《工程力學(xué)》軸向拉伸與壓縮

1工程力學(xué)任課教師戴勇機(jī)械或結(jié)構(gòu)要正常工作，要求組成它們的構(gòu)件有足夠的承受載荷的能力——承載能力。（1）構(gòu)件必須具有足夠的強(qiáng)度（strenth）：強(qiáng)度指構(gòu)件抵抗破壞的能力（不發(fā)生斷裂，也不產(chǎn)生顯著的塑性變形）。衡量構(gòu)件承載能力的三個(gè)主指標(biāo)：（2）構(gòu)件必須具有足夠的剛度（rigidity）：剛度指構(gòu)件抵抗變形的能力（不產(chǎn)生過量的彈性變形）。（3）構(gòu)件必須具有足夠穩(wěn)定性（stability）：穩(wěn)定性指構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。構(gòu)件的承載能力2§5.1材料力學(xué)的基本概念

第五章軸向拉伸與壓縮4.基本假設(shè)

2.經(jīng)濟(jì)性

1.構(gòu)件的承載能力

強(qiáng)度—構(gòu)件抵抗破壞的能力。剛度—構(gòu)件抵抗變形的能力。穩(wěn)定性—壓桿維持直線平衡狀態(tài)的能力。

3.材料力學(xué)的任務(wù)—在滿足構(gòu)件既安全又經(jīng)濟(jì)的前提下，為構(gòu)件選擇合適的材料，設(shè)計(jì)合理的截面形狀和尺寸，提供必要的理論基礎(chǔ)和實(shí)用的計(jì)算方法。

—經(jīng)濟(jì)節(jié)約，降低生產(chǎn)成本。

（1）均勻連續(xù)性假設(shè)（2）各向同性假設(shè)（3）彈性小變形假設(shè)

彈性變形塑性變形

第五章

軸向拉伸與壓縮

§5.2軸向拉（壓）的工程實(shí)例與力學(xué)計(jì)算4二力桿？第五章

軸向拉伸與壓縮§5.2軸向拉（壓）的工程實(shí)例與力學(xué)計(jì)算

軸向拉伸與壓縮的概念1、受力特點(diǎn)

力線與軸線重合。5第五章

軸向拉伸與壓縮§5.2軸向拉（壓）的工程實(shí)例與力學(xué)計(jì)算

軸向拉伸與壓縮的概念1、受力特點(diǎn)

力線與軸線重合。2、變形特點(diǎn)

桿件沿軸線方向伸長或縮短。這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮。6內(nèi)力的定義：在外力作用下，構(gòu)件內(nèi)部各部分之間因相對位置改變而引起的附加的相互作用力。§5.3軸力與軸力圖1、內(nèi)力及截面法內(nèi)力是由外力引起的，并隨外力改變而變化。內(nèi)力過大，將引起構(gòu)件破壞。7

§5.3軸力與軸力圖1、內(nèi)力及截面法

研究該圖，“1—1”剖面反映了右桿對的左桿的作用，由“FN”來表示?！癋N”被稱之為內(nèi)力。從平衡方程ΣX=0得：F=FN

。

用這種方法研究問題稱之為“截面法”。

這與靜力學(xué)中研究物體間相互作用，用“F”表示其它物體對該物體的作用的道理是一樣的。8

§5.3軸力與軸力圖2、軸力

“FN”是內(nèi)力，作用于桿件的軸線上，與外力作用線重合，我們將其稱之為軸力。

在后面看到的“軸力圖”上軸力背離截面則為“+”，反之為“—”?！?”為拉，“—”為壓。93、軸力圖

許多情況下，桿上的內(nèi)力有數(shù)個(gè)，且大小不一。為清晰反映其內(nèi)部各力的作用情況，需要畫軸力圖。例1：畫出該圖的軸力圖。解：（1）采用截面法進(jìn)行研究（2）研究對象以桿中兩個(gè)受集中力作用點(diǎn)為分段點(diǎn)即“1-1”、“2-2”、“3-3”并畫受力圖。截面受力圖10KN和8KN在相關(guān)截面上是拉還是壓？10（3）列分段的平衡方程1-1段：∑FX=0FN1—6=0FN1=6KN2-2段(左)：∑FX=0FN2+10—6=0FN2=—4KN（與假設(shè)方向相反，應(yīng)是壓力）2-2段(右—結(jié)果同)：∑FX=0—FN2’—8+4=0FN2’=—4KN3-3段：∑FX=04—FN3=0FN3=4KN截面受力圖X11，（3）列分段的平衡方程1-1段：FN1=6KN2-2段(左)：FN2=—4KN（與假設(shè)方向相反，應(yīng)是壓力）2-2段(右)：FN2’=—4KN3-3段：FN3=4KN注意：在軸力圖上，拉為‘+’，力的方向背離截面；“壓為‘—’，力的方向指向截面。截面受力圖FNXX122、軸力圖（4）討論

