2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習習題：第七章第4節(jié)　合情推理與演繹推理

第4節(jié)合情推理與演繹推理考綱要求1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．知識梳理1．合情推理類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的全部對象都具有這種性質(zhì)的推理由部分到整體、由個別到一般類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性，推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由特殊到特殊2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷．1．合情推理包括歸納推理和類比推理，其結(jié)論是猜想，不一定正確，若要確定其正確性，則需要證明．2．在進行類比推理時，要從本質(zhì)上去類比，只從一點表面現(xiàn)象去類比，就會犯機械類比的錯誤．3．應(yīng)用三段論解決問題時，要明確什么是大前提、小前提，如果前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．若大前提或小前提錯誤，盡管推理形式是正確的，但所得結(jié)論是錯誤的．診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)類比推理的結(jié)論不一定正確．(3)平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適．(4)演繹推理是在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．2．如圖，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，得a表示的數(shù)是()A．12 B．48 C．60 D．144答案D解析由題干圖中的數(shù)據(jù)可知，每行除首末兩數(shù)外，其他數(shù)等于其上一行兩肩上的數(shù)字的乘積．所以a＝12×12＝144.3．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________．答案b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)解析根據(jù)類比推理的特點可知：等比數(shù)列和等差數(shù)列類比，在等差數(shù)列中是和，在等比數(shù)列中是積，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)．4．(2020·貴陽一模)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點，因為f(x)＝x3在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值為0，所以x＝0是f(x)＝x3的極值點，以上推理()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．結(jié)論正確答案A解析大前提是“對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點”，不是真命題，因為對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果f′(x0)＝0，且滿足在x0附近左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值異號，那么x＝x0才是函數(shù)f(x)的極值點，所以大前提錯誤．故選A.5．(2021·鄭州質(zhì)檢)某學校甲、乙、丙、丁四人競選校學生會主席職位，在競選結(jié)果出來前，甲、乙、丙、丁四人對競選結(jié)果做了如下預(yù)測：甲說：丙或丁競選成功；乙說：甲和丁均未競選上；丙說：丁競選成功；丁說：丙競選成功．若這四人中有且只有兩人預(yù)測的正確，則成功競選學生會主席職位的是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案D解析若成功競選的是甲，則甲、乙、丙、丁四人的預(yù)測均錯誤，故不合題意；若成功競選的是乙，則甲、丙、丁三人的預(yù)測錯誤，乙的預(yù)測正確，故不合題意；若成功競選的是丙，則甲、乙、丁三人的預(yù)測正確，丙的預(yù)測錯誤，故不合題意；若成功競選的是丁，則甲、丙兩人的預(yù)測正確，乙、丁兩人的預(yù)測錯誤，符合題意．故選D.6．(2020·桂林模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝f(2)＝1，且對任意n∈N*恒有f(n＋2)＝f(n＋1)＋f(n)，觀察下列等式：f(1)＋f(2)＝2＝3－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1，可推測f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝________.答案f(n＋3)－1解析根據(jù)題意可得f(3)＝2，f(4)＝3，f(5)＝5，f(6)＝8，f(7)＝13，因為f(1)＋f(2)＝2＝3－1＝f(4)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＝4＝5－1＝f(5)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝7＝8－1＝f(6)－1，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝12＝13－1＝f(7)－1，可推測f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n＋1)＝f(n＋3)－1.故答案為f(n＋3)－1.考點一歸納推理角度1與圖形變化有關(guān)的推理【例1】中國有句名言“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如圖，當表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位數(shù)用橫式表示，以此類推．例如6613用算籌表示就是，則8335用算籌可表示為()答案B解析各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位數(shù)用橫式表示，則8335用算籌可表示為.故選B.角度2與數(shù)字或式子有關(guān)的推理【例2】已知eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))，……，eq\r(3,2021＋\f(m,k))＝2021eq\r(3,\f(m,k))，則eq\f(k＋1,m2)＝________.