概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)計(jì)劃1章隨機(jī)事件及其概率1〕隨假如一個(gè)在同樣條件下能夠重復(fù)行，而每次的可能果機(jī)不只一個(gè)，但內(nèi)行一次以前卻不可以斷言它出哪個(gè)果，和隨機(jī)稱種隨機(jī)。事件的可能果稱隨機(jī)事件。在一個(gè)下，不論事件有多少個(gè)，能夠從此中找出一事件，它擁有以下性：①每行一次，必生且只好生一中的一個(gè)事件；2〕基②任何事件，都是由一中的局部事件成的。本領(lǐng)一事件中的每一個(gè)事件稱根本領(lǐng)件，用來(lái)表示。件、根本領(lǐng)件的全體，稱的本空，用表示。本空一個(gè)事件就是由中的局部點(diǎn)〔根本領(lǐng)件〕成的會(huì)合。往常用大和事件寫(xiě)字母A，B，C，?表示事件，它是的子集。必定事件，?不行能事件。不行能事件〔?〕的概率零，而概率零的事件不必定是不行能事件；同理，必定事件〔Ω〕的概率1，而概率1的事件也不必定是必定事件。①關(guān)系：假如事件A的成局部也是事件B的成局部，〔A生必有事件B〔3〕事生〕：AB件的關(guān)假如同有AB，BA，稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：系與運(yùn)A=B。算A、B中起碼有一個(gè)生的事件：AB，或許A+B。屬于A而不屬于B的局部所組成的事件，稱A與B的差，A-B，也可表示A-AB或許AB，它表示A生而B(niǎo)不生的事件。A、B同生：AB，或許AB。AB=?，表示A與B不行能同生，稱事件A與事件B互不相容或許互斥。根本領(lǐng)件是互不相容的。-A稱事件A的逆事件，或稱A的立事件，A。它表示A不生的事件?；コ馕幢亓?。②運(yùn)算：合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分派率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)AiAiB，AB德摩根率：i1i1ABAAB本空，A事件，每一個(gè)事件A都有一個(gè)數(shù)P(A)，〔4〕概假定足以下三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，率的公2°P(Ω)=1理化定3°于兩兩互不相容的事件A1，A2，?有PAiP(Ai)i1i1稱P(A)事件A的概率。1°1,2n，2°P(1)P(2)P(n)1?！?〕古n任一事件A，它是由1,2m成的，有典概型P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)A所包括的根本領(lǐng)件數(shù)根本領(lǐng)件總數(shù)6〕幾假定隨機(jī)的果無(wú)窮不行數(shù)而且每個(gè)果出的可能性均勻，何概型同本空中的每一個(gè)根本領(lǐng)件能夠使用一個(gè)有界地區(qū)來(lái)描繪，稱此隨機(jī)幾何概型。任一事件A，P(A)L(A)。此中L幾何胸懷〔度、面、體〕。L( )P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)〔7〕加當(dāng)AB不相容P(AB)＝0，P(A+B)=P(A)+P(B)法公式AB獨(dú)立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)〔8〕減當(dāng)BA，P(A-B)=P(A)-P(B)法公式A=Ω，P(B)=1-P(B)定A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(AB)事件A生條P(A)〔9〕條件下，事件B生的條件概率，P(B/A)P(AB)。P(A)件概率條件概率是概率的一種，全部概率的性都合適于條件概率。比如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)〔10〕乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，事件A1，A2，?An，假定P(A1A2?An-1)>0，有乘法公P(A1A2?An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An1)。式①兩個(gè)事件的獨(dú)立性事件A、B足P(AB)P(A)P(B)，稱事件A、B是互相獨(dú)立的。假定事件A、B互相獨(dú)立，且P(A)0，有P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)〔11〕P(A)假定事件A、B互相獨(dú)立，可獲得A與B、A與B、A與B也都相獨(dú)立性互獨(dú)立。和不行能事件?與任何事件都互相獨(dú)立。必定事件?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性ABC是三個(gè)事件，假如足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)而且同足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C互相獨(dú)立。于n個(gè)事件似。事件B1,B2,,Bn足1°B1,B2,,Bn兩兩互不相容，P(Bi)0(i1,2,,n)，n〔12〕ABi2°i1，有全概公P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。式全概率公式解決的是多個(gè)原由造成的果，全概率公式的型：將可當(dāng)作分兩步做，假如要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；事件B1，B2，?，Bn及A足1°B1，B2，?，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0，i1，2，?，n，n2°〔13〕

