域分析極點與零點

關(guān)于域分析極點與零點第1頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應(yīng)的拉氏變換與激勵拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數(shù)，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、策動點阻抗或?qū)Ъ{第2頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布第3頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1由系統(tǒng)函數(shù)的極零點分布決定

時域特性

（1）時域特性——h(t)反變換第i個極點決定總特性Ki與零點分布有關(guān)第4頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(a)一階極點在原點第5頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(b)一階極點在負實軸第6頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(c)一階極點在正實軸第7頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(d)一階共軛極點在虛軸上第8頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(e)共軛極點在虛軸上，原點有一零點第9頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(f)共軛極點在左半平面第10頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幾種典型的極點分布——

(g)共軛極點在右半平面第11頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）有二重極點分布——

(a)在原點有二重極點第12頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）有二重極點分布——

(b)在負實軸上有二重極點第13頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）有二重極點分布——

(c)在虛軸上有二重極點第14頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）有二重極點分布——

(d)在左半平面有二重共軛極點第15頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月一階極點第16頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月二重極點第17頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月極點影響小結(jié)：極點落在左半平面—h(t)逞衰減趨勢極點落在右半平面—h(t)逞增長趨勢極點落在虛軸上只有一階極點—h(t)等幅振蕩，不能有重極點極點落在原點—h(t)等于u(t)第18頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）零點的影響零點移動到原點第19頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）零點的影響零點的分布只影響時域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率幅度多了一個因子多了相移第20頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論H(s)的極點決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，與激勵無關(guān)自由響應(yīng)的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點有關(guān)，即零點影響Ki,Kk系數(shù)E(s)的極點決定了強迫響應(yīng)的振蕩頻率，與H(s)無關(guān)用H(s)只能研究零狀態(tài)響應(yīng)，H(s)中零極點相消將使某固有頻率丟失。第21頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月激勵E(s)的極點影響激勵E(s)的極點也可能是復(fù)數(shù)增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作 用下穩(wěn)下來，或與系統(tǒng) 某零點相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)衰減趨勢，暫態(tài)第22頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（1）求e(t)的拉氏變換第23頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)（3）求系統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換暫態(tài)穩(wěn)態(tài)第24頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)求第一個周期引起的響應(yīng)的拉氏變換V01(t)（4）求暫態(tài)響應(yīng)，它在整個過程中是一樣的。固定常數(shù)衰減因子第25頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第26頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（8）整個周期矩形信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)第27頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.2由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻率特性什么是系統(tǒng)頻率響應(yīng)？ 不同頻率的正弦激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：第28頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月由正弦激勵的極點決定的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項最后衰減為零第29頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有關(guān)的幅度該變相位偏移第30頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月若換成變量

系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性第31頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月用幾何法求系統(tǒng)頻率特性第32頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知試求當(dāng)

時的幅頻和相位第33頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.3一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的

S平面分析已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點在S平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線第34頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）一階系統(tǒng)一零點，一在實軸的極點一在原點的零點，一在實軸的極點只有無窮遠處的零點一在實軸的極點第35頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性+U1—+U2—CRMN-1/RC第36頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_M沒有零點第38頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月幅頻特性相位特性第39頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析只考慮單極點使系統(tǒng)逞低通特性只考慮一極點和一零點使系統(tǒng)逞高通特性中間狀態(tài)是個常數(shù)低通高通總體是個帶通第40頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：第41頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月高通低通第42頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

較小時起作用

逐漸增加高通第43頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

較大時起主要作用低通特性

逐漸增加第44頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月帶通第45頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：若已知H(s)零極點分布如圖(a)--(h)試粗略給出它們的第46頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.4二階諧振系統(tǒng)的S域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質(zhì)因素第49頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）諧振頻率衰減因素

諧振頻率

第50頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)阻尼衰減因子的影響若不變，則共軛極點總是落在以原點為圓心，以為半徑的左半圓弧上等幅震蕩衰減震蕩第51頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

臨界不起振實數(shù)根本不起振第52頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）頻率變化影響當(dāng)頻率變化時在S平面沿著虛軸移動，將代入Z(s)，則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿變化。第53頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月討論的前提下，不變

