北師大版初三上課后習題及答案

北師大版初三上課后習題及答案

第一章特殊平行四邊形

習題1-1

1.已知：如圖，在菱形ABCD中，NBAD=2NB.求證：AABC是等邊三角

形.

2.如圖，在菱形ABCD中,BD=6,AC=8,求菱形ABCD的周長.

3.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點o.求證：AC

平分NBAD和NBCD,BD平分NABC和4ADC

4.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,團中有多少個

等接三角形和直角三角形？

1.證明:V四邊形ABCD是菱形，BC=AB,BC//AD,/.ZB+ZBAD=180°

(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補).

VZBAD=2ZB,AZB+2ZB=180°,AZB=60°.YBC=AB,

ABC是等邊三角形(有一個角為60°的等腰三角形的等邊三角形).

2.解：四邊形ABCD是菱形，,AD=DC=CB=BA,AC±BD,A0=l/2AC=

l/2x8=4,D0=1/2BD=l/2x6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得

AD=V(AO2+DO2)=V(42+32)=5./.菱形ABCD的周長為4AD=4x5=20.

3,證明：,/四邊形ABCD是菱形，AD=AB,AC士BD,DO=BO,.*.△ABD是

等腰三角形，I.A0是等腰△ABD低邊BD上的高，中線，也是ZDAB的

平分線，AC平分ZBAD.

同理可證AC平分ZBCD,BD平分ZABC和ZADC.

4.解：有4個等腰三角形和4個直角三角形.

習題1-2

1.已知：如圖.在平行四邊形ABCD中.對角線AC的垂直平分線分別與

AD.AC.BC相交于點E,0,F.求言正：四迫形AFCE是菱形.

2.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD和交于點0,點E,

F,G,H分別

是0A,OB,0C,CD的中點，求證：四邊形EFGH是菱形。

3.如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC,AD>CD,將紙片沿過點D的

直線折疊，使點C落在AD上的點C'處，折痕DE交BC于點E,連接

CE.你能確定時邊形CDC*E的形狀嗎?證明你的結(jié)論.

答案：

1.證明：在IZ1ABCD中，AD//BC,AZEA0=ZFC0（兩直線平行，內(nèi)錯角

相等）.

EF是AC的垂直平分線，A0=C0.在△A0E和△C0F中，

ZEAO=ZFCO,

<AO=CO,

、ZAOE=COF,

/.△AOE之△COF(ASA),/.AE=CF.：AE//CF,

...四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

???EF士AC,四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

2.證明：?.?四邊形ABCD是菱形，二AC±BD,OA=OC,OB=OD.又點

E,F,G,H,分別是OA,OB,OC,0D的中點,

OE=1/2OA,0G=l/2OG,0F=1/2OB,0H=1/2OD,OE=OG,OF=OH,

四邊形EFGH是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

?/AC±BD,即EG±HF,/.平行四邊形EFGH是菱形（對角線互相垂直的

平行四邊形是菱形）.

3.解：四邊形CDOE是菱形.

證明如下：由題意得，△C'DECDE.所以NCZDE=ZCDE,C”

D=CD,CE=C~E.又因為AD//BC,所以/CZDE=ZCED,所以/CDE=Z

CED,所以CD=CE（等角對等邊），所以CD=CE=C,E=C,D,所以四邊形CDOE是

菱形（四邊相等的四邊形是菱形）

習題1-3

1.已知，如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，且BE=BF,

求證：（l）Z\ADE^ACDF,（2）ZDEF=ZDFE

2.證明：菱形的面積等于其對角線長的乘積的一半。

3.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點0,且AC=16,BD=12,

求菱形ABCD的高DH.

4.已知：如圖，在四邊形ABCD巾,AD=BC,點E,F,C,H分別足AB,

CD,AC,BD的中點，求證：四邊形EGFH是菱形

5.如圖，你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使NA為

菱形的一個內(nèi)角嗎？

答案:

1.證明：(1)四邊形ABCD是菱形,

AD=CD,AB=CB,ZA=ZC.

,?BE=BF,AB-BE=CB-BF,即AE=CF.

(AD=CD,

(NA=/C,ADE=△CDF(SAS).

