飛行管理數(shù)學(xué)建模

摘要近年來，隨著現(xiàn)代航空運(yùn)輸不斷發(fā)展，為了維護(hù)航空器的航空秩序，保證飛機(jī)飛行平安，對(duì)于同一區(qū)域的飛行管理問題提出了要求。本文探討了在肯定區(qū)域范圍內(nèi)飛機(jī)飛行管理的最優(yōu)化問題，通過建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算求解，對(duì)飛機(jī)是否發(fā)生碰撞沖突進(jìn)行預(yù)料，依據(jù)計(jì)算機(jī)求解結(jié)果對(duì)如何解脫沖突給出了較好的解決方法。對(duì)于飛機(jī)是否發(fā)生碰撞沖突問題，本文提出了基于飛機(jī)位置速度矢量關(guān)系的碰撞沖突檢測方案，證明白只有位置差與速度差矢量內(nèi)積小于零，即這樣的航跡才存在潛在碰撞沖突,并依據(jù)平安飛行間隔規(guī)定,采納線性預(yù)料方法對(duì)沖突進(jìn)行有效性確認(rèn),解決了飛機(jī)碰撞沖突檢測的同時(shí)也避開了碰撞虛警問題。在此基礎(chǔ)上，對(duì)于存在潛在碰撞沖突的飛行問題，運(yùn)用航向調(diào)整的方法解脫沖突，建立非線性數(shù)學(xué)模型通過引入新的決策變量、，將原來的非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型其中，。再運(yùn)用11編程求得該模型最優(yōu)解為，第3架飛機(jī)的調(diào)整角為，第6架飛機(jī)（新進(jìn)入的飛機(jī)）的調(diào)整角為，其余飛機(jī)不進(jìn)行調(diào)整，從而給出了沖突解決方案。之后，本文對(duì)計(jì)算結(jié)果做出了分析和評(píng)價(jià)，同時(shí)還分析了滯后時(shí)間和轉(zhuǎn)彎半徑和限定在區(qū)域范圍內(nèi)對(duì)飛機(jī)航向調(diào)整的影響，使問題更符合實(shí)際狀況。在對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與分析的同時(shí)，本文又對(duì)模型進(jìn)行了推廣，對(duì)速度不同、飛行高度不同的狀況下進(jìn)行了分析，并給出了合理的說明；增加了模型的實(shí)際應(yīng)用意義。關(guān)鍵詞：飛行管理碰撞沖突線性規(guī)劃一．問題重述本題主要分析了在同一高度，肯定范圍內(nèi)的飛行管理問題。在10000米高空、邊長為160公里的正方形區(qū)域內(nèi)最多有6架飛機(jī)做水平飛行，其中飛機(jī)以每小時(shí)800公里的速度勻速飛行。為了便于飛行管理，在每一架飛機(jī)剛剛進(jìn)入此飛行區(qū)域邊界時(shí)，飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，并馬上進(jìn)行計(jì)算和推斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的其它飛機(jī)發(fā)生潛在碰撞，假如存在碰撞危急，就應(yīng)當(dāng)計(jì)算如何調(diào)整各架飛機(jī)的飛行方向角度，以避開發(fā)生碰撞。因此，依據(jù)題目的條件和假設(shè)，對(duì)該避開碰撞的飛機(jī)管理問題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟并對(duì)已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。在保證進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí),與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離在60公里以上的同時(shí)，要求滿足飛機(jī)飛行的方向角度調(diào)整幅度不能超過30度，而且要盡量小。在該區(qū)域內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)如下：飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052最終，對(duì)建立的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和推廣。二．