2023年高考數(shù)學一輪復習課件：第三章導數(shù)及其應(yīng)用

第三章§3.1導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算考試要求1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).落實主干知識課時精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.導數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)記作

或

.(2)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f′(x0)y′|2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的

，相應(yīng)的切線方程為

.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___0αxα－1cosx－sinxaxlnaexf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝___4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝

；[f(x)g(x)]′＝

；[cf(x)]′＝

.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)1.區(qū)分在點處的切線與過點處的切線(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.(2)過點處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(

)(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(

)×××∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切點為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.2.函數(shù)f(x)＝ex＋

在x＝1處的切線方程為

.y＝(e－1)x＋23.已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝

.f′(x)＝1＋lnx＋2ax，TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2022·濟南質(zhì)檢)下列求導運算正確的是________.(填序號)題型一導數(shù)的運算①③④(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故②錯誤；在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)等于A.26

B.29 C.212 D.215教師備選√因為在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2×4＝8.因為函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，所以f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.思維升華(1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.(2)抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.跟蹤訓練1

(1)函數(shù)y＝sin2x的導數(shù)y′等于A.2 B.cos2xC.2cos2x

D.2sin2x√y＝sin2x＝2sinx·cosx，y′＝2cosx·cosx＋2sinx·(－sinx)＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.(2)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，則f′(1)＋g′(1)等于A.1

B.2

C.3

D.4√當x＝1時，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式兩邊求導，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，當x＝1時，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.命題點1求切線方程題型二導數(shù)的幾何意義例2

(1)(2021·全國甲卷)曲線y＝

在點(－1，－3)處的切線方程為

.5x－y＋2＝0所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為

.x－y－1＝0∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點為(x0，y0).又f′(x)＝1＋lnx，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋lnx0)x.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.命題點2求參數(shù)的值(范圍)例3

(1)(2022·西安模擬)直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝alnx＋b相切于點P(1,2)，則2a＋b等于A.4

B.3

C.2

D.1√∵直線y＝kx＋1與曲線f(x)＝alnx＋b相切于點P(1,2)，將P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝lnx＋b，∵P(1,2)在曲線f(x)＝lnx＋b上，∴f(1)＝ln1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(－4，＋∞)f′(x)＝x2－2x－a，依題意知x2－2x－a＝3有兩個實數(shù)解，即a＝x2－2x－3＝(x－1)2－4有兩個實數(shù)解，∴y＝a與y＝(x－1)2－4的圖象有兩個交點，∴a>－4.1.已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點的坐標為A.(1,3) B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3) D.(1，－3)√教師備選設(shè)切點P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切點P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴當x0＝1時，y0＝3；當x0＝－1時，y0＝3.∴切點P為(1,3)或(－1,3).A.[2，＋∞)

B.[4，＋∞)C.(－∞，2] D.(－∞，4]√即x＝1時，等號成立，故a≤2，所以a的取值范圍是(－∞，2].思維升華(1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.(2)注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P處的切線”.√所以切點為(2n,1)，(2)若函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是

.[2，＋∞)直線2x－y＝0的斜率k＝2，又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范圍是[2，＋∞).例4

(1)(2022·駐馬店模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直線l與f(x)的圖象相切于點A(1,0)，若直線l與g(x)的圖象也相切，則a等于A.0

B.－1

C.3

D.－1或3題型三兩曲線的公切線√由f(x)＝xlnx求導得f′(x)＝1＋lnx，則f′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函數(shù)f(x)在點A(1,0)處的切線l的方程為y＝x－1，因為直線l與g(x)的圖象也相切，即關(guān)于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)若函數(shù)f(x)＝x2－1與函數(shù)g(x)＝alnx－1的圖象存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是A.(0，e) B.(0，e]C.(0,2e) D.(0,2e]√設(shè)切線與f(x)相切的切點為(n，n2－1)，與g(x)相切的切點為(m，alnm－1)，所以切線方程為y－(n2－1)＝2n(x－n)，令h(x)＝x2(1－lnx)(x>0)，h′(x)＝x(1－2lnx)，當0<x<e時，h(x)>0，當x>e時，h(x)<0，所以0<a≤2e.所以正實數(shù)a的取值范圍是(0,2e].1.若f(x)＝lnx與g(x)＝x2＋ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y＝x平行的公共切線，則a等于A.1 B.2C.3 D.3或－1教師備選√設(shè)在函數(shù)f(x)＝lnx處的切點為(x，y)，解得x＝1，故切點為(1,0)，可求出切線方程為y＝x－1，此切線和

g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化簡得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要滿足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.2.已知曲線y＝ex在點(x1，)處的切線與曲線y＝lnx在點(x2，lnx2)處的切線相同，則(x1＋1)(x2－1)等于A.－1 B.－2C.1 D.2√已知曲線y＝ex在點(x1，

