高等代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

（優(yōu)選）高等代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)目前一頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)2目前二頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)

基本概念：次數(shù)：最基本的概念和工具整除：多項(xiàng)式之間最基本的關(guān)系帶余除法：最基本的算法，判斷整除.最大公因式：描述多項(xiàng)式之間關(guān)系的復(fù)雜程度互素：多項(xiàng)式之間關(guān)系最簡(jiǎn)單的情形既約多項(xiàng)式：最基本的多項(xiàng)式根：最重要的概念和工具一元多項(xiàng)式3目前三頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)

重要結(jié)論：帶余除法定理對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)和非零多項(xiàng)式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).最大公因式的存在和表示定理任意兩個(gè)不全為0的多項(xiàng)式都有最大公因式，且對(duì)于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4目前四頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)因式分解唯一定理次數(shù)大于1的多項(xiàng)式都可分解成有限個(gè)既約多項(xiàng)式之積，且不計(jì)因子次序和常數(shù)因子倍時(shí)，分解唯一.標(biāo)準(zhǔn)分解定理每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是非零常數(shù),p1,…,pt,是互不相同的首一既約多項(xiàng)式,n1,…,nt是正整數(shù).進(jìn)一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一確定.重因式f無重因式當(dāng)且僅當(dāng)f與其導(dǎo)式互素.5目前五頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)代數(shù)學(xué)基本定理：下列陳述等價(jià)，復(fù)數(shù)域上次數(shù)≥1的多項(xiàng)式總有根復(fù)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根復(fù)數(shù)域上的既約多項(xiàng)式恰為一次式復(fù)數(shù)域上次數(shù)≥1的多項(xiàng)式可分解成一次式之積.實(shí)數(shù)域上的次數(shù)＞1的既約多項(xiàng)式只有無實(shí)根的二次式實(shí)數(shù)域上次數(shù)≥1的多項(xiàng)式可分解成一次式和二次式之積6目前六頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理在實(shí)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng),x1,…,xt

是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互異、首一、無實(shí)根的二次式.復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解定理在復(fù)數(shù)域上，每個(gè)次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f都有如下的標(biāo)準(zhǔn)分解其中a是f的常數(shù)項(xiàng),x1,…,xt

是f全部互不相同的根,n1,…,nt分別是這些根的重?cái)?shù).7目前七頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)多項(xiàng)式作為函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式相等(即對(duì)應(yīng)系數(shù)相同)它們作為函數(shù)相等(即在每點(diǎn)的函數(shù)值相等)它們?cè)趉+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，這里k是它們次數(shù)的最大者.設(shè)f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為0，則f(x)恒等于0.8目前八頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)

Eisenstein判別法：設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若有素?cái)?shù)p使得則f(x)是有理數(shù)域上的既約多項(xiàng)式.有理根：有理根的分母整除首項(xiàng)系數(shù)，分子整除常數(shù)項(xiàng)9目前九頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)

重要結(jié)論命題1.8.1

若多項(xiàng)式的值全為0，則該多項(xiàng)式必為0.命題1.8.2

每個(gè)n次多項(xiàng)式f均可唯一地表示成齊次多項(xiàng)式之和，fn≠0，且其中fi是0或i次齊次多項(xiàng)式，0≤i≤n，fi稱為f的i次齊次分量.

基本概念：次數(shù)、齊次分量、字典序、首項(xiàng)、對(duì)稱多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理

每個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式，都可唯一地表示成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式.10目前十頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)11目前十一頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)運(yùn)算及其關(guān)系轉(zhuǎn)置取逆伴隨行列式秩數(shù)加法(A+B)T=AT+BTr(A+B)≤r(A)+r(B)數(shù)乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1

(kA)*=kn1A*|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法(AB)T=BTAT(AB)

1=B1

A1(AB)*=B*A*|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT)

1=(A1)T(AT)*=(A*)T|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1|A1|=|A|1伴隨(A*)*=|A|n2A*|A*|=|A|n1

n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n-1

0,若r(A)<n-1其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|E當(dāng)A可逆時(shí)，A*＝|A|A1定義性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12目前十二頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)轉(zhuǎn)置取逆伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1