截面法是計(jì)算內(nèi)力的一

般方法。其求解步驟可

以概括為四個(gè)字：

截：在欲求內(nèi)力的構(gòu)件

上，用假想截面將桿件截為兩部分。?。阂话闳∈芰唵蔚哪遣糠譃檠芯繉ο螅瑨仐壛硪徊糠?。代：用內(nèi)力代替拋棄部分對保留部分的作用。平：根據(jù)保留部分的平衡條件，確定該截面內(nèi)力的大小和方向。4KN13

（3）軸力圖該軸力圖說明什么？規(guī)律：集中載荷處軸力圖上有突變，其值=集中載荷。軸力圖14§5.4拉（壓）桿橫截面的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算1、應(yīng)力的概念

σ=FN/A（單位面積上的軸向或法向內(nèi)力）

“σ”我們稱之為正應(yīng)力（拉應(yīng)力或壓應(yīng)力）。

這是一個(gè)非常重要的公式。正應(yīng)力單位：在國際單位制中，應(yīng)力的單位是

N/m2,稱為帕斯卡。Pa（帕）、KPa、MPa、GPa，

他們之間成103關(guān)系。15§5.4拉（壓）桿橫截面的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算1、應(yīng)力的概念

σ=FN/A

從一般意義上分析：在工件內(nèi)部的力P是不規(guī)則的，一般可分解成法向和切向兩個(gè)分力，由此可引出正應(yīng)力“σ”和切應(yīng)力“τ”兩個(gè)新概念。（“τ”將在下一章重點(diǎn)介紹）

161、應(yīng)力的概念

σ=FN/A

“σ”我們稱之為正應(yīng)力。仍舉例1：

“1-1”段截面，F(xiàn)N1=6KN；如桿面積A=100mm2則σ=FN/A=6×103/(100×10-6)=60×106Pa=60MPa172、討論“—”問題（1）指向截面的軸力設(shè)為“—”。（2）軸力圖上的“—”方向。（3）未知力計(jì)算結(jié)果為“—”。軸力指向截面反映該截面受壓所設(shè)力指向與實(shí)際相反183、拉（壓）桿的強(qiáng)度計(jì)算

為保證桿件正常工作，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即：（強(qiáng)度條件）解決三類強(qiáng)度問題的計(jì)算：1、強(qiáng)度校核FN/A≤［σ］2、設(shè)計(jì)截面尺寸A≥FN/［σ］3、確定許用載荷FN≤A［σ］19下次課講應(yīng)用

§5.5拉（壓）桿的變形

（胡克定律）

桿件受軸向拉伸時(shí)，將引起軸向尺寸的伸長與橫向尺寸的縮短。

反之亦然。20§5.5拉（壓）桿的變形（胡克定律）1、縱向變形討論下圖——拉伸長！縱向絕對變形：ΔL=L1—L（ΔL為正，表示受拉，反之受壓）單位長度上的變形——縱向線應(yīng)變，簡稱應(yīng)變，用“ε”表示。ε=ΔL/L=

(L1—L)/L（“ε”—無量綱）

（拉為正，壓為負(fù)）21

§5.5拉（壓）桿的變形（胡克定律）2、橫向變形

與長度方向變形類似，但又不同。壓變粗，拉變細(xì)！橫向線應(yīng)變，用“ε’”表示。ε’=Δd/d（Δd=d1—d）(壓為正，拉為負(fù)。凡是增量為大的為正)“ε’”—無量綱“ε’”—無量綱“ε’”—無量綱22

§5.5拉（壓）桿的變形（胡克定律）

3、泊松比

試驗(yàn)證明：

在一定的應(yīng)力范圍內(nèi)，同種材料的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變的比值是一個(gè)常量。23P77表5-1§5.5拉（壓）桿的變形（胡克定律）4、胡克定律（定性）此式表明：

在一定應(yīng)力范圍內(nèi)，桿的軸向變形與軸向載荷和桿長成正比，與桿的橫截面成反比。24

4、胡克定律

通過大量實(shí)驗(yàn)，引入一個(gè)比例常數(shù)E（稱之為材料的彈性模量），則有（定量）“E”的單位一般用GPa。同一種材料，“E”為常數(shù)。式中分母上“EA”越大，“ΔL”變化的可能性越小，故它反映了桿件抵抗拉伸與（壓縮）變形的能力，“EA”稱之為抗拉（壓）剛度。在今后的學(xué)習(xí)中，這是一個(gè)重要的概念。25