)處的切線方程為y－

＝

(x－x1)，即y＝

x－

x1＋

，得x2＝

，－

x1＝－1＋lnx2＝－1＋ln

＝－1－x1，又x2＝

，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點橫坐標的方程組，通過解方程組求解.或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解.思維升華跟蹤訓練3

(1)(2022·雅安模擬)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為A.2

B.5

C.1

D.0√根據(jù)題意，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝g(x)的公共點為(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，則切線的斜率為k＝f′(a)＝－4a，因為兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，又由g(1)＝－1，即公共點的坐標為(1，－1)，將點(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)不與x軸重合的直線l與曲線f(x)＝x3和y＝x2均相切，則l的斜率為____.因為不與x軸重合的直線l與曲線y＝x3和y＝x2均相切，KESHIJINGLIAN課時精練基礎(chǔ)保分練1.(2022·陽江模擬)下列函數(shù)的求導正確的是A.(x－2)′＝－2x

B.(xcosx)′＝cosx－xsinxC.(ln10)′＝

D.(3x)′＝3x√(x－2)′＝－2x－3，∴A錯；(xcosx)′＝cosx－xsinx，∴B對；(ln10)′＝0，∴C錯；(3x)′＝3x·ln3，∴D錯.123456789101112131415162.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是√12345678910111213141516由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率先增大后減小.123456789101112131415163.(2022·黑龍江哈師大附中月考)曲線y＝2cosx＋sinx在(π，－2)處的切線方程為A.x－y＋π－2＝0 B.x－y－π＋2＝0C.x＋y＋π－2＝0 D.x＋y－π＋2＝0√y′＝－2sinx＋cosx，當x＝π時，k＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在點(π，－2)處的切線方程，由點斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化簡可得x＋y－π＋2＝0.123456789101112131415164.(2022·興義模擬)已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)等于A.－1

B.0

C.2

D.4√12345678910111213141516∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，5.設(shè)曲線f(x)＝aex＋b和曲線g(x)＝cosx＋c在它們的公共點M(0,2)處有相同的切線，則b＋c－a的值為A.0 B.π C.－2 D.3√∵f′(x)＝aex，g′(x)＝－sinx，∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，又M(0,2)為f(x)與g(x)的公共點，∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.123456789101112131415166.已知點A是函數(shù)f(x)＝x2－lnx＋2圖象上的點，點B是直線y＝x上的點，則|AB|的最小值為12345678910111213141516√當與直線y＝x平行的直線與f(x)的圖象相切時，切點到直線y＝x的距離為|AB|的最小值.又f(1)＝3，所以切點C(1,3)到直線y＝x的距離即為|AB|的最小值，123456789101112131415167.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，設(shè)a＝f(3)－f(2)，則下列結(jié)論正確的是A.f′(2)<f′(3)<a B.f′(2)<a<f′(3)C.f′(3)<a<f′(2) D.a<f′(3)<f′(2)12345678910111213141516√∴a表示曲線上兩點A(2，f(2))，B(3，f(3))連線的斜率，由圖知，曲線切線的斜率越來越小，∴f′(3)<a<f′(2).123456789101112131415168.(2022·固原模擬)設(shè)點P是函數(shù)f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是√∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－1>－1.∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，∴tanα>－1.∵α∈[0，π)，12345678910111213141516123456789101112131415169.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在x＝2處的切線方程是y＝3x＋1，則f(2)＋f′(2)＝_____.10切點坐標為(2，f(2))，∵切點在切線上，∴f(2)＝3×2＋1＝7，又k＝f′(2)＝3，∴f(2)＋f′(2)＝10.10.(2022·四川天府名校聯(lián)考)若曲線f(x)＝xcosx在x＝π處的切線與直線ax－y＋1＝0平行，則實數(shù)a＝

