我們應(yīng)該如何教幾何(人教社章建躍)

我們應(yīng)該如何教幾何

人民教育出版社章建躍2021/5/91一、關(guān)于數(shù)學(xué)育人的基本觀點教育的根本任務(wù)是立德樹人。數(shù)學(xué)教育要著眼于學(xué)生的長期利益。數(shù)學(xué)育人要發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，充分挖掘數(shù)學(xué)課程所蘊含的價值觀資源，圍繞學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展需要，以培育學(xué)生的理性精神、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為核心，使學(xué)生掌握“四基”、“四能”，學(xué)會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考，成為善于認識問題、解決問題的人才。2021/5/92發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，實現(xiàn)“教數(shù)育人”數(shù)學(xué)教師應(yīng)成為學(xué)生發(fā)展的導(dǎo)師：教數(shù)學(xué)知識是手段，育人是目的；數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，不僅僅是符號運算、形式推理、模型構(gòu)建，也彰顯了人與世界的關(guān)系，更表達了宇宙空間的本質(zhì)；數(shù)學(xué)的最本質(zhì)特征是邏輯的嚴密性，其中蘊含著講規(guī)則、重證據(jù)、依邏輯、實事求是、嚴謹求實的科學(xué)精神與為人品格；數(shù)學(xué)不僅有工具屬性，也有鮮明的理性精神屬性，所以數(shù)學(xué)教育必然是工具性和理性精神的統(tǒng)一體。2021/5/93二、教師專業(yè)發(fā)展的基石理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)。“四個理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點的知識；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點的知識；關(guān)于重點知識的教學(xué)解釋的知識；關(guān)于有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解的知識；關(guān)于評估學(xué)生的知識理解水平的知識；等。特別是，教師對“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達到的水平和效果。2021/5/94理解數(shù)學(xué)知識的三重境界