問題分析2.1、問題分析針對(duì)問題1，一架新飛機(jī)飛入飛行區(qū)域邊緣時(shí)，計(jì)算機(jī)進(jìn)行記錄其數(shù)據(jù)并進(jìn)行推斷該飛機(jī)是否和區(qū)域內(nèi)的其它飛機(jī)存在潛在碰撞危急，由此作出分析，若存；在相互碰撞危急就要對(duì)各架飛機(jī)的方向角進(jìn)行調(diào)整；否則維持原狀，不做任何變更。⑴對(duì)兩飛機(jī)間距離的理解在本題中，依據(jù)題目假設(shè)所給的條件即在平安飛行過程中隨意兩架飛機(jī)間的距離要在8公里之上，這個(gè)距離遠(yuǎn)大于飛機(jī)本身的尺寸大小，所以，在以后的問題求解過程中我們將飛機(jī)當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)看待。這樣，依據(jù)計(jì)算機(jī)記錄的數(shù)據(jù)可以知道每架飛機(jī)的坐標(biāo)，依據(jù)兩間距離公式即可得到兩飛機(jī)之間的距離。⑵對(duì)飛機(jī)方向角與調(diào)整角的理解依據(jù)題目得知，飛機(jī)的方向角即為飛機(jī)的飛行方向與x軸正向的夾角。對(duì)于兩架飛機(jī)、而言，要求飛機(jī)在飛行過程中相對(duì)速度的方向不能在飛機(jī)與飛機(jī)的碰撞角（即兩切線交角中指向圓心的那個(gè)角）范圍內(nèi)。由于調(diào)整角以兩飛機(jī)的連線為對(duì)稱軸，左右由正負(fù)之分，故以調(diào)整角的肯定值最為目標(biāo)函數(shù)。2.2、問題2分析針對(duì)問題2的論述，由于在2.1.2中提出的肯定值目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)，給求解帶來了麻煩，因此應(yīng)用變量代換的數(shù)學(xué)方法將其轉(zhuǎn)換成非線性函數(shù)，運(yùn)用、軟件編程，調(diào)用求解函數(shù)得出最優(yōu)調(diào)整方向角度。三．模型的基本假設(shè)1.新飛機(jī)進(jìn)入邊緣時(shí)，馬上做出計(jì)算，每架飛機(jī)依據(jù)計(jì)算機(jī)計(jì)算后的指示馬上作出方向角變更（有的飛機(jī)方向角可不變）。2.每架飛機(jī)在新飛機(jī)剛進(jìn)入到下一架飛機(jī)要進(jìn)入前整個(gè)過程中最多只變更一次方向角。3.忽視飛機(jī)轉(zhuǎn)向角度，即認(rèn)為飛機(jī)在接收到指令后馬上對(duì)方向進(jìn)行調(diào)整，且忽視調(diào)整時(shí)間。4.新飛機(jī)進(jìn)入該區(qū)域前,在區(qū)域中飛行的飛機(jī)方向已調(diào)合適，不會(huì)相撞。5.對(duì)方向角的相同調(diào)整量的滿足程度是一樣的，且方向角調(diào)整越少，滿足程度越高。6.飛機(jī)在平安飛行是兩兩之間的最短距離為8公里，此距離遠(yuǎn)大于機(jī)身尺寸，因此將飛機(jī)當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)看待，即假設(shè)兩飛機(jī)之間的距離為兩點(diǎn)之間的距離。7.最多考慮6架飛機(jī)。8.飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度。9.全部飛機(jī)勻速飛行，速度為。說明：⑴假設(shè)6中假設(shè)飛機(jī)為質(zhì)點(diǎn)是為了將問題簡化，忽視次要問題以便得出合理的結(jié)論。假設(shè)7中6架飛機(jī)的假設(shè)是足夠多的。以世界上最繁忙的國際航空港之一希思羅機(jī)場鄰近區(qū)域?yàn)槔?，因假設(shè)飛機(jī)在區(qū)域160×160作水平飛行，即知該區(qū)域內(nèi)無機(jī)場。設(shè)在希思羅機(jī)場起降的飛機(jī)有一半穿過該區(qū)域，希思羅機(jī)場起駕總架次為22.5萬次，則平均每小時(shí)有15架飛機(jī)穿過該區(qū)域。而一架飛機(jī)穿過該區(qū)域最多需小時(shí)，則任一時(shí)刻該區(qū)域上空飛機(jī)架數(shù)的期望值不超過架。另外事實(shí)上不同飛機(jī)的飛行高度是不同的，這就進(jìn)一步削減了該區(qū)域同一水平面上飛機(jī)的數(shù)目。以上探討雖然略顯粗略，但是足以證明架飛機(jī)的假設(shè)是合理的。