.12345678910111213141516－1因為f(x)＝xcosx，所以f′(x)＝cosx－xsinx，f′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因為函數(shù)在x＝π處的切線與直線ax－y＋1＝0平行，所以a＝f′(π)＝－1.1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)＝

＋excosx，若f′(0)＝－1，則a＝

.2∴f′(0)＝－a＋1＝－1，則a＝2.12345678910111213141516(－∞，－1)∪(3，＋∞)12345678910111213141516因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，解得a>3或a<－1，所以a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).13.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2023(x)等于A.－sinx－cosx

B.sinx－cosxC.－sinx＋cosx

D.sinx＋cosx√技能提升練12345678910111213141516∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4為周期重復出現(xiàn)，∵2023＝4×505＋3，∴f2023(x)＝f3(x)＝－sinx－cosx.1234567891011121314151614.(2021·新高考全國Ⅰ)若過點(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則A.eb<a

B.ea<bC.0<a<eb

D.0<b<ea12345678910111213141516√方法一設(shè)切點(x0，y0)，y0>0，則切線方程為y－b＝

(x－a)，則由題意知關(guān)于x0的方程

(1－x0＋a)＝b有兩個不同的解.設(shè)f(x)＝ex(1－x＋a)，則f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以當x<a時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，12345678910111213141516當x>a時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，當x<a時，a－x>0，所以f(x)>0，當x→－∞時，f(x)→0，當x→＋∞時，f(x)→－∞，函數(shù)f(x)＝ex(1－x＋a)的大致圖象如圖所示，因為f(x)的圖象與直線y＝b有兩個交點，所以0<b<ea.方法二(用圖估算法)過點(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線

，則點(a，b)在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0<b<ea.12345678910111213141516拓展沖刺練1234567891011121314151615.(2022·重慶沙坪壩區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在

上是凸函數(shù)的是________.(填序號)①f(x)＝－x3＋3x＋4；②f(x)＝lnx＋2x；③f(x)＝sinx＋cosx；④f(x)＝xex.①②③對①，f(x)＝－x3＋3x＋4，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x，1234567891011121314151612345678910111213141516對③，f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)＝cosx－sinx，對④，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，16.已知f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為________________.12345678910111213141516y＝ex或y＝x＋1設(shè)直線l與f(x)＝ex的切點為(x1，y1)，則y1＝

，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝

，∴切點為(x1，

)，切線斜率k＝

，∴切線方程為y－

＝

(x－x1)，即y＝

·x－x1＋

，

①同理設(shè)直線l與g(x)＝lnx＋2的切點為(x2，y2)，12345678910111213141516切點為(x2，lnx2＋2)，12345678910111213141516由題意知，①與②相同，12345678910111213141516把③代入④有－x1＋

＝－x1＋1，即(1－x1)(－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，當x1＝1時，切線方程為y＝ex；當x1＝0時，切線方程為y＝x＋1，綜上，直線l的方程為y＝ex或y＝x＋1.本課結(jié)束第三章§3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考試要求1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過

三次).落實主干知識課時精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上_________f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是_________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的

；第2步，求出導數(shù)f′(x)的

；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域零點1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，f′(x)<0有解.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(

)(2)在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.(

)(3)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增.(

)(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù).(

)√√×√1.f′(x)是f(x)的導函數(shù)，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是√由f′(x)的圖象知，當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0，∴f(x)單調(diào)遞增；當x∈(0，x1)時，f′(x)<0，∴f(x)單調(diào)遞減；當x∈(x1，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)單調(diào)遞增.2.函數(shù)f(x)＝(x－2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.f(x)的定義域為R，f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，得x＝1，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈(－∞，1)時，f′(x)<0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞).(1，＋∞)f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集為[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的兩根，則a＝(－1)×4＝－4.－4TANJIUHEXINTIXING探究核心題型題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性√(2)已知定義在區(qū)間(0，π)上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________________.f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π).教師備選(1，＋∞)f(x)的定義域為(0，＋∞)，φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，∴當x∈(0,1)時，φ(x)>0，當x∈(1，＋∞)時，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.思維升華確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.跟蹤訓練1

