2016年高考山東理科數學試題及答案(word解析版)

年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）數學（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）【2016年山東，理1，5分】若復數滿足，其中為虛數為單位，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】設，則，所以，故選B．【點評】本題考查復數的代數形式混合運算，考查計算能力．（2）【2016年山東，理2，5分】已知集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意，，所以，故選C．【點評】本題考查并集及其運算，考查了指數函數的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎題．（3）【2016年山東，理3，5分】某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習時間少于22.5小時的頻率為，所以，每周自習時間不少于22.5小時的人數是人，故選D．【點評】本題考查的知識點是頻率分布直方圖，難度不大，屬于基礎題目．（4）【2016年山東，理4，5分】若變量，滿足，則的最大值是（） （A）4（B）9 （C）10（D）12【答案】C【解析】由是點到原點距離的平方，故只需求出三直線的交點，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，故選C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．（5）【2016年山東，理5，5分】有一個半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（） （A） （B）（C）（D）【答案】C【解析】由三視圖可知，半球的體積為，四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故選C．【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵．（6）【2016年山東，理6，5分】已知直線分別在兩個不同的平面，內，則“直線和直線相交”是“平面和平面相交”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由直線和直線相交，可知平面有公共點，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直線和直線不一定相交，故選A．【點評】本題考查的知識點是充要條件，空間直線與平面的位置關系，難度不大，屬于基礎題．（7）【2016年山東，理7，5分】函數的最小正周期是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由，所以，最小正周期是，故選B．【點評】本題考查的知識點是和差角及二倍角公式，三角函數的周期，難度中檔．（8）【2016年山東，理8，5分】已知非零向量滿足，若則實數的值為（）（A）4（B）（C）（D）【答案】B【解析】因為，由，有，即，，故選B．【點評】本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎題．（9）【2016年山東，理9，5分】已知函數的定義域為，當時，；當時，；當時，，則（）（A）（B）（C）0（D）2【答案】D【解析】由，知當時，的周期為1，所以．又當時，，所以．于是，故選D．【點評】本題考查函數值的計算，考查函數的周期性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．（10）【2016年山東，理10，5分】若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數具有性質的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因為函數，的圖象上任何一點的切線的斜率都是正數；函數的圖象上任何一點的切線的斜率都是非負數．都不可能在這兩點處的切線互相垂直，即不具有性質，故選A．【點評】本題考查的知識點是利用導數研究曲線上某點切線方程，轉化思想，難度中檔．第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2016年山東，理11，5分】執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的的值分別為0和9，則輸出的值為．【答案】3【解析】時，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時，執(zhí)行循環(huán)體后，成立；所以，故填3.【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答．“恰好猜對3個成語”和“猜對4個成語”分別為事件，則；．所以．（2）“星隊”兩輪得分之和的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，于是；；；；；；的分布列為：012346的數學期望．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬中檔題．（20）【2016年山東，理20，13分】已知．（1）討論的單調性；（2）當時，證明對于任意的成立．解：（1）求導數，當時，，，單調遞增，，，單調遞減當時，①當時，，或，，單調遞增，，，、單調遞減；②當時，，，，單調遞增，③當時，，或，，單調遞增，，，單調遞減．（2）當時，，，于是，令，，，于是，，的最小值為；又，設，，因為，，所以必有，使得，且時，，單調遞增；時，，單調遞減；又，，所以的最小值為．所以．即對于任意的成立．【點評】本題考查利用導數加以函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，是壓軸題．（21）【2016年山東，理21，14分】平面直角坐標系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點是的一個頂點．（1）求橢圓的方程；（2）設是上的動點，且位于第一象限，在點處的切線與交于不同的兩點，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．（i）求證：點在定直線上；（ii）直線與軸交于點，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點的坐標．解：（1）由離心率是，有，又拋物線的焦點坐標為，所以，于是，所以橢圓的方程為．（2）（i）設點坐標為，由得，所以在點處的切線的斜率為，因此切線的方程為，設，，將代入，得．于是，，又，于是直線的方程為．聯立方程與，得的坐標為．所以點在定直線上．（ii）在切線的方程為中，令，得，即點的