在△ADE和CDF中，lAE=CF,

(2)VAADECDF,Z.DE=DF,AZDEF=ZDFE

(等邊對等角).

2.已知：如圖1-1-35所示，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是對角線.

圖1-1-35

求證：S菱形ABCD=l/2AC-BD.證明：Y四邊形ABCD是菱形，Z.AC±

BD,AO=CO,BO=DO./.S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△C0D=l/2AO.BO.

S菱形ABCD=4xl/2AO-BO=l/2x2A0-2B0=l/2AC-BD.

3.解：在菱形ABCD中，AC±BD,AZA0B=90°,A0=1/2AC=1/2x16=8,

B0=1/2BD=1/2x12=6.

在Rt△AOB中,由勾股定理，得AB=V（AO"2+BO"2）=V（8"2+6"2）=10.

S菱形ABCD=l/2AC-BD=1/2x16x12=96,

又DH±AB,S菱形ABCD=AB-DH,

96=AB-DH,即96=10DH,DH=9.6.

二菱形ABCD的高DH為9.6.

4.證明：???點E,F,G,H分別是AB,CD,AC,BD,的中點，GF是△ADC的

中位線，EH是△ABD的中位線,GF//AD,GF=l/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,

/.GF//EH,GF=EH,四邊形EGFH是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊

形是平行四邊形），

又,/FH是△BDC的中位線，，F(xiàn)H=l/2BC.

又???AD=BC,I.GF=FH,二平行四邊形EGFH是菱形（一組鄰邊相等的平行四

邊形是菱形）.

5.略

1.一個矩形的對角線長為6,對角線與一邊的夾角是45,求這個矩形

的各邊長,

2.一個矩形的兩條對角線的一個夾角為60°,對角線長為15,求這個

矩形較短邊的長.

3.如圖，在RSABC中，NACB=90。，D為AB的中點,AE//CD,CE〃AB,

試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結(jié)論。

4.證明，如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三

角形是直角三角形。

答案:

圖1-2-33圖1-2-34圖1-2-35

1.解：如圖1-2-33所示，設這個矩形為ABCD,兩條對角線相交于點0,

0A=0B=3.在△AOB中，ZOAB=Z0BA=45°，于是NA0B=90°,

AB=V(0B"2+0A"2)=3V2,同理AD=3V2,所以BC=AD=3V2AB=DC=3V2

所以這個矩形的各邊長都是3V2.

2.解:如圖1-2-34所示，

設這個矩形AB-CD兩條對角線相交于點0,ZA0B=60°,AC=BD=15,

AO=1/2AC=7.5,B0=l/2BD=7.5,OA=OB,

AOB是等邊三角形，AB=7.5.

3.解：四邊形ADCE是菱形.

證明如下：在Rt△ABC中，ZACB=90°,D為AB的中點，,CD=l/2

AB,AD=1/2AB,

AD=CD.AE//CD,CE//AD,Z.四邊形ADCE是平行四邊形.

又???AD=CD,I.平行四邊形ADCE是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱

形）

4.已知:如圖1-2-35所示，

在△ABC中，B0為AC邊上的中線，B0=l/2AC.

求證：△ABC是直角三角形.

證明：如圖1-2-35所示，延長B0到D,使BO=DO,連接AD,CD.

AO=CO,BO=DO,，四邊形ABCD是矩形.AZABC=90°.

/.△ABC是直角三角形.

習題1-5

1.如圖，在AABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD至E,使DE=AD,

連接BE,CE.

⑴試判斷四邊形ABEC的形狀；

⑵當4ABC滿足什么條件時，四邊形ABEC是矩形？

2.如圖，點B在MN上，過AB的中點。作MN的平行線，分別交NABM

的平分線

和NABN的平分線于點C,D試判斷四邊形ACBD的形狀，并證明你的

結(jié)論

3如圖，已知菱形ARCD,畫一個矩形，使得A,B,C,D四點分別在矩

形的四條邊上，且矩形的面積為菱形ABCD面積的2倍.

D

（第3題）

答案：

1.解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四

邊形）.