4、胡克定律

將σ=FN/A，ε=ΔL/L代入上式，得

σ

=Eε

這是胡克定律的另一種表達(dá)式。在應(yīng)力不超過某一極限值時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。26例2

已知：ACD=300mm2,AABC=500mm2,E=200GPa。

求：（1）桿的總變形；（2）桿上哪一段的縱向線應(yīng)變?chǔ)抛畲?。注意?/p>

該桿是懸臂梁。但其僅受軸向力作用，故沒有上下方向的約束力和約束力偶作用。27例2

已知：ACD=300mm2,AABC=500mm2,E=200GPa。

求：（1）桿的總變形；（2）桿上哪一段的縱向線應(yīng)變?chǔ)抛畲?。通過簡單受力分析，可得如上圖A點(diǎn)約束力大小。28這與例1有許多相似之處。1、用截面法分析各段中內(nèi)力情況分段求平衡方程。1-1段：∑FX=0FN1—20=0FN1=20KN2-2段：∑FX=0FN2

—10=0FN2=10KN(壓)【與假設(shè)方向一致，雖然是正號，但是壓力，可用(壓)表示?！縓軸★注意：有些教材或參考書有類似的描述。注意“—”的表述。截面受力圖291、用截面法分析各段中內(nèi)力情況

這里的特殊性在于雖有臺(tái)階軸，但BCD段（2-2段剖面）的軸力大小是一樣的。

從軸力圖上可看出，在B處有突變，絕對值為30KN（這是規(guī)律）。截面受力圖302、計(jì)算各段桿的變形應(yīng)用胡克定律“A-B”段：ΔL=100×10-3F1/（500×10-6E）=100×10-3×20×103/(500×10-6×200×109)=2×10-5m=2×10-2mm(注意單位的一致性)AABC=500mm2,E=200GPa。

ACD=300mm2,312、計(jì)算各段桿的變形應(yīng)用胡克定律

“A-B”段：

ΔL=2×10-2mm同理：“B-C”段：

ΔL=—1×10-2mm（軸力發(fā)生了變化）

“C-D”段：

ΔL=—1.67×10-2mm（截面積變化了）32AABC=500mm2,E=200GPa。

ACD=300mm2,

3、求出桿上最大的

縱向線應(yīng)變段已知：“A-B”段：

ΔL=2×10—2mm“B-C”段：

ΔL=

—1×10—2mm“C-D”段：

ΔL=—1.67×10—2mm

因?yàn)楦鞫伍L度相等，觀察各段縱向絕對變形量ΔL即可。

εmax=ΔLAB/LAB=2×10—2/100=2×10—4“ε”——無量綱33討論：σ=FN/A應(yīng)力表示什么？桿上各段的應(yīng)力相等嗎？AB段軸力是拉力還是壓力？BC段和CD段呢？34討論：力的方向不變。如果B端是10KN，D端是30KN，軸力圖將如何畫？35討論：力的方向不變。如果B端是10KN，D端是30KN，軸力圖將如何畫？36作業(yè)：P89習(xí)題：P89習(xí)題

：5-1；5-2；5-31、要求先抄畫原圖并畫受力圖；2、再畫“截面受力圖”；3、最后畫軸力圖。3738祝同學(xué)們學(xué)習(xí)愉快3839工程力學(xué)任課教師戴勇1、指向截面的軸力設(shè)為“—”。2、軸力圖上的“—”方向。3、未知力計(jì)算結(jié)果為“—”。軸力指向截面反映該截面受壓所設(shè)力指向與實(shí)際相反討論“—”問題坐標(biāo)圖截面受力圖軸力（內(nèi)力）圖列平衡方程要

看力的投影。40第五章

軸向拉伸與壓縮§5.6材料的力學(xué)性能

一、低碳鋼拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能1、低碳鋼的拉伸試驗(yàn)

低碳鋼是指含碳量在3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較為廣泛，而且在拉伸試驗(yàn)中表現(xiàn)出來的力學(xué)性能也最為典型。41