知其然知其所以然

何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！2021/5/95三、在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計數(shù)學(xué)活動幾何的研究對象是什么？空間的最基本概念是“位置”。（1）幾何中，“位置”用什么來標記？（2）空間中兩個位置之間的差別用什么來標記？（3）“位置差別”用什么幾何量來加以定量化的刻畫？（4）如何刻畫直線的“直”、平面的“平”？2021/5/96度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在幾何學(xué)是關(guān)于幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的科學(xué)。點、直線、平面是基本幾何圖形，源于對現(xiàn)實事物的抽象——純粹的數(shù)學(xué)對象?！拔恢谩笔怯钪婵臻g的最基本要素，位置用“點”表示；直線段是連接兩點的最短通路，兩個點的位置差異用線段的長度表示。2021/5/97直線由點組成，直線的“直”用點與點之間的關(guān)系來刻畫；平面由點、直線組成，平面的“平”用點、直線的關(guān)系，用直線的“直”來刻畫。2021/5/98“方向”是另一個基本概念（1）幾何中，“方向”用什么來表達？（2）兩個方向的差別用什么來度量？2021/5/99平面上的一條射線表達了一個方向，一條直線則是具有兩個相反的方向。兩條共起點的射線，在方向上的差別也就是∠BAC的角度，即角度是其方向差的度量。2021/5/910如何研究“相交線”首要問題是什么？研究對象的抽象——定義相交線。數(shù)學(xué)的方式：（1）低維定義高維；（2）組成要素的基本關(guān)系。2021/5/911接下來的研究內(nèi)容是什么？性質(zhì)——“相交線的性質(zhì)”的內(nèi)涵是什么？兩條直線相交形成四個角（幾何元素），這些角之間的相互關(guān)系——幾何圖形組成元素間的相互關(guān)系就是性質(zhì)！如何發(fā)現(xiàn)這些角的相互關(guān)系？2021/5/912探究過程四個角的關(guān)系∠1+∠2+∠3+∠4=360°三個角的關(guān)系變化中不存在不變性——沒有固定的關(guān)系兩個角的關(guān)系（1）兩兩配對有6對角，即∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4，∠2和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4。2021/5/913（2）∠1和∠2的關(guān)系如何研究？從角的定義出發(fā)，得到研究內(nèi)容：兩個角的頂點、邊的關(guān)系，得到∠1與∠2的位置關(guān)系。頂點重合；一邊重合，稱這兩個角“相鄰”；另一邊互為反向延長線，所以兩個角“互補”。用幾何語言準確表達即為鄰補角的定義：∠1與∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長線，即∠1與∠2互補，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．2021/5/914（3）其余5對角的關(guān)系的研究讓學(xué)生類比∠1與∠2的位置關(guān)系的研究過程，對其余5對角的邊的位置關(guān)系進行自主探究，并作出分類，得出對頂角的定義，再得出：兩條直線相交所形成的4個角中，兩兩之間的位置關(guān)系，根據(jù)兩個角的邊之間特殊的位置關(guān)系，分成兩類，一類是鄰補角，一類是對頂角。過程與結(jié)果的融合，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的落實。2021/5/915接下去研究什么？已經(jīng)研究了兩條直線相交形成的6對角的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以分為兩類。那么，鄰補角、對頂角分別有怎樣的大小關(guān)系呢？這就是接下來要研究的問題?！獛缀螌W(xué)是研究幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的科學(xué)。2021/5/916如何讓學(xué)生感受證明“對頂角相等”的必要性從一個給定的圖形中得到“對頂角相等”，但任意兩個對頂角都相等嗎？觀察剪刀剪紙的過程，這個過程中什么在變化？對頂角的相等關(guān)系總能保持嗎？為什么？在一個平面內(nèi)的兩條相交線，不僅AB，CD的位置關(guān)系可以改變，交點O的位置也可以改變。在這些變化過程中，對頂角仍然相等嗎？你如何使人相信：如果兩個角具有對頂角的位置關(guān)系，那么它們就一定相等？你能把道理完整地寫出來嗎？2021/5/917接下來研究什么？垂線——從一般相交到相互垂直。從一般到特殊是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的“基本之道”！“特殊”往往很重要。2021/5/918小結(jié)：相交線的研究路徑概念——性質(zhì)——特例其中，概念的定義明確了研究對象及其幾何要素（4個共頂點的角）；性質(zhì)是指幾何要素之間的相互關(guān)系（4個角的位置關(guān)系、大小關(guān)系）；特例是指兩條相交線的特殊位置關(guān)系，即垂直，與距離這一重要數(shù)學(xué)概念相關(guān)，因此有特別的重要性。角的關(guān)系是指角的組成要素之間的關(guān)系。從定義出發(fā)研究性質(zhì)。2021/5/919如何研究平行線的性質(zhì)？大前提：兩條直線平行；小前提：與第三條直線相交；結(jié)論：同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補。性質(zhì)的表現(xiàn)方式：“第三條直線”在運動變化過程中，與兩條平行線相交形成的角（幾何要素）之間具有確定的關(guān)系。2021/5/920體現(xiàn)核心素養(yǎng)的“大概念”從方法論的高度看，研究兩條直線某種位置關(guān)系的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下，兩條直線的組成要素之間以及與其他直線所形成的圖形中出現(xiàn)的確定關(guān)系（不變性和不變量）。具體方法是讓幾何元素動起來，看“變化中的不變性、不變量”。這是教學(xué)設(shè)計的源頭，需要采用單元設(shè)計，把“數(shù)學(xué)對象的抽象—組成元素的提取—相互關(guān)系的猜想—猜想的證明——性質(zhì)的應(yīng)用”等落實下來。2021/5/921提倡單元整體設(shè)計教學(xué)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點。教師應(yīng)理解不同數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的具體要求，不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標。所以，整體把握教學(xué)內(nèi)容對促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展具有重要意義。這就是提倡單元整體設(shè)計教學(xué)的理由。2021/5/922要防止碎片化教學(xué)現(xiàn)象的延續(xù)老師的困惑：單元設(shè)計會出現(xiàn)課的容量過大問題，知識不鞏固、解題能力不過關(guān)。受應(yīng)試的困擾，大家習(xí)慣于“當堂鞏固”，學(xué)一個知識點就要進行大量鞏固性練習(xí)。這樣的教學(xué)，結(jié)果必然是：知識碎片化，而孤立的、缺乏知識系統(tǒng)性的知識點訓(xùn)練也導(dǎo)致了訓(xùn)練效果不佳，學(xué)生綜合運用知識的能力不強。2021/5/923思想、方法的普遍適用性例如，直線平行于平面的性質(zhì)位置關(guān)系（大前提）：直線l