（2）當△ABC是直角三角形，即ZBAC=90°時，四邊形ABEC

是矩形.

圖1-2-37

2.解：四邊形ACBD是矩形.證明如下：如圖1-2-36所示.

CD//MN,，Z2=Z4.BD平分ZABN,AZ1=Z4,Z1=Z

2,二OB=OD（等角對等邊）.同理可證OB=OC,OC=OD.：0是AB的

中點，OA=OB,

...四邊形ACBD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又,/BC平分ZABM,AZ3=1/2ZABM.BD平分ZABN,AZ1=

1/2ZABN.

ZABM+ZABN=180°,/.2Z3+2Z1=180",AZ3+Z1=90°,即

ZCBD=90°.

???平行四邊形ACBD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

3.解：做法如下：如圖1-2-37所示,

（1）連接AC,BD;

(2)過A,C兩點分別作EF//BD,GH//BD;

(3)同法作FG//AC,EH//AH,與EF,GH交于四個點E,F,G,H,則

矩形EFGH即為所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.

習題1-6

1.如圖，在矩形ABCD中，對角AC與BD相交于點0,ZABC=30°,BD=4,

求矩形ABCD的面積.

2.如圖，在矩影ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點A作BD的

垂線，垂足為E,已知NEAD=3NBAE,求NEA0的度數(shù)。

3.已知：如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC的中點，四邊多ABDE是

平行四邊形,

求證：四邊影ADCE是矩形。

(第3題)

4.如圖，在矩彤紙片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,將矩彤紙片折疊,

使點C與點A重合，請在圖中畫出折痕，并求折痕的長。

D

B------------------------------------------C

（第4題）

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3.AD=4,P是AD上不與A和D重合的

一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，番足為E,F求PE+PF的

值。

（第5期）

答案：

1.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4,ZABC=90°,ZACB=30°,：.AB=

1/2AC=1/2X4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=V(AC*2-AB*2)=

V(4-2-2"2)=2V3.

/.S矩形ABCD=BC-AB=273X2=4V3.

2.解：在矩形ABCD中，ZBAD=90°,即ZBAE+ZEAD=90°.

VZEAD=3ZBAE,AZBAE+3ZBAE=90°,ZBAE=22.5°.

AZEAD=3ZBAE=3X22.5°=67.5°.；AE±BO,AZAEB=90°,AZ

BAE+ZABE=90°,即22.5°+NABE=90°,AZABE=67.5°.

AC=BC,0A=l/2AC,0B=1/2BD,，OA=OB,AZOAB=ZABE=67.5°.

,/ZEAO+ZBAE=ZOAB,/.ZEAO=ZOAB-ZBAE=67.5°-22.5°

=45°.

3.證明：YD是BC的中點，BD=CD.

,/四邊形ABDE是平行四邊形，，AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四邊形的性

質(zhì)）.二AE=CD.

???AE//CD,四邊形ADCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的平行四邊形

是矩形）.

???AB=AC,ED=AC,平行四邊形ADCE是矩形（一組對邊平行且相等的

四邊形是平行四邊形）.

X4.解:將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合得到的圖形如圖1-2-38

所示.

折痕為EF，則AE=CE,EF垂直平分AC，連接AC交EF于點0，在矩形ABCD

中，ZB=90°，BC=8cm,設CE=xcm，則AE=xcm，BE=BC-CE=（8-x）

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2,X2=62+(8-x)2,解得

x=25/2,即EC=25/4cm.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=V(AB"2+BC"2)=V(6"2+8"2)=1Ocm.

0C=l/2=AC=l/2X10=5cm.

EF±AC,AZE0C=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得E02=EC2-0C

2,E0=V(E0"2-0C'2)=V((25/4)"2-5"2)=15/4cm,：.折痕EF=2E0=2

X15/4=15/2cm.

X5.解：如圖1-2-39所不，

連接P0.S矩形ABCD=AB.BC=3X4=12.在Rt△ABC中，AC=BV(AB2+BC2)=

J(32+42)=5.又因為AC=BD,A0=1/2AC,DC=1/2BD,

所以A0=D0=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD=1/2AO.PE+1/2DO-PE=

1/2AO(PE+PE)=1/2X5/2(PE+PE)=5/4(PE+PE).又因為S

△AOD=1/4S矩形ABCD=1/4X12=3，所以5/4(PE+PE)=3,解得

PE+PE=12/5.

