高二數(shù)列求和常見(jiàn)方法素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試（原卷版）

高二數(shù)列求和常見(jiàn)方法素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知數(shù)列滿足：.則的前60項(xiàng)的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．999 B．749 C．499 D．2493．如圖，在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且，，的前項(xiàng)之和為，則（

）A． B． C． D．4．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和是（

）A．110 B．100 C．90 D．806．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（

）A．1346 B．673 C．1347 D．13487．已知數(shù)列中，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式．所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，數(shù)列1，3，6，10被稱(chēng)為二階等差數(shù)列．已知數(shù)列，，，且，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．?dāng)?shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和D．10．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中確的是（

）A． B．()為等差數(shù)列C． D．11．利用“”可得到許多與n（且）有關(guān)的結(jié)論，則正確的是（

）A． B．C． D．12．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……..”.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上的一道數(shù)列題，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..記大衍數(shù)列為，則下列命題正確的是（

）A．B．C．D．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知在數(shù)列中，，且，設(shè)，若，則正整數(shù)m的最大值為_(kāi)_____.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______________.15．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.從第1行開(kāi)始，第行從左至右的數(shù)字之和記為，如：為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和________________.16．在正項(xiàng)數(shù)列中，，，記.整數(shù)m滿足，則數(shù)列的前m項(xiàng)和為_(kāi)_____.四、解答題17．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，將數(shù)列與中的項(xiàng)合并在一起，按從小到大的順序重新排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前50項(xiàng)的和．18．已知數(shù)列是公差d不等于0的等差數(shù)列，且是等比數(shù)列，其中．(1)求的值．(2)若，證明：．19．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求實(shí)數(shù)的值．(2)北宋數(shù)學(xué)家沈括對(duì)于上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共有n層的堆積物（堆積方式如圖），提出可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”．試證明上述求和公式．20．已知各項(xiàng)均為不為零的數(shù)列滿足，前項(xiàng)的和為，且，數(shù)列滿足.(1)求；(2)已知等式對(duì)成立，請(qǐng)用該結(jié)論求有窮數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知數(shù)列：1，，，3，3，3，，，，，，，即當(dāng)（）時(shí)，，記（）.(1)求的值；(2)求當(dāng)（），試用、的代