《一次函數(shù)》經(jīng)典例題解析

PAGE21《一次函數(shù)》經(jīng)典例題解析類型一：正比例函數(shù)與一次函數(shù)定義

1、當m為何值時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？

思路點撥：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．

解：∵函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)，

∴∴m=-2.

∴當m=-2時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)．

舉一反三：

【變式1】如果函數(shù)是正比例函數(shù)，那么（）.

A．m=2或m=0B．m=2C．m=0D．m=1

【答案】：考慮到x的指數(shù)為1，正比例系數(shù)k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，選C

【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當x=4時，求y的值；

（3）當y=4時，求x的值．

解析：（1）由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx．

把x=2，y=7代入y-3=kx中，得

7-3＝2k，

∴k＝2．

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+3．

（2）當x=4時，y=2×4+3=11．

（3）當y＝4時，4=2x+3，∴x=.

類型二：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

2、求圖象經(jīng)過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達式．

思路點撥：圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達式的一次項系數(shù)為2，則可設(shè)此表達式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可．

解析：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達式為y=2x+b，

∵圖象經(jīng)過點（2，-1），

∴-l=2×2+b．

∴b=-5，

∴所求一次函數(shù)的表達式為y=2x-5.

總結(jié)升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。

舉一反三：

【變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內(nèi)是所掛重物的質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，現(xiàn)已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函數(shù)的表達式．

分析:題中并沒給出一次函數(shù)的表達式，因此應先設(shè)一次函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2．求出k，b即可．

解：設(shè)這個一次函數(shù)的表達式為y=kx+b．

由題意可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2.

把它們代入y=kx+b中得

∴

∴這個一次函數(shù)的表達式為y=0.3x+6．

【變式2】已知直線y=2x+1．

（1）求已知直線與y軸交點M的坐標；

（2）若直線y=kx+b與已知直線關(guān)于y軸對稱，求k，b的值．

解析：

∵直線y=kx+b與y=2x+l關(guān)于y軸對稱，

∴兩直線上的點關(guān)于y軸對稱．

又∵直線y＝2x+1與x軸、y軸的交點分別為A（-，0），B（0，1）,

∴A（-，0），B（0，1）關(guān)于y軸的對稱點為A′（，0），B′（0，1）．

∴直線y=kx+b必經(jīng)過點A′（，0），B′（0，1）．

把A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得

∴

∴k＝-2，b＝1．

所以（1）點M（0，1）（2）k=-2,b=1

【變式3】判斷三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上．

分析：由于兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經(jīng)過這兩點的函數(shù)表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．

解：設(shè)過A，B兩點的直線的表達式為y=kx+b．

由題意可知，

∴

∴過A，B兩點的直線的表達式為y=x-2．

∴當x=4時，y=4-2=2．

∴點C（4，2）在直線y=x-2上．

∴三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上．

類型三：函數(shù)圖象的應用

3、圖中的圖象（折線ABCDE）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)汽車共行駛了___________km；

(2)汽車在行駛途中停留了___________h；

(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為___________km/h；

(4)汽車自出發(fā)后3h至4.5h之間行駛的方向是___________.

思路點撥：讀懂圖象所表達的信息，弄懂并熟悉圖象語言.圖中給出的信息反映了行駛過程中時間和汽車位置的變化過程，橫軸代表行駛時間，縱軸代表汽車的位置.圖象上的最高點就是汽車離出發(fā)點最遠的距離.汽車來回一次，共行駛了120×2=240(千米)，整個過程用時4.5小時，平均速度為240÷4.5=(千米/時)，行駛途中1.5時—2時之間汽車沒有行駛.

解析：(1)240；(2)0.5；(3)；(4)從目的地返回出發(fā)點.

總結(jié)升華：這類題是課本例題的變式，來源于生活，貼近實際，是中考中常見題型，應注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區(qū)別.本題圖象上點的縱坐標表示的是汽車離出發(fā)地的距離，橫坐標表示汽車的行駛時間.

舉一反三：

【變式1】圖中，射線l甲、l乙分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系，求它們行進的速度關(guān)系。

解析：比較相同時間內(nèi)，路程s的大小.在橫軸的正方向上任取一點,過該點作縱軸的平行線,比較該平行線與兩直線的交點的縱坐標的大小.所以.甲比乙快

【變式2】小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點A，再走下坡路到達點B，最后走平路到達學校，所用的時間與路程的關(guān)系如圖所示。放學后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那么他從學校到家需要的時間是()

A.14分鐘B.17分鐘C.18分鐘D.20分鐘

【答案】:D分析：由圖象可知，上坡速度為80米/分；下坡速度為200米/分；走平路速度為100米/分。原路返回，走平路需要8分鐘，上坡路需要10分鐘，下坡路需要2分鐘，一共20分鐘。

【變式3】某種洗衣機在洗滌衣服時,經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示：

根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升.

