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文檔簡介
節(jié)基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導初等函數(shù)積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:章2021/5/91一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和1.有理函數(shù)的分解2021/5/92(1)分母中若有因式,則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地:分解后為其中都是常數(shù)2021/5/93注:關于部分分式分解如對進行分解時例如一項也不能少,因為通分后分子上是的次多項式,可得到
個方程,定出個系數(shù),否則將可能會得到矛盾的結果.2021/5/94但若矛盾2021/5/95(2)分母中若有因式,其中則分解后為特殊地:分解后為其中都是常數(shù)2021/5/96例1.
將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法2021/5/97(2)用賦值法故2021/5/98(3)比較系數(shù)法原式=2021/5/992.有理函數(shù)的積分
變分子為再分項積分四種典型部分分式的積分:2021/5/910討論積分令則記2021/5/911這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).遞推公式2021/5/912注意
以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法,但對一個具體問題而言,未必是最簡捷的方法,應首先考慮用其它的簡便方法.如使用湊微分法比較簡單基本思路盡量使分母簡單——降冪、拆項、同乘等化部分分式,寫成分項積分可考慮引入變量代換2021/5/913例2.
求積分解:2021/5/914例3.
求解:
已知2021/5/915例4.
求解:
原式思考:如何求提示:變形方法同例42021/5/916例5.
求解:說明:將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結構尋求簡便的方法.2021/5/917例6.
求解:原式2021/5/918例7.
求解:
原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁2021/5/919按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項積分.此解法較繁!2021/5/920二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設表示三角函數(shù)有理式,令萬能代換t
的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則2021/5/921令(萬能置換公式)2021/5/922例8.
求解:
令則2021/5/9232021/5/924例9.
求解:
說明:
通常求含的積分時,往往更方便.的有理式用代換2021/5/925例10.求積分解法1:2021/5/926解法2:令2021/5/927解法3:可以不用萬能置換公式.結論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.如2021/5/928若用萬能代換,則化部分分式比較困難但若是湊微分,則比較簡單基本思路2021/5/9292.簡單無理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2021/5/930例13.
求解:
令則原式2021/5/931例14.
求解:
為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令2021/5/932例15.
求解:
令則原式2021/5/933例16.
求積分解:先對分母進行有理化原式2021/5/934內(nèi)容小結1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2.
特殊類型的積分按上述
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