習題1-7

1.對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？

2.如圖，四邊形ABCD是正方形，ACBE是等邊三角形，求NAEB的度

數(shù).

3.如圖，A,B,C,D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個角上，

倉庫P和Q分別位于AD和DC上，且PD=QC.證明兩條直路BP=AQ且

派4.在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小

路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）.你

有幾種方法？（至少說出三種）

答案

1.解：設正方形的邊長為為想xcm,則x2+x2=22,解得x=J2,即正方形

的邊長為V2cm.

2.解：四邊形ABCD是正方形，:.乙ABC=ZDCB=90°,AB=BC=DC.

VACBE是等邊三角形，,BE=EC=CB,ZEBC=ZECB=60°.

AZABE=30°.

AB=BE,

.'.ZAEB=BAE=(180°-ZABE)/2=(180°-30°)/2=75°.

3.證明：如圖1-3-24所示，

???四邊形ABCD是正方形，

，AD=D,ZBAD=ZD=90°,AB=DA.

,/PD=QC,

...AP=DQ

?.△ABPDAQ.

BP=AQ,Z1=Z2.

VZ2+Z3=90°,

AZ1+Z3=90°,

即BP1AQ.

X4.解：過正方形兩條對角線的交點任意做兩條互相垂直的直線，即可將正方

形分成大小，形狀完全相同的四部分.答案不唯一，如圖1-3-25所以方法僅

供參考.

4^,P.n

:E0S3

圖

圖1-3-241-3-25

習題1-8

1.證明：對角線相等的菱形是正方形.

2.已知：如圖，E,F是正方形ABCD的對角線BD上的兩點，且BE=DE.

求證：四邊形AECF是菱形。

（第2題）

3.如圖，在正方形ABCD中，E,F,G,H分別在它的四條邊上，且

AE=BF=CG=DH.

四邊形EFGH是什么特殊四邊形?你是如何判斷的?

（第3題）

4.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點0,正方形A'B'C'0與正方形

ABCD的邊長相等.在正方形A'B'C，。繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正

方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系?請證明你的

結(jié)論.

（第4題）

答案:

1.答案：對角線相等的菱形是正方形.

已知：如圖1-3-7（3）所示，四邊形ABCD是菱形，AC,BD是對角線，且

AC=DC.

求證：四邊形ABCD是正方形.

證明：?/四邊形ABCD是菱形，/.AD=BC.

又"/AB=BA,BD=AC,.*.△ABD且△BAC(SSS).AZDAB=ZCBA.

又：AD//bc,AZdab+Zcba=180°.AZDAB=ZCBA=90°.

...四邊形ABCD是正方形.

2.證明：???四邊形ABCD是正方形，

AD=CB,AD//CB,

.\ZADF=ZCBE.

在△ADF和=ZCBE中，

'AD=CB,

■ZADF=ZCBE,

、BE=DF,

ADFCBE（SAS）,

\AF=CF,ZAFD=ZCEB.

ZZAFD+ZAFE=180°,ZCEB+NCEF=180°,

AFE=ZCEF（等角的補角相等）.

AF//CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

?.四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

AD=AB,

.'.ZADF=ZABE.

在△AFD和AEB中,

'AD=AB,

,ZADF=ZABE,

、DF=BE,

/.△AFDAEB(SAS).

AF=AE,

...四邊形AECF是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).

3.解：四邊形EFGH是正方形.

在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.

因為AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,

即BE=CF=DG=AH.

所以△AEHg△BFEg△CGFg△DHG(SAS),所以Z

AEH,HE=EF=FG=GH,所以四邊形EFGH是菱形.

因為/AEH+ZAHE=90°,

所以NDHG+ZAHE=90°,

所以NEHG=90°,所以菱形EFGH是正方形.

4.解：重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的1/4.

證明如下：重疊部分為等腰直角三角形時，重疊部分為面積為正方形ABCD面積

的1/4,即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=1/4S正方形ABCD.