⑵假設(shè)9中假定全部飛機(jī)飛行速度均為，是出于對(duì)問題的簡化。我們將在模型的推廣中給出飛機(jī)速度各不相同的方案。四.符號(hào)說明：第架飛機(jī)與第架飛機(jī)的碰撞角，即兩圓公切線交角中指向圓的那個(gè)角，規(guī)定；：第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度；：第架飛機(jī)與第架飛機(jī)間距；：第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的位置矢量與x軸的夾角：第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度與x軸的夾角。：第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度與兩架飛機(jī)圓心連線的交角，規(guī)定：以第架飛機(jī)為原點(diǎn)，連線從指向?yàn)檎较颍鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)；：第架飛機(jī)相對(duì)于直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的角（即方向角變更量），為代數(shù)量；：第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的變更量；：第架飛機(jī)的當(dāng)前位置矢量；：第架飛機(jī)的當(dāng)前速度矢量；：時(shí)間參數(shù);::五.模型的建立5.1預(yù)料是否存在碰撞危急⑴潛在碰撞危急檢測方案當(dāng)相對(duì)速度矢量與相對(duì)位置矢量的矢量內(nèi)積小于時(shí)，即從到夾角余弦值小于時(shí)，兩飛機(jī)存在潛在碰撞的危急，否則，無碰撞危急。詳細(xì)證明如下：對(duì)隨意兩架飛機(jī)，用位置矢量和速度矢量分別表示為：、，則經(jīng)時(shí)間后兩飛機(jī)的位置差為：（1）則（2）為了求得兩飛機(jī)相撞時(shí)刻，令：=得到（3）當(dāng)>0時(shí)，說明兩飛機(jī)具有潛在碰撞的危急，而當(dāng)<0時(shí)，則說明兩飛機(jī)處于分別狀態(tài)，沒有碰撞的可能。而>0，即時(shí)，兩飛機(jī)存在潛在碰撞沖突；反之，<0，即時(shí)，兩飛機(jī)處于分別狀態(tài)，無碰撞的可能。當(dāng)對(duì)新進(jìn)入飛機(jī)和區(qū)域內(nèi)每一個(gè)已經(jīng)飛行的飛機(jī)采納上述算法推斷時(shí)，其相對(duì)速度矢量和位置矢量滿足定理時(shí)，進(jìn)行如下確認(rèn)，否則認(rèn)為滿足平安飛行規(guī)則。當(dāng)新進(jìn)入飛機(jī)和區(qū)域內(nèi)正在飛行的飛機(jī)采納上述算法時(shí)，其相對(duì)速度矢量和位置矢量滿足以上條件時(shí)，進(jìn)行如下確認(rèn)，否則認(rèn)為滿足平安飛行要求。⑵碰撞沖突的確認(rèn)算法對(duì)檢測到具有潛在碰撞的飛機(jī)對(duì)，必需依據(jù)平安飛行間隔規(guī)定進(jìn)行確認(rèn)。飛行間隔規(guī)定的最小水平平安間隔就相當(dāng)于在每架飛機(jī)四周設(shè)置一個(gè)愛護(hù)區(qū)，當(dāng)某一架飛機(jī)愛護(hù)區(qū)內(nèi)有另外一架飛機(jī)進(jìn)入時(shí)，就會(huì)發(fā)生碰撞，因此定義愛護(hù)區(qū)為以飛機(jī)當(dāng)前位置為中心，最小水平間隔ρ（8）為半徑的圓形區(qū)域，即：其中，表示到航空器當(dāng)前位置的距離。假如,說明兩航空器已經(jīng)處于飛行間隔不允許的狀況,即告警狀態(tài),兩航空器已經(jīng)處于飛行間隔所禁止的狀況。反之，假如,說明兩航空器當(dāng)前沒有違反平安飛行間隔規(guī)定，但由兩飛機(jī)之間的飛行位置-速度矢量關(guān)系推斷，具有潛在的沖突可能，因此必需進(jìn)行下列預(yù)料和分析。