初中數(shù)學(xué)-經(jīng)典幾何模型之阿氏圓

經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓制 段廉潔一.模型名稱由來(lái)E模型背景】“凡尸片型的最值問(wèn)題是近幾年中考考卷的熱點(diǎn)更是難點(diǎn).當(dāng)k值為1肘.即可轉(zhuǎn)化為“FW十依"之和最短問(wèn)題.就可用我們常見(jiàn)的“炊馬問(wèn)題”模型來(lái)處理.即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)襁問(wèn)題來(lái)處理.而當(dāng)A-取任意不為I的正數(shù)時(shí)，若再以常樹(shù)的軸對(duì)稱患想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須傳換思路.此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)尸所在圖像的不同來(lái)分類.一般分為2類研究=即點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)產(chǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)嚴(yán)在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為*胡不歸4向JH:點(diǎn)F在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為*阿氏膨押憫鹿.E模型由來(lái)】“阿氏園”又稱M阿波羅尼斯圓",已知平面上兩點(diǎn)小以，則所有滿足PA=k*P81RC的點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)題.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱“阿氐胭r.二?模型建立如圖1所g（?。的半徑為r,點(diǎn)乩點(diǎn)都在?？谕?，戶為上一動(dòng)點(diǎn)，己知乩連接F』、尸乩蛔當(dāng)-PAik■PB'的值最小時(shí).尸點(diǎn)的位置如何確定？.4圖1 圖2模型解讀：最早見(jiàn)y”型問(wèn)題應(yīng)該是在“將軍軟馬”問(wèn)題中、而本題塞了一個(gè).故如何確定"4?F”'的大小是關(guān)譙,如圖3在線段（■油上截取值?使如M?八則可說(shuō)明△6R9與△戶t?0相似I即止*戶6=戶＜二故本題求“以（+￡?PB”的最小值可以修化為“小+尸亡”的最小值，其中與H與C為定點(diǎn).尸為動(dòng)點(diǎn).故當(dāng)以RC三點(diǎn)共線時(shí)，"PA+PC"值最小.如圖3苣老師初中疑學(xué)講究去4力工1次25三."阿氏ar模型破解策喏t破解策略詳細(xì)步黑解析】琬一步；連接動(dòng)點(diǎn)于晅］心。（.一股將合有”的線段兩端點(diǎn)分別w圓心白相連），即連接OB.OPr第二守,計(jì)算出線段OP6OH及口門(mén)與dl的線段比.找到線段比為上的情猊.如例OP子中的空之上OB第三步；在口月上取點(diǎn)G使斛生=絲：（橫心美門(mén)POR箔P國(guó)步?連接與◎口的交點(diǎn)即為點(diǎn)PE核心作㈱另單獨(dú)解析】回顧圖2,在門(mén)￡上取點(diǎn)仁初建火=”的目的是為了形成“母子型相似模型「“國(guó)OP0B子型相似”的構(gòu)建是“阿氏圓”模型破解的*核武器一：“母子型相佃r一盅，“阿氏0r直接秒殺.將圖？中△AR7隼獨(dú)捻取出.如圖4I：色渲染的小尸。0s△8依「就是叮學(xué)子型相似模型"，“用了型相似模型”的特點(diǎn)如圖心△尸與?戶占有公共角二。且生="（在OPOB某些角度處理策略題中，“母子型相做”的主要恃征是/的上。、ZB=ZOPC）蘭譽(yù)師初中致字期究女4W11與2258（定點(diǎn)）（構(gòu)造的點(diǎn)）〔構(gòu)造出△PCQs△9心后可以得到上上="二，進(jìn)而推出口產(chǎn)=f〃?OC.即"半徑的平OPOB方，原有輸段X構(gòu)造線段".確定右的位置后，連接KC.