而變化的情況第54頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月斜邊乘高直角邊之積第56頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

顯著增長，而增長緩慢些第57頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月(四)高品質(zhì)因素的影響品質(zhì)因素定義為包括了兩方面的影響高，若諧振頻率一定，則小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳低，則相反第58頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：當(dāng)時的情況

當(dāng)在附近時第59頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月邊帶帶寬

高帶窄第61頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：高階系統(tǒng)（極零點靠近虛軸）無損電路，即很小第62頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月有非常靠近虛軸的零極點第64頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.5全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)第65頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.5全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于軸互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)。全通，即幅頻特性為常數(shù)相移肯定不是零第66頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月全通網(wǎng)絡(luò)的零極點分布從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度第67頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例：一些對稱性強的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò)第69頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月最小相移網(wǎng)絡(luò)零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)”非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)第70頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月相互抵消乘第71頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.6系統(tǒng)穩(wěn)定性一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關(guān)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性第72頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點落在左半平面（除虛軸外）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點在右半平面，或虛軸有二階以上重極點，不收斂。邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階極點，等幅震蕩第73頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定系統(tǒng)對零極點的要求

在右半平面不能有極點，全在左半面在虛軸上只能有一階極點分子方次最多比分母方次高一次，即：轉(zhuǎn)移函數(shù)策動點函數(shù)中分母的的因子只能是的形式，其中都是正值，乘得的系數(shù)也是正值。第74頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

從最高次冪到最低次冪無缺項，b0

可以為零。要么全部缺偶次項要么全部缺奇次項的性質(zhì)也使用于第75頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月2.羅斯-霍爾維茲準則設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是實常數(shù)。H(s)的分母多項式為第76頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。

A(s)為霍爾維茲多項式的必要條件是：A(s)的各項系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實數(shù)或全為負實數(shù)。若ai全為負實數(shù)，可把負號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai＞0。顯然，若A(s)為霍爾維茲多項式，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則(R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。第77頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則

(R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準則)。第78頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算：第79頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

羅斯判據(jù)(羅斯準則)

指出：多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號改變的次數(shù)(從正值到負值或從負值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。第80頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式，故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。第81頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.8-2

已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。第82頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

解H1(s)的分母多項式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項式的系數(shù)符號不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項式無缺項且系數(shù)全為正值，因此，進一步用R-H準則判斷。H3(s)的分母為A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為第83頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)式(4.8-20)和式(4.8-21)，得因為A3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準則，H3(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第84頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4.8-3

圖4.8-4所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為圖4.8-4例4.8-3圖K取何值時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第85頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月解令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得第86頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得第87頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(4.8-20)和式(4.8-21)計算陣列的未知元素，得到陣列為根據(jù)R-H準則，若和-K＞0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)以上條件，當(dāng)K＜0時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第88頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月4.8.5拉普拉斯變換與傅里葉變換

若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里葉變換F(jω)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為

由于s=σ+jω，因此，若能使σ=Re［s］等于零，則F(s)就等于F(jω)。但是，能否使σ等于零，這取決于F(s)的收斂域。

F(s)的收斂域為Re［s］＞σ0,σ0為實數(shù)，稱為收斂坐標。σ0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。第89頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月1.σ0＜0

如果σ0＜0，則F(s)的收斂域包含jω軸(虛軸)，F(xiàn)(s)在jω軸上收斂。若令σ=0，即令s=jω，則F(s)存在。這時，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=jω，則F(s)等于F(jω)。即例如，，其單邊拉普拉斯變換為

的傅里葉變換為第90頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月2.σ0=0

若收斂坐標σ0=0，F(xiàn)(s)的收斂域為Re［s］＞0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含jω軸，故F(s)在jω軸上不收斂。若令s=jω，則F(s)不等于F(jω)。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為m個一階極點jβi(i=1,2,…,m)。將F(s)展開為部分分式，表示為式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點對應(yīng)的分式。令FN(s)的原函數(shù)為fN(t)，則F(s)的原函數(shù)為第91頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月

的傅里葉變換為由于是的原函數(shù)，并且的極點在左半面，故第92頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于ε(t)的傅里葉變換為 ，因此得第93頁，課件共101頁，創(chuàng)作于2023年2月