ABi0，i1，P(A)葉斯公式14〕伯努利概型

P(Bi/A)nP(Bi)P(A/Bi)，i=1，2，?n。P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即葉斯公式。P(Bi)，〔i1，2，?，n〕，往常叫先概率。P(Bi/A)，〔i1，2，?，〕，往常稱后概率。葉斯公式反應(yīng)了“因果〞的概率律，并作出了“由果朔因〞的推測(cè)。將可當(dāng)作分兩步做，假如求在第二步某事件生條件下第一步某事件的概率，就用葉斯公式。我作了n次，且足每次只有兩種可能果，A生或A不生；n次是重復(fù)行的，即A生的概率每次均一；每次是獨(dú)立的，即每次A生與否與其余次A生與否是互不影響的。種稱伯努利概型，或稱n重伯努利。用p表示每次A生的概率，A生的概率1pq，用Pn(k)表示n重伯努利中A出k(0kn)次的概率，Pkknkn第二章隨機(jī)量及其散布〔1〕失散型隨機(jī)量X的可能取Xk(k=1,2,?)且取各個(gè)的概率，即事件(X=Xk)的概率P(X=xk)=pk，k=1,2,?，離散稱上式失散型隨機(jī)量X的概率散布或散布律。有也用分型隨布列的形式出：X|x1,x2,,xk,機(jī)P(Xxk)p1,p2,,pk,。量的然散布律足以下條件：pk1分布〔1〕pk0，k1,2,，〔2〕k1。律〔2〕F(x)是隨機(jī)量X的散布函數(shù)，假定存在非函數(shù)f(x)，隨意數(shù)，有xF(x)f(x)dx，型隨稱X型隨機(jī)量。f(x)稱X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，機(jī)稱概率密度。密度函數(shù)擁有下邊4個(gè)性：量的1、f(x)0。分布2、f(x)dx1。3、P(x1Xx2)F(x2)F(x1)x2密度f(wàn)(x)dxx14、P(x=a)=0,a常數(shù)，型隨機(jī)量取個(gè)的概率0〔3〕設(shè)X為隨機(jī)變量，x是隨意實(shí)數(shù)，那么函數(shù)分布F(x)P(Xx)函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的散布函數(shù)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)積累函數(shù)。P(aXb)F(b)F(a)能夠獲得X落入?yún)^(qū)間(a,b]的概率。散布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間〔–∞，x]內(nèi)的概率。散布函數(shù)擁有以下性質(zhì)：1°0F(x)1,x；2°F(x)是單一不減的函數(shù)，即x1x2時(shí)，有F(x1)F(x2)；3°F()limF(x)0，F(xiàn)()limF(x)1；xx4°F(x0)F(x)，即F(x)是右連續(xù)的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。對(duì)于失散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk；xkx對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，xF(x)f(x)dx。4〕0-1分P(X=1)=p,P(X=0)=q六大布散布二項(xiàng)分

在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件

A發(fā)生的概率為

p。事件

A發(fā)生布

的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為

X，那么

X可能取值為

0,1,2,

,n

。P(X

k)

Pn(k)

Cnkpkqnk，此中

q

1p,0

p1,k

0,1,2,

,n

，那么稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)散布。記為X~B(n,p)。當(dāng)

n

1時(shí)，

P(X

k)

pkq1k，k0.1，這就是〔

0-1〕散布，所以〔0-1〕散布是二項(xiàng)散布的特例。泊松分設(shè)隨機(jī)變量X的散布律為布kP(Xk)e，0，k0,1,2，k!那么稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為的泊松散布，記為X~( )或許均勻分布指數(shù)分布

