有理函數(shù)積分

節(jié)基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:章2021/5/91一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和1.有理函數(shù)的分解2021/5/92（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為其中都是常數(shù)2021/5/93注:關(guān)于部分分式分解如對(duì)進(jìn)行分解時(shí)例如一項(xiàng)也不能少，因?yàn)橥ǚ趾蠓肿由鲜堑拇味囗?xiàng)式，可得到

個(gè)方程，定出個(gè)系數(shù)，否則將可能會(huì)得到矛盾的結(jié)果.2021/5/94但若矛盾2021/5/95（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為其中都是常數(shù)2021/5/96例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法2021/5/97(2)用賦值法故2021/5/98(3)比較系數(shù)法原式=2021/5/992.有理函數(shù)的積分

變分子為再分項(xiàng)積分四種典型部分分式的積分:2021/5/910討論積分令則記2021/5/911這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).遞推公式2021/5/912注意

以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題而言，未必是最簡(jiǎn)捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡(jiǎn)便方法.如使用湊微分法比較簡(jiǎn)單基本思路盡量使分母簡(jiǎn)單——降冪、拆項(xiàng)、同乘等化部分分式，寫成分項(xiàng)積分可考慮引入變量代換2021/5/913例2.

求積分解：2021/5/914例3.

求解:

已知2021/5/915例4.

求解:

原式思考:如何求提示:變形方法同例42021/5/916例5.

求解:說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.2021/5/917例6.

求解:原式2021/5/918例7.

求解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁2021/5/919按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!2021/5/920二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t

的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則2021/5/921令（萬(wàn)能置換公式）2021/5/922例8.

求解:

令則2021/5/9232021/5/924例9.

求解:

說(shuō)明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換2021/5/925例10.求積分解法1：2021/5/926解法2：令2021/5/927解法3：可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.如2021/5/928若用萬(wàn)能代換，則化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡(jiǎn)單基本思路2021/5/9292.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2021/5/930例13.

求解:

令則原式2021/5/931例14.

求解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令2021/5/932例15.

求解:

令則原式2021/5/933例16.

求積分解：先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式2021/5/934內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.

特殊類型的積分按上述