(1)函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)√令f′(x)＝0，得x＝1，∴當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.(2)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為______________________，單調(diào)遞減區(qū)間為__________.(－∞，0)，(ln2，＋∞)(0，ln2)f(x)的定義域為R，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表，x(－∞，0)0(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2).題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2

已知函數(shù)f(x)＝

ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；延伸探究若將本例中參數(shù)a的范圍改為a∈R，其他條件不變，試討論f(x)的單調(diào)性？當a>0時，討論同上；當a≤0時，ax－1<0，∴x∈(0,1)時，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；教師備選由題知，f(x)的定義域是(0，＋∞)，設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8.有f′(x)＝0，對其余的x>0都有f′(x)>0.此時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點.跟蹤訓練2

討論下列函數(shù)的單調(diào)性.(1)f(x)＝x－alnx；f(x)的定義域為(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝a，①當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.②當a>0時，x∈(0，a)時，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當a>0時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增.g(x)的定義域為R，g′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)，當a＝0時，g′(x)≥0，∴g(x)在R上單調(diào)遞增.當a>0時，x∈(－∞，－3a)∪(a，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，x∈(－3a，a)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.當a<0時，x∈(－∞，a)∪(－3a，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，x∈(a，－3a)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，綜上有a＝0時，g(x)在R上單調(diào)遞增；a<0時，g(x)在(－∞，a)，(－3a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，－3a)上單調(diào)遞減；a>0時，g(x)在(－∞，－3a)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3a，a)上單調(diào)遞減.命題點1比較大小或解不等式題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用√因為f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsinx＝f(x)，當且僅當x＝0時取“＝”，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)＝1，∴原不等式可化為f(2x－3)>f(0)，命題點2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍教師備選√由題意得f′(x)＝ex(sinx＋a)＋excosx∴－1＋a≥0，解得a≥1，即a∈[1，＋∞).2.(2022·江西鷹潭一中月考)若函數(shù)f(x)＝ax3＋x恰有3個單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍為___________.(－∞，0)由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，則f′(x)>0恒成立，此時f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，不滿足題意；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.思維升華跟蹤訓練3

(1)已知定義域為R的連續(xù)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足

<0，當m<0時，下列關(guān)系中一定成立的是A.f(1)＋f(3)＝2f(2)B.f(0)·f(3)＝0C.f(4)＋f(3)<2f(2)D.f(2)＋f(4)>2f(3)√又m<0，則(x－3)f′(x)>0，當x>3時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x<3時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；所以f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，所以f(2)＋f(4)>2f(3).(2)(2022·安徽省泗縣第一中學質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝

在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為____________.[0，e－1]由f′(x)>0得0<x<e，由f′(x)<0得x>e.所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，解得0≤a≤e－1.KESHIJINGLIAN課時精練基礎(chǔ)保分練123456789101112131415161.函數(shù)f(x)＝xlnx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是√f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，123456789101112131415162.下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是A.f(x)＝2sinxcosx

B.g(x)＝x3－xC.h(x)＝xex

D.m(x)＝－x＋lnx√h(x)＝xex，定義域為R，∴h′(x)＝(x＋1)ex，當x>0時，h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.12345678910111213141516123456789101112131415163.(2022·渭南調(diào)研)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)).下面四個圖象中y＝f(x)的圖象大致是√列表如下：x(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)xf′(x)－＋－＋f′(x)＋－－＋f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1).故函數(shù)f(x)的圖象是C選項中的圖象.123456789101112131415164.(2022·遵義質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋blnx在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1]C.(－∞，－2] D.[－2，＋∞)√1234567891011121314151612345678910111213141516∵f(x)＝－x2＋4x＋blnx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b≤2x2－4x，∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2.123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln2)，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>c>b

B.a>b>cC.b>a>c

D.c>b>a√12345678910111213141516f(x)的定義域為R，f′(x)＝cosx－sinx－2∴f(x)在R上單調(diào)遞減，又2e>1,0<ln2<1，∴－π<ln2<2e，故f(－π)>f(ln2)>f(2e)，即a>c>b.6.如果函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意兩實數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有