⑶線性預(yù)料后的位置與平安間隔的關(guān)系對(duì)于當(dāng)前航空器對(duì)之間的距離大于平安間隔距離，處于平安狀況下的飛機(jī)對(duì)，進(jìn)行適當(dāng)時(shí)間T的線性預(yù)料，即依據(jù)飛機(jī)對(duì)當(dāng)前的飛行速度，預(yù)料飛機(jī)在將來一段時(shí)間內(nèi)位置信息與平安間隔的關(guān)系，推斷與之間的關(guān)系(依據(jù)本文定理,處于潛在沖突時(shí),故取模后用兩者之差)5.2建模方案⑴為了探討兩飛機(jī)相撞問題，采納相對(duì)速度作為探討對(duì)象，因?yàn)轱w機(jī)是否相撞的關(guān)鍵取決于相對(duì)速度的方向。⑵模型在分析碰撞問題中的運(yùn)用，如圖1示。88ivj圖1：分析碰撞模型示意圖⑶模型建立的函數(shù)與運(yùn)用方程Ⅰ線性規(guī)劃模型的建立依據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)在考察兩架飛機(jī)i和j的飛行時(shí)，可以將飛機(jī)i視為不動(dòng)而飛機(jī)j以相對(duì)速度（4）相對(duì)于飛機(jī)i運(yùn)動(dòng)，（4）式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕s可得:（5）不妨設(shè)，此時(shí)相對(duì)飛行方向角為，如圖1。由于兩架飛機(jī)的初始距離為,（6）則只要當(dāng)飛行方向角滿足（7）時(shí),兩架飛機(jī)不行能相撞（見圖1）。由于是飛行方向角，應(yīng)滿足，但是由給出的，留意到，，，，因此有（8）有可能超出，此時(shí)只需將式（7）修改為(9)即可，此時(shí)第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)不碰撞的條件就成為(10)或(11)這兩個(gè)條件均為線性的。這樣一來，各架飛機(jī)兩兩不碰撞條件也是關(guān)于的線性不等式，這個(gè)問題就可劃為線性規(guī)劃問題。Ⅱ目標(biāo)函數(shù)的建立依據(jù)的含義，可計(jì)算出-(12)因此，第i架飛機(jī)與第j架飛機(jī)不碰撞的條件可表示為(13)為保證飛機(jī)的平安飛行并且考慮乘客乘坐的舒適度，因此，決策目的是使區(qū)域內(nèi)全部飛機(jī)的偏轉(zhuǎn)角肯定值之和最小，在忽視計(jì)算時(shí)間和轉(zhuǎn)向時(shí)間的狀況下，可得目標(biāo)函數(shù)如下：，(14)Ⅲ目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化為將上述非線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性目標(biāo)函數(shù)，引入新的決策變量、，令,,(15)依據(jù)題中規(guī)定，方向角變更量在范圍內(nèi)，即(16)；(17)(18)(19)因此，將(15)式代入(14)式可得線性目標(biāo)函數(shù)(20)Ⅳ目標(biāo)函數(shù)與約束條件(21),(22)(23)六.模型求解計(jì)算步驟：1.記錄各飛機(jī)狀態(tài)：位置（坐標(biāo)）與速度大小和方向角。2.用求解出第架飛機(jī)與第架飛機(jī)的碰撞角，(24)(25)求解的程序以“”為文件名保存，詳細(xì)程序見附件（1）。=00.09410.56250.08890.36590.0390000.08380.11540.10140.06660000.07620.39850.037100000.07920.0522000000.04030000003.依據(jù)公式（12）用求解出第架飛機(jī)相對(duì)于第架飛機(jī)的速度的夾角，其中位置矢量與橫坐標(biāo)的夾角為分段函數(shù)，如下：(26)求解的程序以“”為文件名保存，詳細(xì)程序見附件(2)。=0-1.31310.82470.34352.94200.17414.970104.7321-0.73734.67220.15710.8247-1.551100.2178-1.02600.00540.3435-0.73730.217800.1042-0.0615-3.3412-1.61105.25720.104200.03340.17410.15710.0054-0.06150.033404.調(diào)用程序(,2*)，將轉(zhuǎn)換成在范圍內(nèi)的正數(shù)角，其弧度值為：=04.97010.82470.34352.94200.17414.970104.73215.54594.67220.15710.82474.732100.21785.25720.00540.34355.54590.217800.10426.22172.94204.67225.25720.104200.03340.17410.15710.00546.22170.033405.