重疊部分為四邊形是，如圖1-3-26所示.設0A'與AB相交于點E,OC'

與BC相交于點F.

,/四邊形ABCD是正方形，

二OA=OB,ZEAO=ZFB0=45°,AO±BD.

又VZA0E=90°-ZEOB,ZB0F=90°-ZEOB,

AZAOE=ZBOF,

/.△AOEBOF.

二S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,

二S△AOB=S四邊形EBFO.

又S△A0B=l/4S正方形EBFO.

Z.S四邊形EBF0=l/4S正方形ABCD.

第一章復習題

(1-5)

1.一個菱形的兩條對角線的長分別為4cm和8cm,求它的邊長。

2.如圖，若四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,且0A=0B=0C=

0D=J2/2AB,則四邊形ABCD是正方形嗎？

(第2題)

3.如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，那

么這個四邊形一定是菱形嗎?為什么？

4.一個菱形的周長是200cm,一條對角線長60cm,求：

(1)另一條對角線的長度；

⑵菱形的面積.

5.證明：如果四邊形兩條對角線互相垂直且相等，那么以它

的四邊中點為頂點可組成一個正方形

答案：

1.解：設該菱形為菱形ABCD,兩對角線交于點0,則△AOB為直角三角形,

直角邊長分別為2cm和4cm,則有勾股定理，得AB=J(0A-2+0B-2)=J

(2"2+4"2)=2V5(cm),

即林習慣的邊長為2J5cm.

2.解：由OA=OB=V2/2AB,可知0A-2+0B-2=AB-2,則ZA0B=90°.

因為OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，

故四邊形ABCD必是正方形.

3.解：不一定是菱形，因為也可能是矩形.

4.已知：如圖1-4-20所示，菱形BACD中，對角線AC,BD相交于點

0,AC=60cm，周長為200cm.求（1）BD的長；（2）菱形的面積.

解：(1)因為菱形四邊相等，對角線互相垂直平分，所以AB=1/4X200=50

(cm),

ACJ_BD且0A=0C=1/2AC=1/2X60=30(cm),0B=0D.在Rt△AOB中，

0B=V(AB2-AO2)=V(502-302)=40(cm).

所以BD=20B=80cm.

(2)S菱形ABCD=l/2AC-BD=1/2X60X80=2400(cm'2).

5.已知：如圖1-4-21所示，在四邊形AB-CD,對角線AC±BD,E,F,P,Q分

別為邊AB,BC,CD,DA的中點.

求證：四邊形EFPQ為正方形.

證明：???E,Q分別為B,AD的中點，

同理/-BD,EF/Z工AC,E(yZFP.

.-.EQ/=/23D.=E2M=2=

二四邊形EFPQ為平行四邊形.

AC=BD,EF=EQ.

???CEFPQ為菱形.

*/AC±BD,/.EF±EQ.

AZQEF=90°.

菱形EFPQ是正方形.

(6-10)

6.如圖，四邊形ABCD是一個正方形，E是BC延長線上一點，且AC=EC,

求NDAE的度數(shù).

（第6題）

7.（1）如果一個菱形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90后，所得圖形與原來的

圖形重合，那么這個菱形是正方形嗎？為什么？

⑵如果一個四邊形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°后，所得圖形與原來的

圖形重合，那么這個四邊形是正方形嗎?為什么？

8.已知：如圖，AD是AABC的角平分線，過點D分別作AC和AB的平

行線，交AB于點E,交AC于點F.求證：四邊形AEDF是菱形.

（第8題）

9.已知：ZXABC的兩條高分別為BE,CF,點M為BC的中點.求證:ME=MF.

10.已知正方形的對角線的長為L,求這個正方形的周長和面積

答案

6.解AC=EC,AZCEA=ZCAE.由四邊形ABCD是正方形.得AD//BE,

AZDAE=ZCEA=ZCAE.

又ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°,

AZDAE=l/2ZDAC=1/2X45°=22.5°.

7.解：（1）是正方形，因為對角線相等的菱形必為正方形.

（2）是正方形，因為這個四邊形的對角線相等，四條邊也相等.