(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)

1=B1

A1(AB)*=B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT)

1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴隨(A*)*=|A|n2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當(dāng)A可逆時(shí)，A*＝|A|A113目前十三頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)行列式秩數(shù)加法r(A+B)≤r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A1|=|A|1伴隨|A*|=|A|n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n10,若r(A)<n1

其它定義性質(zhì)若P,Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)14目前十四頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)性質(zhì)公式備注轉(zhuǎn)置不變性|AT|=|A|行列地位平等反交換性|.........|=|.........|換法變換交錯(cuò)性|.........|=0齊性|...k...|=k|.......|倍法變換統(tǒng)稱線性加性|...+...|=|......|+|......|倍加不變性|...+k......|=|.........|消法變換按第k行第k列展開|aij|=ak1Ak1+…+aknAkn

=a1kA1k+…+ankAnkaj1Ak1+…+ajnAkn=a1jA1k+…+anjAnk=jk|aij|Laplace定理分塊三角矩陣的行列式Cauchy-Binet

公式Vandermonde行列式定義性質(zhì)；15目前十五頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)Laplace定理(按第i1,...,ik行展開)；分塊三角形行列式16目前十六頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)Cauchy-Binet公式

設(shè)U是m×n矩陣,V是n×m矩陣,m≥n,則17目前十七頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)18目前十八頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)初等變換行變換列變換換法變換倍法變換消法變換對(duì)單位矩陣做一次初等變換對(duì)A做一次行變換=用相應(yīng)的初等矩陣左乘以A對(duì)A做一次列變換=用相應(yīng)的初等矩陣右乘以A19目前十九頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)

對(duì)于m×n矩陣A，B下列條件等價(jià)AB，即A可由初等變換化成B有可逆矩陣P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的標(biāo)準(zhǔn)型相同

A,B行等價(jià)有可逆矩陣P使得A=PB

每個(gè)矩陣都行等價(jià)于唯一一個(gè)RREF矩陣

A,B等價(jià)有可逆矩陣P,Q使得A=PBQ

每個(gè)秩數(shù)為r的矩陣都等價(jià)于矩陣等價(jià)20目前二十頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)可逆矩陣vs列滿秩矩陣對(duì)于n階矩陣A,下列條件等價(jià)A是可逆矩陣|A|0秩A=n有B使得AB=I或BA=IA是有限個(gè)初等矩陣之積A(行或列)等價(jià)于IA的列(行)向量組線性無關(guān)方程組Ax=0沒有非零解對(duì)任意b,Ax=b總有解對(duì)某個(gè)b,Ax=b有唯一解A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C)對(duì)于m×r矩陣G,下列條件等價(jià)G是列滿秩矩陣,G有一個(gè)r階的非零子式秩G=列數(shù)G有左逆,即有K使得KG=I有矩陣H使得(G,H)可逆G行等價(jià)于G的列向量組線性無關(guān)方程組Gx=0沒有非零解對(duì)任意b,若Gx=b有解則唯一對(duì)某個(gè)b,Gx=b有唯一解G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)21目前二十一頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)設(shè)A的秩數(shù)為r,則A有如下分解

,其中P,Q為可逆矩陣

A=PE,其中P可逆,E是秩數(shù)為r的RREFA=GH,其中G列滿秩,H行滿秩,且秩數(shù)都是r(滿秩分解)矩陣分解22目前二十二頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)分塊矩陣的初等變換和Schur公式把初等變換和初等矩陣的思想用到分塊矩陣Schur公式設(shè)A可逆

兩種常用方法適用例子:習(xí)題3.7.5;3.7.9~11:23目前二十三頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)2.正則化方法證明當(dāng)A可逆時(shí)結(jié)論成立考慮xI+A,有無窮多個(gè)x使得該矩陣可逆將要證明的結(jié)論歸結(jié)為多項(xiàng)式的相等若兩個(gè)多項(xiàng)式在無窮多個(gè)點(diǎn)處的值相同,則這兩個(gè)多項(xiàng)式在任意點(diǎn)的值相等,特別地,取x=0.適用例子:習(xí)題:24目前二十四頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)特殊矩陣三角正規(guī)