建立線性規(guī)劃模型,用11進(jìn)行求解（程序見附件1）。將以上求得的的結(jié)果輸入程序1995A中的的值，經(jīng)計(jì)算求得結(jié)果如下：.:0.634000001:0.000000:2A(1)0.0000000.000000A(2)0.0000000.000000A(3)0.0000000.000000A(4)0.0000000.000000A(5)0.0000000.000000A(6)0.0000000.000000(1)0.0000001.000000(2)0.0000001.000000(3)0.4960000010.000000(4)0.0000001.000000(5)0.0000001.000000(6)0.1380000010.000000(1)0.0000001.000000(2)0.0000001.000000(3)0.0000002.000000(4)0.0000001.000000(5)0.0000001.000000(6)0.0000002.000000結(jié)果顯示第3架飛機(jī)的調(diào)整角為（0.0496），第6架飛機(jī)（新進(jìn)入的飛機(jī)）的調(diào)整角為（0.0138），最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為（0.0634）七.結(jié)果分析1、結(jié)果的實(shí)際價(jià)值在六中目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果顯示，并依據(jù)題目方向角誤差小于0.01度的要求，可知，第3架飛機(jī)的調(diào)整角為，第6架飛機(jī)的調(diào)整角為，其余各架飛機(jī)不許進(jìn)行調(diào)整。依據(jù)結(jié)果分析可知調(diào)整的飛機(jī)數(shù)目與角度均與實(shí)際狀況吻合。加之，在實(shí)際狀況中飛機(jī)的飛行高度、速度等條件均可變更，故該模型的計(jì)算結(jié)果符合實(shí)際狀況。依據(jù)計(jì)算軟件顯示，運(yùn)用該模型求解結(jié)果用時(shí)極短，并且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度也愈來愈快，故運(yùn)用該模型可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)限制。2、誤差分析⑴模型建立中的誤差考察模型假設(shè)可知假設(shè)3帶來肯定誤差,簡潔分析后可知考慮轉(zhuǎn)彎半徑使飛行軌跡在垂直飛行方向上產(chǎn)生一個(gè)偏差X(27)其中R為轉(zhuǎn)彎半徑，為轉(zhuǎn)角。對(duì)最小轉(zhuǎn)彎半徑小于10公里的中小型飛機(jī)，轉(zhuǎn)角小于15度時(shí)偏差公里對(duì)最小轉(zhuǎn)彎半徑約為40公里的大型飛機(jī)，轉(zhuǎn)角小于8度時(shí)偏差公里兩種狀況下偏差均小于相撞條件8公里的5%，可以忽視不計(jì)。由于飛行管理中讓一架飛機(jī)做大于8度的轉(zhuǎn)向是較少發(fā)生的事兒（），故該處假設(shè)可以認(rèn)為是合理的。下面給動(dòng)身生極端情形時(shí)的一個(gè)對(duì)策：設(shè)一架大型飛機(jī)做30度的轉(zhuǎn)彎,此時(shí)偏差公里不行忽視。在飛機(jī)起先轉(zhuǎn)彎后（轉(zhuǎn)彎過程約需1.6分鐘）地面限制站的計(jì)算機(jī)可算出一條曲率到處大于的偏轉(zhuǎn)線，以此曲線引導(dǎo)飛機(jī)飛回偏轉(zhuǎn)線。這種局部調(diào)整法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡潔，不對(duì)全局的調(diào)整角度方案產(chǎn)生影響，適用于這種小概率事務(wù)。⑵計(jì)算過程中的誤差僅來源于機(jī)器的截?cái)嗾`差，對(duì)于最終結(jié)果沒有重大影響。⑶輸入誤差對(duì)結(jié)果影響通過對(duì)輸入數(shù)據(jù)給以小的擾動(dòng)，經(jīng)大量計(jì)算可得如下定性結(jié)果:Ⅰ.