P()。泊松散布為二項(xiàng)散布的極限散布〔np=λ，n→∞〕。設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在[a，b]上為常數(shù)1，即?ba1a≤x≤bf(x),ba其余，0,那么稱隨機(jī)變量X在[a，b]上聽(tīng)從均勻散布，記為X~U(a，b)。散布函數(shù)為??0，x<a，xa,?≤x≤bbaaF(x)xf(x)dx?1，x>b。當(dāng)a≤x<x≤b時(shí)，X落在區(qū)間〔x1,x2〕內(nèi)的概率為12P(x1Xx2)x2x1。ba?ex,x0,f(x)?x0,0,??此中0，那么稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為的指數(shù)散布。正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1(x)2e22，x，f(x)2此中、0為常數(shù)，那么稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為、的正態(tài)散布或高斯〔Gauss〕散布，記為X~N(,2)。(x)擁有以下性質(zhì)：1°f(x)的圖形是對(duì)于x對(duì)稱的；2°當(dāng)x1為最大值；時(shí)，f( )假定X~N(2,2)，那么X的散布函數(shù)為F(x)?21???edt參數(shù)0、1時(shí)的正態(tài)散布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布，記為X~N(0,1)，其x密度函數(shù)記為12(x)e22，，x散布函數(shù)為t21x(x)e2dt。2(x)是不行求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝1。假如X~N(,2)，那么X2~N(0,1)。P(x1Xx2)x2x1。〔6〕下分位表：P(X)＝；分位上分位表：P(X)＝。數(shù)〔7〕失散型X的散布列為Xx,x,,x,?12n，函數(shù)xi)p1,p2,,pn,P(X的分Yg(X)的散布列〔yig(xi)互不相等〕以下：Yg(x1),g(x2),,g(xn),，P(Yyi)p,p,,p,布函pi相加作為g(xi)的概率。假定有某些g(xi)相等，那么應(yīng)將對(duì)應(yīng)的數(shù)連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的散布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二隨機(jī)量及其散布〔1〕失散型假如二隨機(jī)向量〔X，Y〕的全部可能取至多可列合散布

個(gè)有序〔

x,y

〕，稱

失散型隨機(jī)量。=〔X，Y〕的全部可能取

(xi,yj)(i,j

1,2,

)，且事件

{

=(xi

,

yj)

}

的概率

pij,

,

稱P{(X,Y)

(xi,yj)}

pij

(i,j

1,2,

)=〔X，Y〕的散布律或稱X和Y的合散布律。合散布有也用下邊的概率散布表來(lái)表示：Yy1y2?yj?Xx1pp?p1j?1112x2pp?p2j?2122xp?pij?ii1里pij擁有下邊兩個(gè)性：〔1〕pij≥0〔i,j=1,2,?〕；〔2〕

pij

1.i

j連續(xù)型

對(duì)于二維隨機(jī)向量

(X,Y)

，假如存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(x,y行于坐標(biāo)軸的矩形地區(qū)

)，使對(duì)隨意一個(gè)其鄰邊分別平D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有P{(X,Y)

D}

f(x,y)dxdy,D那么稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=〔X，Y〕的散布密度或稱為X和Y的結(jié)合散布密度。散布密度f(wàn)(x,y)擁有下邊兩個(gè)性質(zhì)：〔1〕

f(x,y)