∥平面α；探究性質(zhì)的思路：直線l、平面α與其他直線、平面所形成的確定關(guān)系，可以得到命題：（1）如果

a∥l（小前提），那么a

∥α

；（2）如果

a

∥α，那么a

∥l；（3）如果a

⊥l，那么a⊥α；（4）如果a⊥α，那么a⊥

l；2021/5/924（5）如果β∥l，那么β∥α；（6）如果β∥α，那么β∥l；（7）如果β⊥l，那么β⊥α；（8）如果

β⊥

α

，那么β

⊥l。2021/5/925（9）與“公理”相聯(lián)系，直線l與平面α

內(nèi)任意一點A確定一個平面β

，α

∩

β=m

，那么

m∥l；（10）l∥α

，所以l∩α=Φ。如果m在α

內(nèi)，則或者m∥l，或者m與l是異面直線。（11）直線m與直線l異面，則過直線m有且只有一個平面與直線l平行。（12）l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2。2021/5/926研究對象在變，“研究套路”不變，思想方法不變！——這就是數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的力量！2021/5/927幾何性質(zhì)的分類幾何學(xué)的基本研究對象可分為兩類：物體的形狀、物體的位置，它們的特征就是性質(zhì)。幾何圖形的形狀：通過它的組成元素的形狀及其位置關(guān)系來反映——結(jié)構(gòu)特征；點、直線、平面的位置關(guān)系：點、直線、平面（基本幾何圖形）的位置關(guān)系是幾何圖形位置關(guān)系的基礎(chǔ)，核心是平行（空間的平直性）、垂直（空間的對稱性），距離、角度等可以把位置關(guān)系定量化。2021/5/928三角形性質(zhì)的研究思路和方法以三角形的要素（三條邊、三個內(nèi)角）、相關(guān)要素（高、中線、角平分線、外角等）以及幾何量（邊長、角度、面積等）之間的相互關(guān)系為基本問題，從“形狀、大小和位置關(guān)系”等角度展開研究?！靶螤睢敝?，“特例”是重點——等腰三角形和直角三角形，凡事“特例”都有性質(zhì)和判定兩個基本問題。在一般觀念指導(dǎo)下研究幾何圖形的性質(zhì)。2021/5/929如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)問題1：什么叫三角形的性質(zhì)？問題2：“三條邊的關(guān)系”指什么？“三個角的關(guān)系”又指什么？問題3：邊和角之間有確定的關(guān)系嗎？問題4：高、角平分線、中線的性質(zhì)是如何表現(xiàn)的？外角呢？……2021/5/930從三角形的“內(nèi)角和為180°”、“兩邊之和大于第三邊”、“大邊對大角”、“等邊對等角”等你想到了什么？抽象：三角形的角、邊之間的穩(wěn)定的聯(lián)系、確定的關(guān)系就是性質(zhì)。某一類幾何對象組成要素之間確定的關(guān)系（任意一個對象都具有的關(guān)系）就是性質(zhì)。2021/5/931從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點”、“等腰三角形三線合一”等又想到了什么？把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素”之間的位置關(guān)系就是性質(zhì)。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系（不隨具體事物的變化而變化）也是性質(zhì)。2021/5/932三條線段首尾相連？四條線段首尾相連而成的平面圖形問題1我們已經(jīng)比較完整地研究了三角形，接下來你想研究什么平面圖形？四邊形三角形你能按這個定義畫一個四邊形嗎？四邊形的教學(xué)2021/5/933我們是怎樣研究三角形的？研究思路？研究內(nèi)容？研究方法？確定研究對象（給定義）——發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——研究特例（性質(zhì)、判定）三角形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（角與角、邊與邊、邊與角）。度量、觀察、實驗，從幾個具體三角形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對象特殊化，發(fā)現(xiàn)特殊三角形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)——判定）2021/5/934怎樣研究四邊形—溫故而知新三角形邊角三線四邊形邊角對角線三角形三角形三角形邊角三線三角形邊角三線三角形三角形三角形三角形邊角三線三角形邊角三線三角形觀察猜想證明邊角三線三角形觀察猜想證明邊角三線三角形觀察猜想證明邊角三線三角形邊角三線三角形邊角三線三角形確定研究對象（給定義）——發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——研究特例（性質(zhì)、判定）2021/5/935研究一般四邊形四邊形內(nèi)角和為360o，外角和360o.定義O任意三邊的和都大于第四邊。對角線的和大于周長的一半而小于周長。明確定義發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)邊角對角線性質(zhì)四條線段首尾相連而成的平面圖形2021/5/936提出問題：特殊四邊形的研究ABC溫故ABCABC邊的大小特殊化邊的位置特殊化角特殊化特殊三角形的性質(zhì)、判定知新O邊的位置特殊化特殊四邊形的性質(zhì)、判定2021/5/937怎樣研究？