飛機(jī)位置有小的擾動(dòng)對(duì)結(jié)果影響甚微，擾動(dòng)增大時(shí)影響明顯。Ⅱ.飛機(jī)方向角的擾動(dòng)對(duì)結(jié)果影響顯著，擾動(dòng)大小與結(jié)果變更幅度基本是在一個(gè)數(shù)量級(jí)上。以上結(jié)果說明為保證結(jié)果的精確性應(yīng)盡量減小對(duì)飛機(jī)方向角測量的誤差,同時(shí)對(duì)飛機(jī)位置測量的誤差也應(yīng)限制在肯定范圍以內(nèi)。該模型未考慮區(qū)域限制帶來的偏角誤差。八.模型的與改進(jìn)依據(jù)實(shí)際狀況，在同一區(qū)域飛行的飛機(jī)飛行速度完全相同，而且全部勻速飛行的狀況，在實(shí)際中屬于特別狀況，因此本題給出的條件可以看作志向條件。然而上述計(jì)算結(jié)果對(duì)現(xiàn)實(shí)仍具有指導(dǎo)意義，下面我們將從飛機(jī)的飛行速度不同和飛行高度不同兩種狀況對(duì)模型進(jìn)行推廣。1、飛行速度不同針對(duì)速度不同但速度保持不變的狀況，上述的推導(dǎo)方法已不完全適用，尤其是對(duì)于（5）式的推到方法已經(jīng)不適用，為此我們給出了新的計(jì)算方法，如下：第架飛機(jī)的速度矢量以復(fù)數(shù)形式表示為(28)相對(duì)速度(29)則有(30)即(31)依據(jù)上述推到結(jié)果并結(jié)合圖1，不難得出兩飛機(jī)持續(xù)滿足最小平安間隔的充要條件為：若，則需變更以實(shí)現(xiàn)沖突規(guī)避。在中計(jì)算出來后，依據(jù)該模型，可計(jì)算出飛機(jī)偏轉(zhuǎn)角最小的最優(yōu)解。2、飛行高度不同在實(shí)際狀況中，依據(jù)飛機(jī)航道設(shè)計(jì)的不同，在同一區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)可以在不同的高度進(jìn)行飛行。這樣一來，就使得同一區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)數(shù)量削減，同時(shí)也給飛機(jī)變更速度和變更方向供應(yīng)了更廣袤的空間，因此可以給飛機(jī)的平安飛行供應(yīng)更多的實(shí)現(xiàn)方式，給飛行管理供應(yīng)了更多的可行方案，更易于飛行管理的實(shí)現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[1]王運(yùn)鋒、賀文紅、劉健波，基于航空器位置速度矢量關(guān)系的短期沖突檢測算法，四川高校學(xué)報(bào)（工程科學(xué)版），2009年9月，第41卷第5期：136~141[2]牟奇峰，空中交通管理中的防撞策略問題探究：38~39[3]譚永基、蔡志杰、俞文，數(shù)學(xué)建模，上海：復(fù)旦高校出版社，2005，62~63[4]譚浩南、朱正光、劉劍，飛行管理問題的實(shí)時(shí)計(jì)算，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與相識(shí)，1996年，第26卷第1期：17附件：（1）[]1995()8;(x);()11L()((x(i)(j))^2+(y(i)(j))^2);()((i,j));備注：程序中是論文中角。（2） [A]5()1:6(i)(1);1:61:6Y(j)(i)>0X(j)(i)>0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));X(j)(i)<0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()();X(j)(i)0()2;Y(j)(i)<0X(j)(i)>0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()()+2*;X(j)(i)<0()((Y(j)(i))/(X(j)(i)));()();X(j)(i)0()=3*2;(6,6);1:61:6(i)>(j)()()*180;A()=90+((i)(j))/2();(i)<(j)()()*180;A()=((i)(j))/2()-90;A()(A(),360);A()()*180;備注：矩陣A為第架飛機(jī)與第架飛機(jī)的相對(duì)速度與位置矢量之間的夾角，論文中記為（3）::1..6;1/1..6/:;(1