求出去2'長(zhǎng)度“阿氏圜”即可破解）四..阿氏圓”典型例題注解例1’如圖L在JttZiJKf中，Z^tff=90*.。界=4.C/6,?！赴胼p為2,嚴(yán)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接一4八HPt求4P+工班^的量小值.2TOC\o"1-5"\h\zCP ] CP J解答』如圖2,連接“，因?yàn)榭谑?2,AC=6,BC=4,簡(jiǎn)單推算得上二=±,—=1T而題AC 3 CB 2[ q 、 1 CP J目中是求“工戶+上上戶”其中的，故舍棄在用C上取點(diǎn)，應(yīng)用“上上士上J所以在1 2 CH2CE上取一點(diǎn)心，使S3則有罟=旨=器=!「無(wú)論『如何移動(dòng)，，48與△川B始集相似，故如上8戶始終成立,所以AP+LrPWAP口,其中小。為定點(diǎn)，故4R2 2D三點(diǎn)其稅時(shí)段小，AP^-BP=A^PC>=AD=4aC-CD1-JTj（思考士若求BP十二戶占疆￥>1 3（大家仔細(xì)看第一題的解答過(guò)程，邊看邊與前面的4?破解策略”對(duì)照，動(dòng)腦筋悟出“核武器。例也已知扇形匚0口中.*￡安口=蟲(chóng)）"，。匚=8,St=M,OB=Sr點(diǎn)F是弧CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值.解密首先連接次因?yàn)樾∨淇?。扉5,所以券=：、*=?題目求的是“加a,其中的"七嗽與之相關(guān)的是fg=2_,故在口上取點(diǎn),考慮到是如.故在比上取點(diǎn)用0P2仁蘭老師初中數(shù)親斷究會(huì)的口也”

使口日=12.則有絲="=」二=工，無(wú)論戶如何移動(dòng)，△以。與△可（?始終相似，故OPOHPH2P出血始終成立,所以2;如亦白目+用，其中以白為定點(diǎn)，故從嚴(yán)、廳三點(diǎn)共線時(shí)最小，2^4+PB^py+PB=^OH2+GB2=13.1思考]若求”+?產(chǎn)官?gòu)?qiáng)？）例3*如圖L已知7G6,SC=&t＞45=10,。右的半輕為4,點(diǎn)口是?！晟系膭?dòng)點(diǎn)，連接X(jué)D,BDt則一4。+,電＞的最小值為？2CD]CD1解答r首先連接8，因?yàn)闊羰?,C￡=8.匕＜=6,所以絲=_1、—--T題目求的是CB1CA，。十上也＞"，其中的“卜上”與之相關(guān)的是烏=上，故在可上取點(diǎn)，故在匕S上取點(diǎn)2 2 CB1H,使CH=2,則有里=￡2：22=工.無(wú)論尸如何移動(dòng)，△。訂。與始終相似，CDCBBD1故HD=LsO始終成立，所以AfJ+L皿其中H、不為定點(diǎn).故打、普、A三點(diǎn)共2 2線時(shí)最小、AD+^BD=AD+DH=Jch2+AC2=2J10.（思考:若求EO+jd。呢？）例4*如圖1，在Rt&MBC中，乙K氏90",WG4,UC=3t點(diǎn)。為&4M'內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足8=%則T口+為B的最小值？洸\蘭老師初申致宇研究會(huì)的皿工布225

解答i此題美翟在干看出是“阿氏閱模5r.首先從問(wèn)題看，可能是“阿圓一,接著題目條件，8=2”更加確定此題有院藏圓.如圖3口在『2的⑤口上，下而作賺完全與上相同.故略-答案1;M例5r如圖1.在中,"金組0?.CTV.CRT.0「的串箱/2,點(diǎn)P是0r上一動(dòng)點(diǎn),則7q1尸6的最小值？解答r如圖2,愛(ài)接匚3解答r如圖2,愛(ài)接匚3口算，=?CA3—故選擇在8上取點(diǎn)，構(gòu)造“核武器CB2“母子型相似模型”，取點(diǎn)M使CW=L則有■^^1二W==3.所以無(wú)論P(yáng)如何移動(dòng)T△尸小與△￡<?戶始終相似,故小-BP始您成立，所以JP+-P5=AP+PH.其中從月為2 2定點(diǎn)，故從3/三點(diǎn)共線時(shí)最小，=AP^PH=4cH-+AC1-J10.1國(guó)％若求力口「十二」〃嗯?)例6工如圖L正方形TBGP邊長(zhǎng)為4,。占的半徑為2,P是08上一劫點(diǎn),則也Pm4尸匚的最小值？