等式。

更為一般的情況是：設(shè)/(X)是定義在區(qū)間［a,b］上的函數(shù)，如果對(duì)于［a,b］上的任意兩點(diǎn)x”X2,

有力(西)+4@2)2/(。項(xiàng)+/2)，

其中p,qeR+,p+q=l,則稱/(x)是區(qū)間［a,b］上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有

pf(xi')+qf(x2')<f(pX［+qx2),則稱/(x)是［a,b］上的凹函數(shù)。

其推廣形式，設(shè)/國(guó)2「,，/€^+，/+%+-+4“=1，/（X）是［a,b］上的凸函數(shù),則對(duì)任

意X|,X2,…,x“e出,切,有7（4內(nèi)+q2x2+…+q.x“）W//（X］）+<72/（X2）+-+q"/（X"），

當(dāng)且僅當(dāng)Xi=/=3=x,時(shí)等號(hào)成立。

若/（x）是凹函數(shù)，則上述不等式反向。該不等式稱為琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式應(yīng)用于

一些具體的函數(shù)，可以推出許多著名不等式。

選修4_5不等式選講

課題：第08課時(shí)不等式的證明方法之二：綜合法與分析法

一、引入：

綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者

在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)，以便于對(duì)比研究?jī)煞N思路

方法的特點(diǎn)。

所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證的不等

式。而分析法，則是由結(jié)果開(kāi)始，倒過(guò)來(lái)尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是

“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個(gè)比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐

步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法”。

以前得到的結(jié)論，可以作為證明的根據(jù)。特別的，A2+B2>2AB是常常要用到的一個(gè)重要不等式。

二、典型例題：

例1、a力都是正數(shù)。求證：-+->2.

ba

證明：由重要不等式42+82?246可得

本例的證明是綜合法。

例2、設(shè)a>0,b>0,^.vf,a3+b3>a2b+ab2.

證法一分析法

要證a，+&3>a2b+ah2成立.

只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,

又因a+b>0,

只需證/-ab+b2Nab成立，

又需證a?-2ab+b2>0成立，

即需證（。一））220成立.

而（a-。）2>0顯然成立.山此命題得證。

證法二綜合法

(a-b)2>0=>a2-2ab+b2>0=>a2-ab+b2>ab

注意到即。+/?>(),

由上式即得(a+b)(〃2-ah+b2)>ab(a+b),

從而+/?3>a2b+ah2

議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？

4+/%CI

例3、已知a,b,m都是正數(shù)，并且a<b.求證：----->-.(1)

b+mb

證法--要證(1),只需證優(yōu)。+機(jī))>a(/?+〃z)(2)

要證(2),只需證bm>am(3)

要證(3),只需證b>a(4)

已知(4)成立，所以(1)成立。

上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。

證法二因?yàn)槿?gt;“,〃?是正數(shù)，所以

兩邊同時(shí)加上ab得6(a+m)>a(b+m)

兩邊同時(shí)除以正數(shù)仇b+根)得(Do

讀一讀：如果用PnQ或QuP表示命題P可以推出命題Q(命題Q可以山命題P推出)，

那么采用分析法的證法一就是(1)u(2)<=(3)u(4).

而采用綜合法的證法二就是(4)=>(3)=(2)n(1).

如果命題P可以推出命題Q,命題Q也可以推出命題P,即同時(shí)有那么我

們就說(shuō)命題P與命題Q等價(jià)，并記為P=Q.在例2中，由于瓦機(jī)口+機(jī)都是正數(shù)，實(shí)際上

(1)Q⑵=⑶Q(4).

例4、證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管橫截面的周長(zhǎng)相等，那么橫截面是圓的

水管比橫截面是正方形的水管流量大。

分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng),則

周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的