≥0;〔2〕

f(x,y)dxdy

1.2結(jié)合設(shè)〔X，Y〕為二維隨機(jī)變量，對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)散布函F(x,y)P{Xx,Yy}數(shù)稱為二維隨機(jī)向量〔X，Y〕的散布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的結(jié)合散布函數(shù)。散布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件{(1,2)|X(1)x,Y(2)y}的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。散布函數(shù)F(x,y)擁有以下的根天性質(zhì)：1〕0F(x,y)1;2〕F〔x,y〕分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F〔x2,y〕≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)≥F(x,y1);〔3〕F〔x,y〕分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);〔4〕F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.〔5〕對(duì)于x1x2，y1y2，P(x1<x≤x2,y1<y≤y2)=F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)03邊沿失散型X的邊沿散布為散布Pi?P(Xxi)pij(i,j1,2,)；jY的邊沿散布為P?jP(Yyj)pij(i,j1,2,)。i連續(xù)型X的邊沿散布密度為fX(x)f(x,y)dy；的邊沿散布密度為fY(y)f(x,y)dx.4條件失散型在X=xi的條件下，Y取值的條件散布為散布P(Yyj|Xxi)pij；pi?在Y=y的條件下，X取值的條件散布為jP(Xxi|Yyj)pij,p?j連續(xù)型在Y=y的條件下，X的條件散布密度為f(x|y)f(x,y)；fY(y)在X=x的條件下，Y的條件散布密度為f(y|x)f(x,y)fX(x)5獨(dú)立一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)性失散型pijpi?p?j有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形22(x1)(y2)2二維正11x1y22(12)1122f(x,y)e,21212態(tài)散布0隨機(jī)假定X1,X2,?Xm,Xm+1,?Xn互相獨(dú)立，h,g函數(shù)，：量的函h〔X1，X2,?Xm〕和g〔Xm+1,?Xn〕互相獨(dú)立。數(shù)特例：假定X與Y獨(dú)立，：h〔X〕和g〔Y〕獨(dú)立。比如：假定X與Y獨(dú)立，：3X+1和5Y-2獨(dú)立。6二隨機(jī)向量〔X，Y〕的散布密度函數(shù)均勻分布

1(x,y)DSDf(x,y)0,其余此中SD地區(qū)D的面，稱〔X，Y〕聽(tīng)從D上的均勻散布，X，Y〕～U〔D〕。7正隨機(jī)向量〔X，Y〕的散布密度函數(shù)散布2211x12(x1)(y2)y2f(x,y)2(12)1122e,21212此中1,2,10,20,||1是5個(gè)參數(shù)，稱〔X，Y〕聽(tīng)從二正散布，〔X，Y〕～N〔1,2,12,22,).由密度的算公式，能夠推出二正散布的兩個(gè)散布仍正散布，X～N〔1,12),Y~N(2,22).可是假定X～N〔1,12),Y~N(2,22)，(X，Y)未必是二正散布。8函數(shù)Z=X+Y依據(jù)定算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)的散布于型，fZ(z)＝f(x,zx)dx兩個(gè)獨(dú)立的正散布的和仍正散布〔12,1222〕。個(gè)互相獨(dú)立的正散布的性合，仍聽(tīng)從正散布。Cii，222CiiiiZ=max,m假定X1,X2Xn互相獨(dú)立，其散布函數(shù)分in(X1,X2x1x2xn，Z=max,min(X,X,?X)的散布函F(x)，F(xiàn)(x)F(x)12n?Xn)數(shù)：Fmax(x)Fx1(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1[1Fx1(x)]?[1Fx2(x)][1Fxn(x)]第四章隨機(jī)量的數(shù)字特點(diǎn)〔1〕一失散型型隨機(jī)希望X是失散型隨機(jī)X是型隨機(jī)量，其概率密量的希望就是量，其散布律度f(wàn)(x)，數(shù)字特均勻P(Xxk)＝pk，E(X)xf(x)dx征k=1,2,?,n，〔要求收〕nE(X)xkpkk1〔要求收〕函數(shù)的期Y=g(X)Y=g(X)望nE(Y)g(xk)pkE(Y)g(x)f(x)dxk12〕期望的性質(zhì)3〕方差的性質(zhì)

方差D(X)[xkE(X)]2pk2kD(X)[xE(X)]f(x)dxD(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差(X)D(X)1〕E(C)=C2〕E(CX)=CE(X)nn〔3〕E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CiXi)CiE(Xi)i1i14〕E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不有關(guān)。1〕D(C)=0；E(C)=C2〕D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)3〕D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b4〕D(X)=E(X2)-E2(X)5〕D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不有關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無(wú)條件建立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件建立。希望方差B(1,p)p

p(1p)B(n,p)np泊松散布

np(1p)P( )U(a,b)〔4〕常指數(shù)見(jiàn)散布散布的希望e( )和方差N(,2)5〕二希望維隨機(jī)變量的數(shù)字