①求排水時y與x之間的關(guān)系式；

②如果排水時間為2分鐘，求排水結(jié)束時洗衣機中剩下的水量.

分析：依題意解讀圖象可知：從0—4分鐘在進水，4—15分鐘在清洗，此時，洗衣機內(nèi)有水40升，15分鐘后開始放水.

解：（1）洗衣機的進水時間是4分鐘；清洗時洗衣機中的水量是40升；

（2）①排水時y與x之間的關(guān)系式為：y=40-19(x-15)

即y=-19x+325

②如果排水時間為2分鐘，則x-15=2即x=17，此時，y=40-19×2=2.

所以，排水結(jié)束時洗衣機中剩下的水量為2升.

類型四：一次函數(shù)的性質(zhì)

4、己知一次函數(shù)y=kx十b的圖象交x軸于點A（一6，0），交y軸于點B，且△AOB的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．思路點撥：設(shè)函數(shù)的圖象與y軸交于點B（0，b），則OB=,由△AOB的面積，可求出b，又由點A在直線上，可求出k并由函數(shù)的性質(zhì)確定k的取值．

解析：直線y=kx十b與y軸交于點B（0，b），點A在直線上，則①，

由，即，解得代入①，可得，

由于y隨x的增大而增大，則k＞0,取則．

總結(jié)升華：該題考查的是待定系數(shù)法和函數(shù)值，仔細觀察所畫圖象，找出隱含條件。

舉一反三：

【變式1】已知關(guān)于x的一次函數(shù)．

（1）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點?

（2）m為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，－2）?

（3）m為何值時，函數(shù)的圖象和直線y=－x平行?

（4）m為何值時，y隨x的增大而減??？

解析：

（1）由題意，m需滿足，

故m=－3時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；

（2）由題意得：m需滿足，

故時，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，－2）；

（3）由題意，m需滿足，

故m=4時，函數(shù)的圖象平行于直線y=－x；

（4）當3－m＜0時，即m＞3時，y隨x的增大而減?。?/p>

【變式2】若直線（）不經(jīng)過第一象限，則k、b的取值范圍是______，______．

【答案】：(k<0；b≤0)；分析：直線不經(jīng)過第一象限，有可能是經(jīng)過二、四象限或經(jīng)過二、三、四象限，注意不要漏掉經(jīng)過原點的情況。

【變式3】直線l1：與直線l2：在同一坐標系中的大致位置是（）．

A．B．C．D．

【答案】：C；分析：對于A，從l1看k＜0，b＜0，從l2看b＜0，k＞0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉A。對于B，從l1看k＞0，b＜0，從l2看b＞0，k＞0，所以k，b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同樣是矛盾的，只有C答案才符合要求。

【變式4】函數(shù)在直角坐標系中的圖象可能是（）．

【答案】：B；分析：不論k為正還是為負，都大于0，圖象應該交于x軸上方。故選B

類型五：一次函數(shù)綜合

5、已知：如圖，平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），過點C的直線繞C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點D，交線段AB于點E。

（1）求∠OAB的度數(shù)及直線AB的解析式；

（2）若△OCD與△BDE的面積相等，①求直線CE的解析式；②若y軸上的一點P滿足∠APE=45°，請直接

寫出點P的坐標。

思路點撥：（1）由A，B兩點的坐標知，△AOB為等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD與△BDE的面積相等，等價于△ACE與△AOB面積相等，故可求E點坐標，從而得到CE的解析式；因為E為AB中點，故P為（0,0）時，∠APE=45°.

解析：（1）∵A（1，0），B（0，1），

∴OA=OB=1，△AOB為等腰直角三角形

∴∠OAB=45°

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,將A（1，0），B（0，1）代入，

解得k=-1，b=1

∴直線AB的解析式為：y=-x+1

（2）①∵

∴

即

∴

，將其代入y=-x+1，得E點坐標（）

設(shè)直線CE為y=kx+b，將點C（-1，0），點E（）代入

，解得k=b=

∴直線CE的解析式：

②∵點E為等腰直角三角形斜邊的中點

∴當點P（0,0）時，∠APE=45°.

總結(jié)升華：考慮面積相等這個條件時，直接算比較困難，往往采取補全成一個容易計算的面積來解決問題。

舉一反三：

【變式1】在長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，點P沿邊按A→B→C→D的方向向點D運動（但不與A，D兩點重合）。求△APD的面積y()與點P所行的路程x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。

【答案】：當P點在AB上運動時，

當P點在BC上運動時，

當P點在CD上運動是，

∴

【變式2】如圖，直線與x軸y軸分別交于點E、F，點E的坐標為（-8，