8.證明：如圖1-4-22所示，

AD平分ZBAC,AZ1=Z2.

,/DE//AC,AZ2=Z3.

.\Z1=Z3.AE=DE.

DE//AC,DF//AB,

二四邊形AEDF是平行四邊形.

又AE=DE,QAEDF是菱形.

9.證明:如圖1-4-23所示,

BE±AC,ME為Rt△BEC的中線，

/.ME=1/2BC.

同理MF=1/2BC,ME=MF.

10.已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC=BD=1.求正方形的周長和面積.

解：正方形ABCD中，AB=BC,ZB=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,2AB

2=y,所以AB=V2/21.所以正方形的周長=4AB=4XV2/21=2V21,S四邊形

ABCD=AB"2=(J2/21)"2=1/21-2.

（11-15）

11已知:如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,點C

作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩線相交于點P.求證：四邊

形C0DP是菱形.

（第】1題）

12.已知:如圖，在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點0,點M,P,

N,Q分別在AO,BO,CO,DO上，且AM=BP=CN=DQ.求證：四邊形MPNQ

是形.

（第12鹿）

13.已知：如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,CD是0ABC的角平分線,

DE±BC,DF±AC,垂足分別為E,F.求證：四邊形CEDF是正方形，

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm.動點P從點A開始沿AB邊以4cm/s

的速度運動，動點Q從點C開始沿CD邊以lcm/s的速度運動，點P

和點Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時一，另一點也隨之停止運動.

設動點的運動時間為ts,則當t為何值時，四邊形APQD是矩形？

（第14題）

15.如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，重合部分是什么圖形?試說

明理由。

答案：

11.證明：CP//BD,DP//AC,

四邊形CODP是平行四邊形.

四邊形ABCD是矩形，AC=BD.

0C=l/2AC,0D=1/2BD,OC=OD

...四邊形CODP是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

12.證明：四邊形ABCD是矩形，

/.AC=BD.

OA=OC,OB=OD,

又；AM=BP=CN=DQ,

，OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,

...四邊形MPNQ是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,

...MN=PQ,四邊形MPNQ是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）

13.證明：在Rt△ABC中，ZACB=90°,CD平分ZACB,

AZFCD=l/2ZACB=45°.

DF±AC,AZDFC=90°.

在Rt△FCD中,ZFDC=90°-ZFCD=90°-45°=45°

AZFCD=ZFDC,/.FC=FD.

DE±BC,AZDEC=90°.

AZDFC=ZFCE=ZDEC=90°.

...四邊形DFCE是矩形（有個三角是直角的四邊形是矩形）.

?IFC=FD,四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）

14.解：由AP=4tcm,CQ=1cm,

丁四邊形ABCD是矩形，

AB=DC-CQ=（20-t）cm.

DQ=DC-CQ=（20-t）cm.

當四邊形APQD是矩形時，則有DQ=AP,

20-t=4t,解得t=4

二當t為4時，三角形APQD是矩形.

15.解：△BFD是等腰三角形，理由如下：

Y四邊形ABCD是矩形，

AD//BC,AZADB=ZDBC.

VZFBD=ZDBC,

VZFBD=ZADB,BF=DF.

...△BFD是等腰三角形.

（16-21）

16.如圖，把兩個全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如圖所示的圖案,

求NACF,ZAFC的度數(shù).

（第16■）

17.小穎在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但當她拿起來

時，又感覺紗巾不太方，商店老板看她猶豫的樣子，馬上過來將紗巾

沿對角線對折，讓小穎檢驗（如圖）.小穎還是有些疑惑，老板又將紗

巾沿另一條對角線對折，讓小穎檢驗.小穎發(fā)現(xiàn)這兩次對折后兩個對

角都能對齊，終于下決心買下這塊紗巾。你認為小穎買的這塊紗巾一

定是正方形嗎?你認為用什么方法可以檢驗紗巾是不是正方形？

18.已知：如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點E,F,G,

H.求證：四邊形EFGH是矩形.

fi

B

（第18題）

19.你能通過剪切和拼接下列圖形得到一個矩形嗎?在這些剪拼的過

程中，剪下的困形是經(jīng)過怎樣的運動最后拼接在一起的？

⑴平行四邊形；（2）三角形；（3）菱形.