研究思路？研究內(nèi)容？研究方法？確定研究對象（給定義）——發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——研究特例（性質(zhì)、判定）平行四邊形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（邊與邊、角與角、對角線與對角線）。度量、觀察、實驗，從幾個具體平行四邊形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對象特殊化，發(fā)現(xiàn)特殊平行四邊形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)——判定）2021/5/938研究平行四邊形性質(zhì)定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD,AD∥BC.∵AB∥CD,AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.觀察并猜想：平行四邊形可能有哪些性質(zhì)？能寫出已知、求證并加以證明嗎？明確定義發(fā)現(xiàn)性質(zhì)證明性質(zhì)2021/5/939研究平行四邊形的性質(zhì)定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。平行四邊形性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等，對角線互相平分?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB=CD,AD=BC，OA=OC,OB=OD.2021/5/940研究平行四邊形的判定溫故直角三角形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：互逆。等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：互逆。知新平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系：互逆。猜一猜：怎樣判定一個四邊形是平行四邊形？證明你的猜想.1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；2.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。3.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.2021/5/941知識整理研究思路？研究內(nèi)容？研究方法？研究結(jié)果？確定研究對象（給定義）——發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)——研究特例（性質(zhì)、判定）四邊形的組成要素、相關(guān)要素之間的大小關(guān)系、位置關(guān)系（邊與邊、角與角、對角線與對角線）。度量、觀察、實驗，從幾個具體四邊形中發(fā)現(xiàn)共性，再推廣到一般；研究對象特殊化，發(fā)現(xiàn)特殊四邊形的性質(zhì)；條件和結(jié)論互換，發(fā)現(xiàn)新的定理（性質(zhì)——判定）2021/5/942O研究結(jié)果？判定作業(yè)：1.請你寫一篇關(guān)于如何研究一個幾何圖形的短文。2.請用你學(xué)到的方法繼續(xù)研究特殊的平行四邊形，比如：有一個內(nèi)角為60o的平行四邊形.2021/5/943幾何要教類比代數(shù)要教歸納研究對象在變，研究套路、思想方法不變！2021/5/944“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)課標要求（1）通過具體實例認識平面圖形的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。2021/5/945（2）了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。（3）探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性。（4）認識和欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形。2021/5/946內(nèi)容結(jié)構(gòu)概念和性質(zhì)——特例（性質(zhì)）——數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用——實際應(yīng)用其中，“概念和性質(zhì)”是基礎(chǔ)，是重中之重。2021/5/947如何確定一個旋轉(zhuǎn)的條件平面圖形的旋轉(zhuǎn)，就是通過對圖形實施旋轉(zhuǎn)變換，把一個圖形從一個位置變到另一個位置。這里，圖形從一個位置變到另一個位置，需要做到“唯一確定”。只有當旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度的大小都確定后，圖形的旋轉(zhuǎn)才能做到“唯一確定”。2021/5/948如何讓學(xué)生認識“三要素”思考：如果缺少其中某個條件的話，旋轉(zhuǎn)后的圖形能唯一確定嗎？為了激發(fā)學(xué)生的獨立思考，可以讓他們進行如下活動：任意畫一個△ABC，（1）繞點A旋轉(zhuǎn)30°，得到的結(jié)果怎樣？（2）分別繞點A和點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到的結(jié)果一樣嗎？（3）繞