答案2021解析由已知eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))，……，可歸納出eq\r(3,n＋\f(n,n3－1))＝neq\r(3,\f(n,n3－1))，又因為eq\r(3,2021＋\f(m,k))＝2021eq\r(3,\f(m,k))，所以m＝2021，k＝20213－1，所以eq\f(k＋1,m2)＝eq\f(20213－1＋1,20212)＝2021.感悟升華歸納推理問題的常見類型及解題策略常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解與式子有關(guān)的推理觀察每個式子的特點，找到規(guī)律后可解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡浴居柧?】(1)分形理論是當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科．其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形．分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程．標準的自相似分形是數(shù)學上的抽象，迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu)．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當n＝6時，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個數(shù)為()A．81 B．121 C．364 D．1093(2)觀察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))－2＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))－2＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,7)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(6π,7)))－2＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)))－2＝eq\f(4,3)×4×5；……照此規(guī)律，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))－2＝________.答案(1)C(2)eq\f(4nn＋1,3)解析(1)由圖可知，每一個圖形中去掉小三角形的個數(shù)等于前一個圖形去掉小三角形個數(shù)的3倍加1，所以，n＝1時，a1＝1；n＝2時，a2＝3＋1＝4；n＝3時，a3＝3×4＋1＝13；n＝4時，a4＝3×13＋1＝40；n＝5時，a5＝3×40＋1＝121；n＝6時，a6＝3×121＋1＝364，故選C.(2)觀察前4個等式，由歸納推理可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))－2＝eq\f(4,3)×n×(n＋1)＝eq\f(4nn＋1,3).考點二類比推理【例3】(1)在平面上，設(shè)ha，hb，hc是△ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＝1.把它類比到空間中，則三棱錐中的類似結(jié)論為________．(2)已知命題：在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)，△ABC的頂點B在橢圓上，頂點A，C分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為e1，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(1,e1)，現(xiàn)將該命題類比到雙曲線中，△ABC的頂點B在雙曲線上，頂點A，C分別為雙曲線的左、右焦點，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，雙曲線的離心率為e2，則有________．答案(1)eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1(2)eq\f(|sinA－sinC|,sinB)＝eq\f(1,e2)解析(1)設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個面上的高，P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＋eq\f(Pd,hd)＝1.(2)因為△ABC的頂點B在雙曲線eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)上，頂點A，C分別是雙曲線的左、右焦點，所以有|BA－BC|＝2a2，所以eq\f(1,e2)＝eq\f(2a2,2c2)＝eq\f(|BA－BC|,AC)，由正弦定理可得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以eq\f(|sinA－sinC|,sinB)＝eq\f(1,e2).感悟升華1.進行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行類比，提出猜想．其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵．2．類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)的運算與向量的運算類比；圓錐曲線間的類比等.【訓練2】(2020·贛州一模)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量．在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－2,3)且法向量為n＝(4，－1)的直線(點法式)方程為4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化簡得4x－y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點B(2,3,4)且法向量為n＝(－1，－2，1)的平面(點法式)方程為________．答案x＋2y－z－4＝0解析將平面中的運算類比到空間中的運算得：經(jīng)過點B(2,3,4)且法向量為n＝(－1，－2,1)的平面(點法式)方程為(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化簡得x＋2y－z－4＝0，即平面的方程為x＋2y－z－4＝0.考點三演繹推理【例4】(2020·河南六校聯(lián)考)自主招生聯(lián)盟成形于2009年清華大學等五校聯(lián)考，主要包括“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟．調(diào)查某高中學校學生自主招生報考的情況，得到如下結(jié)果：①報考“北約”聯(lián)盟的學生，都沒報考“華約”聯(lián)盟；②報考“華約”聯(lián)盟的學生，也報考了“京派”聯(lián)盟；③報考“卓越”聯(lián)盟的學生，都沒報考“京派”聯(lián)盟；④不報考“卓越”聯(lián)盟的學生，就報考“華約”聯(lián)盟．根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，下列結(jié)論錯誤的是()A．沒有同時報考“華約”和“卓越”聯(lián)盟的學生B．報考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣多C．報考“北約”聯(lián)盟的考生也報考了“卓越”聯(lián)盟D．報考“京派”聯(lián)盟的考生也報考了“北約”聯(lián)盟答案D解析設(shè)該校報考“北約”聯(lián)盟，“華約”聯(lián)盟，“京派”聯(lián)盟和“卓越”聯(lián)盟的學生分別為集合A，B，C，D，報考自主招生的總學生為U，則由題意，知A∩B＝?，B?C，D∩C＝?，?UD＝B，∴A?D，B＝C，B∩D＝?.選項A，B∩D＝?，正確；選項B，B＝C，正確；選項C，A?D，正確，故選D.感悟升華解決邏輯推理問題的兩種方法：(1)假設(shè)反證法：先假設(shè)題中給出的某種情況是正確的，并以此為起點進行推理．如果推理導(dǎo)致矛盾，則證明此假設(shè)是錯誤的，再重新提出一個假設(shè)繼續(xù)推理，直到得到符合要求的結(jié)論為止．(2)枚舉篩選法：即不重復(fù)、不遺漏地將問題中的有限情況一一枚舉，然后對各種情況逐個檢驗，排除一些不可能的情況，逐步歸納梳理，找到正確答案．【訓練3】(1)(2019·全國Ⅱ卷)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為()A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙(2)某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：(ⅰ)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；(ⅱ)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；(ⅲ)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4，則女學生人數(shù)的最大值為________．②該小組人數(shù)的最小值為________．答案(1)A(2)①6②12解析(1)由于三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，故若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯誤，于是三人按成績由高到低的次序為甲、乙、丙；若甲預(yù)測錯誤，則甲、乙按成績由高到低的次序為乙、甲，又假設(shè)丙預(yù)測正確，則乙、丙按成績由高到低的次序為丙、乙，于是甲、乙、丙按成績由高到低排序為丙、乙、甲，從而乙的預(yù)測也正確，與事實矛盾；若甲、丙預(yù)測錯誤，則可推出乙的預(yù)測也錯誤．綜上所述，三人按成績由高到低的次序為甲、乙、丙．故選A.(2)設(shè)男學生人數(shù)為x，女學生人數(shù)為y，教師人數(shù)為z，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>y，,y>z，,2z>x，))且x，y，z均為正整數(shù)．①當z＝4時，8>x>y>4，∴x的最大值為7，y的最大值為6，故女學生人數(shù)的最大值為6.②x>y>z>eq\f(x,2)，當x＝3時，條件不成立，當x＝4時，條件不成立，當x＝5時，5>y>z>eq\f(5,2)，此時z＝3，y＝4.∴該小組人數(shù)的最小值為12.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1答案C解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.2．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)答案D解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．3．(2020·合肥一模)2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”“國富民強”“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復(fù)如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的．若三人的說法有且僅有一個是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是()A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明答案B解析依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足．故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選B.4．(2021·安徽六校測試)如圖，第1個圖形由正三角形擴展而成，共12個頂點．第n個圖形由正n＋2邊形擴展而來，其中n∈N*，則第n個圖形的頂點個數(shù)是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析(1)由已知中的圖形可以得到：當n＝1時，圖形的頂點個數(shù)為12＝3×4，當n＝2時，圖形的頂點個數(shù)為20＝4×5，當n＝3時，圖形的頂點個數(shù)為30＝5×6，當n＝4時，圖形的頂點個數(shù)為42＝6×7，……由此可以推斷：第n個圖形的頂點個數(shù)為(n＋2)(n＋3)，故選D.5．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列{an}的前n項和Sn的表達式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面積S＝πabD．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列{an}的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.6．“對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提錯誤C．小前提錯誤 D．推理形式錯誤答案C解析本命題的小前提是f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，但是這個小前提是錯誤的，因為f(x)＝log2|x|不是對數(shù)函數(shù)，它是一個復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是對數(shù)函數(shù)．