二匕蘭老帥初申繳學(xué)斫究會(huì)45口」1舂2?5（因?yàn)榍懊娑悅兌际潜容^這三條線段?。?感覺(jué)妤像和l四FD7PC"沒(méi)關(guān)系胸！實(shí)際上對(duì)“阿氐園”套路的理解不第深，我們研究的線段是胭心到“一動(dòng)兩.點(diǎn)：”，在此題中.“一動(dòng)”指的是“動(dòng)點(diǎn)四，招兩定"不是指T、C而是要看問(wèn)題"近尸小4氏一問(wèn)題中P為動(dòng)點(diǎn)，。、口才是定點(diǎn)，故本題儂該比較"—=4---.故選擇在目口上取BC2BD4V2 4點(diǎn)H1如圖2）,使得府戶匹，則有生￡=更=空=無(wú)，所以無(wú)論聲如何移動(dòng).APBH2 BPBDPD4與△￡）此尸始終相似，故耽=電電＞始終成立，所以拒PA4汽2=4（PC+—PD）=44 4【PC+FH），其中C■為定點(diǎn)，故從P、口三點(diǎn)共線時(shí)最小，4i?n+4PC=ACA?+—PD）4=4（PC^P/n=4CH.C生［尸M+MU'J卡+守'平,故答案為10點(diǎn).若求fD+gFC?IJET）例不如圖1,在巴知菱形4月匚。的由長(zhǎng)為%￡8=60*,@4的半徑為2,六為上一動(dòng)點(diǎn).則6產(chǎn)口+6FC的最小值？總比較妹心皿喘喀第j故在班上取點(diǎn)兒使得用看爭(zhēng)故；；：蘭爰師切中黎宇爵竟去4MUC225

所以//齊坦F口. +CPC+—FDy-BCPC+PH）-BPBDPD6 6 66dH.，+mu：=?而7（思考上若求產(chǎn)口十上產(chǎn)匚嗯？}2例也在平面直角坐標(biāo)系中rA<ZT0>.B（0京）、C（4t0）,D（3浦），產(chǎn)是外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且上曰"=135,,她工以加產(chǎn)。的量小值是？解答：首先從問(wèn)題.大概看出是"削不歸"或者“阿氏圓”的問(wèn)題，然后尸是動(dòng)點(diǎn)，但是月于是定線段，ZBPA^S"是定值.屬于*定弦定用“j隱網(wǎng)模型?故構(gòu)建0。.如圖2,然后下面過(guò)程略，答案』4忑例91如圖L在中,AB=3,BC=&.ZABC=60^■04的半程為6,F是d4上的動(dòng)點(diǎn)?連接F隊(duì)FCf則3產(chǎn)C+2產(chǎn)B的*小值？iPH+PC>=^CH,利用8啟8,可以求出日月±4,進(jìn)而可知上（好1,CM=4^-故CH=7<--；：,三老勵(lì)初中效宇明究要4sl工處25五4阿氏圓.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)珠雄h如圖，在拉長(zhǎng)為4的正方形」“e內(nèi)，內(nèi)切圓記為0O.P是⑥力上一動(dòng)點(diǎn)，靈3喈+“的最小值為？《答案工2$結(jié)時(shí)如圖.等邊A4Hr的邊長(zhǎng)為的內(nèi)切圓記為。a產(chǎn)是④口上一動(dòng)點(diǎn),ffi|2FH+Ft的最小值為？曲案：35)瘠3t(2a7?蘭州)如圖，拋物線.產(chǎn)——+5工H與直線一4￡交于A(-%-4),U(0,4)兩點(diǎn)r宣戰(zhàn)J=?=$交『軸于點(diǎn)匚點(diǎn)我是宜畿/月上的勘點(diǎn).過(guò)點(diǎn)五作正下_1_工軸交XU于點(diǎn)F,殛物微于點(diǎn)G.⑴求拋物線y=-it+6v+￡的表達(dá)式1<2》連接GUE6當(dāng)四邊形GEOE是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)*門(mén)》①軸上存在一點(diǎn)連接M".HF.當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)到樸必也置時(shí).以4E.人〃為頂點(diǎn)的四邊璐是矩MT求出此酎點(diǎn)E,〃的坐標(biāo)/②在①的前提F，以點(diǎn)E為國(guó)心，七出快為半程作圓，點(diǎn)財(cái)為0總上一動(dòng)點(diǎn)，求工二蘭老師初中妙亨斫究叁⑦二⑦”它的量小值.2箍擊(￡018西北工業(yè)大學(xué)前屬中學(xué)中考模報(bào)壓軸題)工向題提出】(1)如圖L在&。