20.將相應的條件填在相應的箭頭上，使得下圖能清楚地表達幾種四

邊形之間的關(guān)系。

（第20腦）

21.已知兩條對角線，利用尺規(guī)作一個菱形.

答案：

16.解由題意知，矩形ABCD四矩形GCDF,

I.AB=FG,BC=GC,AC=FC,

△ABCFGC,

AZACB=NFCG.

VZACB+ZACD=90",

AZFCG+ZACD=90°,

即ZACF=90°.

???AC=CF,ACF是等腰直角三角形.

ZAFC=45°.

17.解不一定，因為還可能是菱形，若要判斷這塊紗巾是否為正方形，還需要檢

驗對角線是否相等.

18.證明：,/四邊形ABCD是平行四邊形，

，BC//DA.

AZDAB+ZABC=180°.

AH平分ZDAB,BH,平分ZABC,

AZHAB=3/2ZDAB,ZHBA=1/2ZABC.

/.ZHAB+ZHBA=90°.

AZH=90°.

同理可證ZF=90°,ZHEF=90°.

，四邊形EFGH是矩形.

19.解：略.提示：如圖1-4-24所示圖形僅供參考.

(1)(2)(3)

圖1~4~24

20.略

21.略

第二章一元二次方程

1.根據(jù)題意，列出一元二次方程：

（1）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,

恰好變成i一個正方形，這個正方形的邊長是多少？

⑵三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242,這三個數(shù)分別是多

少？

2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系

數(shù)、一次項系數(shù)和常

數(shù)項：

?等號的邊相是關(guān)f人出數(shù)的制式的方程?檄力整式方程?

3.從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進屋，橫拿堅拿都進不去，橫著比

門框?qū)?尺,豎著比門框高2尺.他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著

拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去了。你知道竹竿有多長嗎？

請根據(jù)這一問題列出一元二次方程。

答案：

1.解：（1）設這個正方形的邊長是xm,根據(jù)題意，得（x+5）（x+2）=54,

即x2+7x-44=0.

(2)設這三個連續(xù)整數(shù)依次為x,x+1,x+2，根據(jù)題意，得x(x+1)

+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即x2+2x-80=0.

―—融形式二次一二數(shù)|一次項一次|重數(shù)可！

Xr5=5,-]I3——5x+l-3]3I-5I]

1）*6I—+*_8.0J1I1I—8

2._____________^____________________________

3.解：設竹竿長為x尺，

則門框?qū)挒椋▁-4）尺，高為（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）2+（x-2）

"2=x2,即x2-12x+20=0.

習題2-2

1.一個面積為120m2的矩形苗它的長比寬多2m.苗僮[的長和寬各

是多少？

2.有一條長為16m的繩子，你能否用它圍出一個面積為15m2的矩形?

若能，則矩形的長、寬各是多少？

3.一名跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練，在正常情況下，運動員必

須在距水面5m以前完成規(guī)定的翻騰動作，并且調(diào)整好入水姿勢，否

則就容易出現(xiàn)失誤.假設運動員起跳后的運動時間1（s）和運動員距離

水面的高度h（m）之間滿足關(guān)系:h=10+2.5t-5t?.那么他最多有多長

時間完成規(guī)定動作？

答案：

1.解：設苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m.

根據(jù)題意，得x（x+2）=120,即x2+2x-120=0.列表：

由表格知x=10.（當x=-12時，也滿足方程，但不符合實際情況，故舍去）

答：苗圃的寬為10m,長為12m.

2.解：能.設矩形的長為xm,則寬為（8-x）m.

根據(jù)題意，得x（8-x）=15.

整理,得x2-8x+15=0.列表:

12345

j-2-8J-+183

由表格知x=5.（當x=3時，也滿足方程，但不符合實際，故舍去）

答：可用16m長的繩子圍城一個15m2的矩形，其次為5m,寬為3m.

3.解:根據(jù)題意，得10+2.5t-5t2=5，即2t2-t-2=0,列表：

所以l<t<2.進一步列表:

11.11.21.31.4

2tz—t—2—0.68—0.320.080.52

所以1.2<t<l.3.

