天津市寧河區(qū)高三下學(xué)期線上模擬（一）數(shù)學(xué)試題

2022屆天津市寧河區(qū)高三下學(xué)期線上模擬（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函數(shù)的定義域求得集合，解指數(shù)不等式求得集合，然后求得.【詳解】，解得或.所以.，解得，所以，所以.故選：B2．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.3．已知函數(shù)，則的大致圖像為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，故排除C，D，當(dāng)，，故排除B，所以選A.故選A．4．天津中學(xué)為了調(diào)查該校學(xué)生對(duì)于新冠肺炎防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎防控知識(shí)競賽，并從該學(xué)校1500名參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了這100名學(xué)生成績情況（滿分100分，其中80分及以上為優(yōu)秀），得到了樣本頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這1500名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為（

）A．120 B．360 C．420 D．480【答案】C【分析】可得樣本中優(yōu)秀的頻率為0.28，即可求出優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可得樣本中優(yōu)秀的頻率為，則這1500名學(xué)生中競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約為.故選：C.5．已知函數(shù).若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：，所以為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以時(shí)，單調(diào)遞增.所以，由于，，則故選：C.6．設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，，，兩兩垂直，且，，三棱錐的體積為18，則球O的體積為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知球的直徑等于以，，長為棱長的長方體的對(duì)角線長，根據(jù)三棱錐的體積求出，從而取出球的半徑，最后利用球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：，，，是球表面上的四個(gè)點(diǎn)，，，兩兩垂直，則球的直徑等于以，，長為棱長的長方體的對(duì)角線長，因?yàn)椋?，三棱錐的體積為18，所以，即，所以，所以，所以，故球的體積，故選：D7．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、基本不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算、比較大小等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤；又，所以，又，所以，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故只要比較和的大小即可，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選:C8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因?yàn)椋钥稍O(shè)，，則，解得，所以，．由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率．故選：A9．設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：利用排除法，分別令和求解函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷，解法二：分類討論，分在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)和在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)三種情況求解即可【詳解】法一（排除法）：令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除A?C.令，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除B，故選D.法二（分類討論）：①當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)時(shí)，滿足，無解；②當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足，解得；③當(dāng)在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足，解得，綜上所述，的取值范圍是，故選：D.二、填空題10．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則________【答案】【分析】將式子變形再運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求得結(jié)果即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，變形得到.故答案為：11．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________.【答案】7【分析】求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再求出x的冪指數(shù)為0時(shí)的值，代入計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，由得，則，所以所求常數(shù)項(xiàng)是7.故答案為：712．直線與圓相交于兩點(diǎn)則___________.【答案】或或【分析】由圓的弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得答案.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則又圓，直線，，即，解得或故答案為：或13．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則的最小值為_____．【答案】5【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，a＋b＝1，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為5.故答案為：5.三、雙空題14．袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球共個(gè)球，現(xiàn)有一個(gè)游戲：從袋中任取個(gè)球，兩個(gè)球顏色恰好相同則獲獎(jiǎng)，否則不獲獎(jiǎng)．則獲獎(jiǎng)的概率是______；有個(gè)人參與這個(gè)游戲，則至少有人獲獎(jiǎng)的概率是______．【答案】

【分析】分別求得任取個(gè)球的取法種數(shù)和兩個(gè)球顏色相同的取法種數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得獲獎(jiǎng)的概率；根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式可求得恰有人獲獎(jiǎng)和恰有人獲獎(jiǎng)的概率，加和可得至少有人獲獎(jiǎng)的概率.【詳解】從袋中任取個(gè)球共有種取法；兩個(gè)球顏色相同共有種取法；獲獎(jiǎng)的概率；若恰有人獲獎(jiǎng)，則對(duì)應(yīng)概率；若恰有人獲獎(jiǎng)，則對(duì)應(yīng)概率，至少有人獲獎(jiǎng)的概率為.故答案為：；.15．在平面四邊形中，，，，連接，，，則__________；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________【答案】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題干中的角度、長度關(guān)系表示各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，設(shè)，則，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值【詳解】由于，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系由于，故又，故不妨設(shè)故當(dāng)時(shí)，取得最小值為故答案為：，四、解答題16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若的面積為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與求出，進(jìn)而得到；（2）結(jié)合第一問求出的和，的面積，得到，，再用余弦定理求出.【詳解】(1)因?yàn)?，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?2)的面積為，因?yàn)?，的面積為，所以，解得：，故，所以17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接交于，進(jìn)而證明，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案；（3）求出平面的法向量，結(jié)合（2），進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案.【詳解】(1)證明：連接，與交于，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．(2)設(shè)是的中點(diǎn)，連接，∵是正方形，為正三角形，∴．又∵面面，交線為，∴平面．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,∴，，設(shè)平面的法向量為，則，令．則，得，設(shè)直線與平面所成角為，∴，即直線與平面所成角的正弦值．(3)由（2）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令．則，，．設(shè)面與面夾角為，∴，∴面與面夾角的余弦值為．18．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個(gè)求解，，然后可證結(jié)論.【詳解】(1)解：由題意，解得故橢圓C的方程為.(2)證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因?yàn)椋?，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得．故點(diǎn)Q坐標(biāo)為，．聯(lián)立方程組，化簡得．設(shè)點(diǎn)．因?yàn)榕袆e式，得．又，所以．故，于是為定值.【點(diǎn)睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項(xiàng)，逐個(gè)求解，代入驗(yàn)證即可.19．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（Ⅲ）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用公差和公比表示已知條件，可求得公差和公比，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用分組求和法，轉(zhuǎn)化為,第一部分利用等差數(shù)列求和公式求和，第二部分，利用錯(cuò)位相減求和法求得；（Ⅲ）可裂項(xiàng)為，然后相加相消求和.【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，及得解得所以.（Ⅱ）設(shè)前項(xiàng)n和為A設(shè)前項(xiàng)n和為B綜上可知（Ⅲ）令【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，分組求和方法，錯(cuò)位相減法求和和裂項(xiàng)相消求和法，關(guān)鍵是第二問中的分組求和和第三問中的裂項(xiàng)技巧.20．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若在處的切線斜率是，證明有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知在上恒成立，分離參數(shù)，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得的最大值，進(jìn)而可得的取值范圍；（2）二次求導(dǎo)可得在和有個(gè)極值點(diǎn)，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況可得，，再利用不等性質(zhì)即可得證.【詳解】(1)，在遞減，在上恒成立，在上恒成立，