可逆←對(duì)合

↗

↖

Hermite反Hermite酉矩陣冪等

冪零

對(duì)稱反對(duì)稱正交

↗對(duì)角

純量

25目前二十五頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)向量26目前二十六頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)線性表示：列向量組1,...,r可由1,...,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,...,r)=(1,...,s)C.進(jìn)一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù)線性表示有傳遞性被表示者的秩數(shù)≤表示者的秩數(shù)向量組等價(jià)：對(duì)于向量組S，T，下列條件等價(jià)S和T等價(jià)，即S,T可以互相表示S,T的極大無關(guān)組等價(jià)S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示27目前二十七頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)線性相關(guān)與線性表示：1,...,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可由其余的線性表示若,1,...,r線性相關(guān),而1,...,r線性無關(guān),則可由1,...,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對(duì)于向量組1,...,r下列條件等價(jià)

1,...,r線性無關(guān)當(dāng)c1,...,cr不全為0時(shí)，必有c11+...+crr0

當(dāng)c11+...+crr＝0時(shí)，必有c1＝...＝cr＝01,...,r的秩數(shù)等于r(1,...,r)是列滿秩矩陣28目前二十八頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)極大無關(guān)組與秩數(shù)：1,...,rS是S的一個(gè)極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng)1,...,r線性無關(guān)S的每個(gè)向量都可由1,...,r線性表示秩S＝極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)若秩S＝r,則任何r個(gè)無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組矩陣的秩數(shù)＝行向量組的秩數(shù)＝列向量組的秩數(shù)

向量組向量空間解空間極大無關(guān)組基底基礎(chǔ)解系秩數(shù)維數(shù)n

－

r29目前二十九頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)向量空間向量空間：加法和數(shù)乘封閉的向量集合基底：向量空間的極大無關(guān)組維數(shù)：向量空間的秩數(shù)行空間：矩陣的行向量組張成的向量空間列空間：矩陣的列向量組張成的向量空間行空間與列向量的維數(shù)都等于矩陣的秩數(shù)對(duì)于矩陣m×n矩陣A，B，下列條件等價(jià)A,B行等價(jià)A,B的行空間相同A,B的行向量組等價(jià)A,B的列向量組線性關(guān)系一致Ax=0和Bx=0同解30目前三十頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)線性方程組線性方程組的表示方程式：矩陣式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,

x=(xi)n×1,

b=(bi)m×1向量式：x11+...+xnn=b,其中i是xi的系數(shù)列31目前三十一頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)解的判定:

1.n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等.具體地，當(dāng)秩A＜秩(Ab)時(shí)，方程組無解當(dāng)秩A＝秩(Ab)＝n時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)秩A＝秩(Ab)＜n時(shí)，方程組有無窮解2.線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示.此時(shí),解恰為表示的系數(shù)32目前三十二頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成RREF寫出RREF方程組取每個(gè)方程的第一個(gè)變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數(shù)解或通解33目前三十三頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0：解空間：解的集合基礎(chǔ)解系：解空間的基底通解：設(shè)1,…,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+...+css，其中c1,...,cs是任意常數(shù)解空間的維數(shù)＝未知數(shù)個(gè)數(shù)－系數(shù)矩陣的秩數(shù)設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個(gè)無關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系34目前三十四頁\總數(shù)四十頁\編于十五點(diǎn)一般線性方程組Ax=b：Ax＝b和Ax=0的解的關(guān)系：Ax＝b的兩個(gè)解之差是Ax=0的解Ax＝b的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設(shè)Sb和S0分別表示Ax＝b和Ax=0的解集合，則Sb＝S0+，Sb通解：設(shè)1,…,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,是Ax=b的一個(gè)解,則通解為=c11+...+css+，其中c1,...,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當(dāng)系數(shù)和＝0時(shí)；Ax=b的解，當(dāng)系數(shù)和＝1時(shí).35目前三