在工程上，一般以單位面積上的受力情況和單位長度上的材料變化情況作為科學(xué)研究的量化指標(biāo)，即研究正應(yīng)力σ=F/A和應(yīng)變

ε=ΔL/L的變化。以σ

為縱坐標(biāo)，ε為橫坐標(biāo)，[ε實(shí)際上就是相對變形比例%]作圖表示σ

與ε

的關(guān)系，稱應(yīng)力－應(yīng)變圖或

σ

－ε

曲線，如圖5-15所示。P79圖5-15低碳鋼

σ

－ε

曲線。42P79圖5-15低碳鋼

σ

－ε

曲線彈性階段強(qiáng)化階段屈服階段縮頸階段

當(dāng)載荷撤銷，構(gòu)件恢復(fù)到原來狀態(tài)43

當(dāng)載荷撤銷，構(gòu)件恢復(fù)到O1位置

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，Q235的力學(xué)性能可分為以下幾個(gè)階段：(1)彈性階段

在拉伸的初始階段，

σ

與ε

的關(guān)系為直線

，這表示在這一階段內(nèi)

σ

與ε

成正比，即σ=Eε

這就是拉伸時(shí)的胡克定律。式中E

為與材料有關(guān)的比例常數(shù)，稱為彈性模量。因?yàn)閼?yīng)變?chǔ)艣]有量綱，故

E的量綱與σ

相同，常用單位是Gpa。從

σ—ε曲線的直線部分可以得到:

E=σ/ε=tanα

所以E

是直線oa的斜率。

44

直線

的最高點(diǎn)

所對應(yīng)的應(yīng)力，用σp

來表示，稱為比例極限?？梢姡?dāng)應(yīng)力低于比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，材料服從胡克定律。“α”愈大，表明材料的剛度愈大。

超過比例極限后，從

a點(diǎn)到b

點(diǎn)，

σ

與ε

之間的關(guān)系不再是直線，但解除拉力后變形仍可完全消失，這種變形稱為彈性變形。b點(diǎn)所對應(yīng)的應(yīng)力

σe是材料出現(xiàn)彈性變形的極限值，稱為彈性極限。在

σ

－ε曲線上，a、b兩點(diǎn)非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限并不嚴(yán)格加以區(qū)分。45(2)屈服階段

當(dāng)應(yīng)力超過b點(diǎn)增加到某一數(shù)值時(shí)，應(yīng)變有非常明顯的增加，而應(yīng)力先是下降，然后作微小的波動(dòng)，在

σ

－ε曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段。這種應(yīng)力基本保持不變，而應(yīng)變顯著增加的現(xiàn)象，稱為屈服或流動(dòng)。一般此時(shí)的應(yīng)力（區(qū)間的下限值）稱之為屈服點(diǎn)應(yīng)力，用

σS來表示。

4647常用材料的力學(xué)性能

表面磨光的試件屈服時(shí)，表面將出現(xiàn)與軸線大致成450傾角的條紋(如圖所示)。這是由于材料內(nèi)部晶格之間相對滑動(dòng)而形成的，稱為滑移線。

屈服滑移線圖

材料屈服表現(xiàn)為顯著的塑性變形，而零件的塑性變形將影響機(jī)器的正常工作，所以屈服極限σS是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。

在應(yīng)力大于彈性極限后，如再解除拉力，則試件變形的一部分隨之消失，這就是上面提到的彈性變形。但還遺留下—部分不能消失的變形，這種變形稱為塑性變形或殘余變形。48(3)強(qiáng)化階段

過屈服階段后，材料又恢復(fù)了對變形的抵抗能力，要使其繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。在圖5.11中，強(qiáng)化階段中的最高點(diǎn)d所對應(yīng)的應(yīng)力是材料所能承受的最大應(yīng)力稱為抗拉強(qiáng)度，用σb表示。它是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。在強(qiáng)化階段中，試件的橫向尺寸有明顯的縮小。49(4)頸縮階段

過d點(diǎn)后，在試件的某一局部范圍內(nèi)，橫向尺寸突然急劇縮小，形成頸縮現(xiàn)象(圖5.11)。由于在頸縮部分橫截面面積迅速減小，使試件尺寸繼續(xù)伸長所需要的拉力也相應(yīng)減小。在σ－ε曲線中，用橫截面原始面積

計(jì)算出的應(yīng)力隨之下降，降到“e”點(diǎn)時(shí)，試件被拉斷。圖5.16頸縮現(xiàn)象50冷作硬化現(xiàn)象強(qiáng)化階段縮頸階段當(dāng)應(yīng)力處于強(qiáng)化階段時(shí)進(jìn)行卸載，曲線將回到O1點(diǎn)，而不是O點(diǎn)(此時(shí)材料被拉長了些)。如對材料再進(jìn)行加載，則畫出的數(shù)據(jù)點(diǎn)將沿O1點(diǎn)鈄直上升至f點(diǎn)，比例極限得到提高。51討論：1、請同學(xué)們舉個(gè)彈性變形的例子？2、請同學(xué)們舉個(gè)塑性變形的例子？3、請同學(xué)們舉個(gè)斷裂破壞的例子？52分析拉斷的試件:(1)伸長率

