第八屆杯考研?？荚囶}答案數(shù)學二

第八屆中公杯數(shù)學（二）本試卷滿150，考試180分一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32n1ab n1abn limn1()n，由于1 且 n

a

按極限的定理得

nbn)1n．a(chǎn)n．【解析

fx

exex2

exex

exe1

fxlimln1cosxln2x可知limfxFx

ftdt在x 處不可導；又由于變上限積分一定是連續(xù)的Fxx0處連續(xù)但不可導，故選（C但容易驗證該函數(shù)在原點處不取極值，因此一階偏導數(shù)全為0不是取極值的充分條件．zxy，該函數(shù)在zx(x0y00和zy(x0y00zz(xy在點)xx2f(xxx1處連續(xù)，這與已知條件F(xxx1F(xxx21,x（A）的反例：f(x) ，g(x)f(x)，而f(x)g(x)0無間斷點；（C）的反例： （A）一致，此時f(x)g(x)1無間斷點；（D）f(x1,x0g(x)0,x 0,x 1,x1 f(x)g(x)0【解析】：由已知條件不難得到f(1)1f(xx0

(1)limf(1x)f(1)limf2(x) limf(x)1f(x)1 f(x)f(0)f(x) 2f(0)2x【解析】：由于tf(tf(t為奇函數(shù)，故0tf(tf(t)]dtx（B而且12Ax0的解，所以12Ax0的基礎解系，故選（D）.【解析由題設A經(jīng)初等行變換得到BP1P2,PsPsP2P1ABPPsP2P1Ppijmm是可逆矩陣AB均按行向量 p1m1 PA 2m 2B2 m mmm m這表pi11pi22pimmi(i12,,mB的行向量均可A的行向量線性表出Pp 是可逆矩陣，所以兩邊同乘P1ij 2P12AB的行向量線性表出。所以答案選 m m二、填空題：914小題，每小題4分，共24e2 1ln(1 1ln(1 eelime elim elimln(1x)xelim1 e 3【答案3 【解析：設f(x) xxe

1lnx1ln，f(x)e 0lnx1ln2xe時，f(x)0，f(x)單調(diào)增加，故ne時，f(n) 遞增 最大233xe時，f(x)0，f(x)單調(diào)減少，故ne時，f(n) ，數(shù)列nn的最大項為 33 x 1【解析f(x5x201t8f(0)20,f(1)301t80由零點定理知，此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根，又f(x)5故此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實

1

0f(x

d(x2y2z2d(xyz) 0再由全微分四則運算法則

(xy)dz(ydxxdy)z

xdxydyx2x2y2dx令x1,y0,z1,得dy ,即dzdx 2dy2x1 【解析由k 2,blim2x1ex2xlim2xex1limex 1

x y2x1y2x1ex的斜漸近線 【解析】： 是矩陣A 的特征向量，可知A，也 1

a1,5。故所對應的特征值為511 11

1 三、解答題：15—23小題，共94【證明】：先證明xn0： x00；假設xk0，則由xk1ln1xk可知xk10.由數(shù)學歸納法可知，對任意的非負整數(shù)n，有xn0．從而limx0n 0,11 F(xex2f(x),F(x在[,1]上連續(xù)，在(,1) 11 由羅爾定理，在(1,1)至少有一點于 ；fx(x,y)e2x2x2y24y1；求得駐點1,1．又A 1,12e0，Bf1,10，C 1,12e xx xy yy 所以ACB24e20

由判定極值的充分條件知，在點11處，函數(shù)取得極小值f11e （18）x3exsiny關于yxy23exsinyd xy2dr4

d2cosr402032264 2cos6sin2 64 05 2coscos05641351357 86422224222y22y2

y(2) ，切線方程為y 2(x2)，與x軸的交點標為(1,0)切線旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體體積為32

y2dx

1)曲線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的體積為 22223

43

2)容器內(nèi)表面積S

x221( )2dx 2 2 2162 x2 362f(x)ex f(x)ex lim

limg(x)lim(axb) g(xx0limg(x)limg(x)g(0，即b1 故b1ag(xx0g(0)

g(x)g(0)

f(x)exx

xlimf(x)exlimf(x)ex1limf(x)f(0)ex 2 1

f(x)f

ex lim lim [f(0)1]2x0 g(0)limax1(1)a a1f(0)1]b1g(xx0處可導2 y(x)2e2xf(x,x)e2x[f(x,x)f(x,x)] f(uvf(uvsin(uv)euvf(xxf(xxsin(uv)euv，中令uxv f(xxf(xx)sin(2x)e2x y(xe2x[sin2xe2xdxc由分部積 ，可得sin2xe2xdx1(sin2xcos2x)e2xc y(x1(sin2xcos2xce2x4 f(uvf(uv)sin(uv)euv 令uxvxdf(xxsin(2xe2x所以dy(x)e2x)sin(2xe2xy(x滿足的微分方程y(x)2y(x)sin2x【解析】：（I）對線性方程組（Ⅰ）的系數(shù)矩陣做初等 3

解得其基礎

5 3 10 01

5 2（II）方法一：由（1）的結 線性方程組（Ⅰ）的通解為 k ,k,kR；線11 20 0 1 2 1

12方程組（Ⅱ）的通解為k k ,k,kR。要求（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解，3a 44 a a 85 2

2 1

12即求k k k k 的非零解11 20 3a2

440 1

a k1 0 將該

2 a

0 a 4 對這個齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等 a 4 a 2 a8 a8 a a

3a 5a

3a 2a2 5a 3a a a

3a 2a2 a 可知，要使得該線性方程組有非零解，則a00a1時，原方程組的系數(shù)矩陣就化為了

a 4 akk k3k4可以取任意的實數(shù)2 故所有的非零公共解為k k ，k,k不全為零31 44 1 7 2 1 k ,k,kR，要求兩線性方程組的公共解 a3a 44 a將其代入線性方程組（Ⅰ）得

2x13x2x32xxx 22k3k43k32k4(a2)k34k42kk2k2k(a2)k4kk(a (a整理得

，要使得線性方程組（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解，等價于該線(a1)k3(a1)k4方程組有非零解 ，此時有a當a1時，線性方程組(a (a1)k3(a1)k42 2

稱為恒等式k3,k4可以取任意的所有的非零公共解為k k ，k,k不全為零31 44 1 7【解析二次型的矩陣A

1 設1,1,0T是特征值所對應的特征向量，

a1

1 1a0 1b b 1 從而A 由EA1