故選C.7．若等差數(shù)列{an}的前n項之和為Sn，則一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．若等比數(shù)列{bn}的前n項之積為Tn，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，則有()A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)－bnC．T2n－1＝(2n－1)bn D．T2n－1＝beq\o\al(2n－1,n)答案D解析在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，a2＋a2n－2＝2an，…，故有S2n－1＝(2n－1)an，在等比數(shù)列{bn}中，b1b2n－1＝beq\o\al(2,n)，b2·b2n－2＝beq\o\al(2,n)，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).8．(2020·昆明質(zhì)檢)斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列{an}定義為：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1，斐波那契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合，如根據(jù)an＋2＝an＋an＋1可得an＝an＋2－an＋1，所以a1＋a2＋…＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，類比這一方法，可得aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,10)＝()A．714 B．1870 C．4895 D．4896答案C解析將an＋1＝an＋2－an兩邊同乘an＋1，可得aeq\o\al(2,n＋1)＝an＋2an＋1－an＋1an，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,10)＝aeq\o\al(2,1)＋(a2a3－a2a1)＋(a3a4－a2a3)＋…＋(a10a11－a9a10)＝1－a2a1＋a10a11＝1－1＋55×89＝4895.故選C.二、填空題9．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20202)<________.答案eq\f(4039,2020)解析由題意得，不等式右邊分數(shù)的分母是左邊最后一個分數(shù)的分母的底數(shù)，分子是一個以3為首項，2為公差的等差數(shù)列中的項，可以推出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20202)<eq\f(2020×2－1,2020)＝eq\f(4039,2020).10．某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為________．答案55解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，從第三項起，每一項都等于前兩項的和，則第6年為8，第7年為13，第8年為21，第9年為34，第10年為55.11．若P0(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)外，過P0作橢圓的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么對于雙曲線，則有如下命題：若P(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是________．答案eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1解析類比橢圓的切點弦方程可得雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的切點弦方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.12．如下分組的正整數(shù)對：第1組為{(1,2)，(2,1)}，第2組為{(1,3)，(3,1)}，第3組為{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4組為{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，……，則第40組的第21個數(shù)對為________．答案(22,20)解析由題意可得第1組數(shù)對中的各數(shù)的和為3，第2組數(shù)對中各數(shù)的和為4，第3組數(shù)對中各數(shù)的和為5，第4組數(shù)對中各數(shù)的和為6，……第n組數(shù)對中各數(shù)的和為n＋2，且各個數(shù)對中無重復(fù)數(shù)字，可得第40組數(shù)對中各數(shù)的和為42，則第40組的第21個數(shù)對為(22,20)．B級能力提升13．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推．已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立70周年時為()A．“丙酉”年 B．“戊申”年C．“己申”年 D．“己亥”年答案D解析中華人民共和國成立70周年時為2019年，從1949到2019共有71個數(shù)，若把天干排成一列，記為{an}，且a1＝“己”，則a71＝a7×10＋1＝a1＝“己”；若把地支排成一列，記為{bn}，且b1＝“丑”，則b71＝b5×12＋11＝b11＝“亥”．所以中華人民共和國成立70周年時為“己亥”年，故選D.14．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”代表無數(shù)次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1＋eq\f(1,x)＝x求得x＝eq\f(\r(5)＋1,2).類比上述過程，eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝()A．3 B．eq\f(\r(13)＋1,2) C．6 D．2eq\r(2)答案A解析由已知代數(shù)式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解(舍去負根)，令eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝m(m>0)，則兩邊平方得，3＋2eq\r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝m2，即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．