2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第九章 9-11圓錐曲線中定點與定值問題

第九章§9.11圓錐曲線中定點與定值問題(1)求動圓圓心M的軌跡E的方程；題型一定點問題設(shè)動圓M的半徑為r2，依題意有r2＝|MB|.所以動點M的軌跡E是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，(2)設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡E交于不同的兩點P，Q，點N(4,0).若P，Q，N三點不共線，且∠ONP＝∠ONQ.證明：動直線PQ經(jīng)過定點.設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，消去y得，(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16(4k2－b2＋1)>0，設(shè)P(x1，kx1＋b)，Q(x2，kx2＋b)，由∠ONP＝∠ONQ知kPN＋kQN＝0.得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)>0.故動直線l的方程為y＝kx－k，過定點(1,0).在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點M(x，y)(y≥0)到定點F(0,1)的距離比到x軸的距離大1.(1)求動點M的軌跡C的方程；教師備選由題意可知，N(4,4)是曲線C：x2＝4y上的點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則lNA：y＝k1(x－4)＋4，lNB：y＝k2(x－4)＋4，?x2－4k1x＋16(k1－1)＝0，解得x1＝4(k1－1)，

①同理可得x2＝4(k2－1)，

②由①②③④整理可得lAB：y＝(k1＋k2－2)x－4，故直線AB恒過定點(0，－4).思維升華求解直線或曲線過定點問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(0，m).(1)求橢圓方程；得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)AB的中點M為(x0，y0)，即1＋4k2＝－8km，例2

(2022·江西贛撫吉名校聯(lián)考)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)上的動點M

到直線x＝－1的距離比到拋物線E的焦點F的距離大(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；題型二定值問題故拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x.(2)設(shè)點Q是直線x＝－1(y≠0)上的任意一點，過點P(1,0)的直線l與拋物線E交于A，B兩點，記直線AQ，BQ，PQ的斜率分別為kAQ，kBQ，kPQ，證明：

為定值.設(shè)Q(－1，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為直線l的斜率顯然不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1.Δ＝4t2＋8>0，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；教師備選因為△ABF2的周長為8，所以4a＝8，解得a＝2，所以b2＝3，由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，顯然Δ>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)M(0，k)，又F1(－1,0)，思維升華圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.(1)求橢圓C的方程；(2)求證：k1k為定值.設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B為橢圓C上的點，兩式相減得KESHIJINGLIAN課時精練1.(2022·運城模擬)已知P(1,2)在拋物線C：y2＝2px上.(1)求拋物線C的方程；基礎(chǔ)保分練1234將P點坐標(biāo)代入拋物線方程y2＝2px，得4＝2p，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點.1234設(shè)AB：x＝my＋t，將AB的方程與y2＝4x聯(lián)立得y2－4my－4t＝0，Δ>0?16m2＋16t>0?m2＋t>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，1234即4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，解得y1y2＝4，故－4t＝4，即t＝－1，故直線AB：x＝my－1恒過定點(－1,0).1234解得a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，(1)求橢圓的方程；1234(2)設(shè)點M，N在橢圓上，以線段MN為直徑的圓過原點O，試問是否存在定點P，使得P到直線MN的距離為定值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1234設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，①若直線MN與x軸垂直，由對稱性可知|x1|＝|y1|，將點M(x1，y1)代入橢圓方程，1234②若直線MN不與x軸垂直，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m，1234消去y得(9k2＋5)x2＋18kmx＋9m2－45＝0，1234即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，整理得45k2＋45＝14m2，故存在定點P(0,0)，使得P到直線MN的距離為定值.(1)求雙曲線C的方程；1234技能提升練1234設(shè)雙曲線方程為3x2－y2＝λ(λ>0)，由題意知c＝2，1234整理得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，Δ＝36(k2＋1)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234由弦長公式得設(shè)AB的中點P(x0，y0)，1234AB的垂直平分線方程為1234(1)求橢圓C的方程；1234拓展沖刺練因為焦距為2，長軸長為4，即2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，1234(2)設(shè)過點F1不與x軸重合的直線l與橢圓C相交于E，D兩點，試問在x軸上是否存在一個點M，使得直線ME，MD的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1234由(1)知F1(－1,0)，設(shè)點E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m，0)，因為直線l不與x軸重合，所以設(shè)直線l的方程為x＝ny－1，1234得(3n2＋4)y2－6ny－9＝0，所以Δ＝(－6n)2＋36(3n2＋4)>0，又x1x2＝(ny1－1)(ny2－1)＝n