試件拉斷后，由于保留了塑性變形，試件長度由原來的L0變?yōu)長1。用百分比表示的比值

“δ”稱為伸長率。試件的塑性變形(L1—L)越大，δ也就越大。因此，伸長率是衡量材料塑性的指標(biāo)。低碳鋼的伸長率很高，其平均值約為20％－30％，這說明低碳鋼的塑性性能很好。

工程上通常按伸長率的大小把材料分成兩大類。δ>5%的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等，而把δ＜5％的材料稱為脆性材料，如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等。53分析拉斷的試件:(2)斷面收縮率

原始橫截面面積為A0的試件，拉斷后頸縮處的最小截面面積變?yōu)锳1，用百分比表示的比值:

“

ψ

”（讀Psi）稱為斷面收縮率。

也是衡量材料塑性的指標(biāo)。

低碳鋼的斷面收縮率

值約為60％－70％，故低碳鋼的塑性性能很好。542、低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能

請同學(xué)們自己看一下。應(yīng)力應(yīng)變圖的特殊性在于因其越壓越扁，變成冷作硬化了。P81圖5.1755

二、鑄鐵拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能P82圖5.19?？梢院唵螝w納為：1）鑄鐵無頸縮現(xiàn)象，塑性變形小，可近似滿足胡克定律

；2）鑄鐵承受壓力的能力是其拉伸時(shí)時(shí)的4~5倍。結(jié)論：鑄鐵的力學(xué)性能主要指標(biāo)是抗拉強(qiáng)度

。P82表5-2幾種常用工程材料的力學(xué)性能56

三、其它金屬材料的力學(xué)性能

P81圖5-18是錳鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵等的σ—ε曲線，這些都是塑性材料。它們的特點(diǎn)是：1）存在線性彈性階段。2）斷裂時(shí)有較大的塑性變形。3）有些材料沒有明顯的屈服階段，有些材料不存在頸縮現(xiàn)象。

對于這些沒有明顯頸縮現(xiàn)象的材料，按照國家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T10623—1989）規(guī)定，取對應(yīng)于試樣產(chǎn)生的0.2%的塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為材料的名義屈服點(diǎn)應(yīng)力，用σ0.2表示。(ε=ΔL/L)57

§5.7許用應(yīng)力與強(qiáng)度準(zhǔn)則

一、極限應(yīng)力

許用應(yīng)力

安全因數(shù)

使材料喪失工作能力（臨界狀態(tài)）的應(yīng)力，我們稱為極限應(yīng)力，用σ0表示。

使用材料應(yīng)考慮安全問題。因此，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)構(gòu)件在工作時(shí)所允許的最大工作應(yīng)力，我們稱之為許用應(yīng)力[σ]，并有公式：［σ］=極限應(yīng)力σ0

/安全因數(shù)n或［σ］=極限應(yīng)力σ0.2/安全因數(shù)n58［σ］=極限應(yīng)力σ0

/安全因數(shù)n或［σ］=極限應(yīng)力σ0.2/安全因數(shù)n注意：1、對于不同材料，σ0是不同的（塑性材料應(yīng)是σs；脆性材料應(yīng)是σb）。2、對于不同的材料，安全因素n也是不同的（塑性材料n=1.5~2.5；脆性材料n=2.0~3.5）。3、具體設(shè)計(jì)或使用材料時(shí)可看專門的標(biāo)準(zhǔn)。59

二、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件

為保證桿件正常工作，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即：（強(qiáng)度條件）解決三類強(qiáng)度問題的計(jì)算：1、強(qiáng)度校核FN/A≤［σ］2、設(shè)計(jì)截面尺寸A≥FN/［σ］3、確定許用載荷FN≤A［σ］60例1（類似圓規(guī)，但銷子上掛一重物G）已知：G=350KN，AC、BC是槽鋼，[σAC]=160MPa,[σBC]=100MPa,選兩桿的截面面積。解：1、研究對象：“C”點(diǎn)2、受力圖及計(jì)算∵AC、BC都是二力桿，且呈對稱分布，∑X=0，NBCcos300—NACcos300=0∴NAC=NBC方向如圖所示?！芛=0N