>0，則稱函數(shù)y＝f(x)為“F函數(shù)”.下列函數(shù)是“F函數(shù)”的是A.f(x)＝ex

B.f(x)＝x2C.f(x)＝lnx

D.f(x)＝sinx12345678910111213141516√依題意，函數(shù)g(x)＝xf(x)為定義域上的增函數(shù).對于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，當x∈(－∞，－1)時，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對于B，g(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；對于C，g(x)＝xlnx，g′(x)＝1＋lnx，故C中函數(shù)不是“F函數(shù)”；1234567891011121314151612345678910111213141516對于D，g(x)＝xsinx，g′(x)＝sinx＋xcosx，故D中函數(shù)不是“F函數(shù)”.7.(2022·長沙市長郡中學月考)已知函數(shù)f(x)＝

x3＋mx2＋nx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是(－3,1)，則m＋n的值為______.－2由題設(shè)，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－3,1)，得f′(x)<0的解集為(－3,1)，則－3,1是f′(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.123456789101112131415168.(2021·新高考全國Ⅱ)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：_________________________________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù).12345678910111213141516f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均滿足)12345678910111213141516f′(x)＝4x3，x>0時有f′(x)>0，滿足②，f′(x)＝4x3的定義域為R，又f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，故f′(x)是奇函數(shù)，滿足③.9.已知函數(shù)f(x)＝

x2－2alnx＋(a－2)x.(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；1234567891011121314151612345678910111213141516當a＝－1時，當0<x<1或x>2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當1<x<2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.12345678910111213141516g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x2－2x－2a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，123456789101112131415161234567891011121314151610.(2022·宜春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x3－6ax.(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；12345678910111213141516當a＝－1時，f(x)＝x3＋6x，則f′(x)＝3x2＋6，所以f(1)＝7，f′(1)＝9，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－7＝9(x－1)，即9x－y－2＝0.(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.12345678910111213141516函數(shù)f(x)＝x3－6ax的定義域為R，f′(x)＝3x2－6a＝3(x2－2a).當a≤0時，對任意的x∈R，f′(x)≥0且不恒為零，此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，由f′(x)<0，12345678910111213141516綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；1234567891011121314151612345678910111213141516技能提升練√因為h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以a>－1，所以a的取值范圍是(－1，＋∞).123456789101112131415161234567891011121314151612.設(shè)函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx＋x2，若a＝f(－2)，b＝f(ln2)，c＝f()，則a，b，c的大小關(guān)系為A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c√f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＋(－x)2＝xsinx＋cosx＋x2＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴a＝f(－2)＝f(2)，又f′(x)＝xcosx＋2x＝x(cosx＋2)，當x>0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，即b<c<a.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，14.已知函數(shù)f(x)＝x5＋10x＋sinx，若f(t)＋f(1－3t)<0，則實數(shù)t的取值范圍是____________.12345678910111213141516因為函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－x)＝(－x)5＋10(－x)＋sin(－x)＝－(x5＋10x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)；又因為f′(x)＝5x4＋10＋cosx>0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；又因為f(t)＋f(1－3t)<0，所以f(t)<－f(1－3t)＝f(3t－1)，12345678910111213141516拓展沖刺練1234567891011121314151615.(2022·河北衡水中學月考)下列不等式成立的是________.(填序號)①④所以當0<x<e時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x>e時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.12345678910111213141516因為e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故③不正確；因為e<π，所以f(e)>f(π)，即π>elnπ，故④正確.1234567891011121314151616.(2022·寧夏銀川一中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝

.(1)若a>0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；1234567891011121314151612345678910111213141516f(x)的定義域為{x|x≠0}，∵a>0，∴當x∈(－∞，0)∪(0,1)時，f′(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞).12345678910111213141516不妨令x1>x2，可化為f(x1)－f(x2)<2(x1－x2)，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，即函數(shù)g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞減，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516本課結(jié)束第三章§3.3導數(shù)與函數(shù)的極值、最值考試要求1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.落實主干知識課時精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.函數(shù)的極值條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象

極值f(x0)為_______f(x0)為_______極值點x0為_________x0為_________極大值極大值點極小值極小值點2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)常用結(jié)論對于可導函數(shù)f(x