答：他完成規(guī)定動作的事假最多不超過1.3s.

習題2-3

1.解下列方程：

(1)x2+12x+25=0(2)x2+4x=10

2.如圖，在一塊長35m、寬26nl的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互

相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花

草，要使剩余部分的面積為850m2道路的寬應為多少？

3.游行隊伍有8行12歹U,后又增加了69人，使得隊伍增加的行、列

數(shù)相同，你知道增加了多少行或多少列嗎?

答案：

1.解：(1)移項，得x2+12x=-25.

配方，得x2+12x+62=-25+36,(x+6)2=11,

即x+6=V11或x+6=-VII.，x_l=V11-6,x_2=-V11-6.

(2)配方，得x2+4x+22=10+22,(x+2)2=14,

即x+2=V14或x2=-V14.

二x_l=V14-2,x_2=-V14-2.

(3)配方，得x2-6x+(-3)2=11+(-3)2,(x-3)2=20,

即x-3=2V5或x-3=-2V5.

，x_l=2V5+3,x_2=-2V5+3.

(4)化簡，得x2-9x=-19,

酉己方，得x2-9x+(-9/2)-2=-19+(-9/2)~2,(x-9/2)

"2=5/4,

即x-9/2=V5/2或x-9/2=-V5/2,

：.x_l=(9+V5)/2,x_2=(9-V5)/2.

2,解：設道路的寬為xm,根據(jù)題意，得(35-x)(26-x)=850.

整理，得x2-61x+(-61/2)2=-60+(-61/2)2.

二(x-61/2)"2=(3481)/4.開平方，得x-61/2=±59/2.

解得x_l=l,x_2=60(不合題意，舍去).

答：道路的寬應為1m.

3.解：設增加69人后，增加的行數(shù)，列數(shù)都是x，則(x+8)(x+12)=69+8

X12.

整理，得x2+20x=69.

配方?得x2+20x+102=69+102.

(x+10)2=169.

開平方，得x+10=±13.

解得x_l=3,x_2=-23（不合題意，舍去）

答：增加的行數(shù)，列數(shù)都是3.

習題2-4

L解下列方程：

(1)6x2-7x+l=0(2)5x2-18=9x

(3)4x2-3x=52(4)5x2=4-2x

2.印度古算書中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲。

八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里;其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)

皮.告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”你能解決這個問題嗎？

派3.如圖，A,B,C,D是矩形的四個頂點，AB=16cm,BC=6cm,動點P

從點A出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，直到點B為止;動點Q同

時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向點D運動何時點P和點Q之間的距

離是10cm?

A1--------

g**c

(第3題)

答案：

1.(1)x_l=l,x_2=l/6.(2)x_l=3,x_2=-6/5.

(3)x_l=4,x_2=-13/4.

(4)x_l=(-1+721)/5,x_2=(-1-721)/5.

2.解：設共有x只猴子，根據(jù)題意，得x=(l/8x)2+12.解得xl=16,

x_2=48.

答：共有16只或48只猴子.

3.

解：如圖2-2-4所示，過點Q作QHJ.AB,垂足為H.設經(jīng)過ts時,

點P和點Q的距離是10cm.

則CQ=2tcm,AP=3tcm.

Y四邊形ABCD是矩形，AZB=ZC=90°.

VZQHB=90°,

二四邊形QHBC是矩形，

,BH=CQ=2t,HQ=BQ=BC=6cm,

PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=(16-5t)cm.

在Rt△PHQ中，ZPHQ=90°,由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2.

當PQ=10cm時，102=(i6-5t)2+62.(16-5t)2=64,

解得t」=8/5,t_2=24/5,

經(jīng)檢驗：t_l=8/5s,t_2=24/5s時都符合題意，所以當t」=8/5s和

t_2=24/5s時，點P和點Q的距離是10cm.

習題2-5

1.不留方程，判斷下列方程的根的情況:

(1)5/+x=7；(2)25/+20*+4=0;

(3)(x+l)(4x+l)=2x

2.用公式法解下列方程：

(1)2x2-4x-l=0；(2)5x+2=3x-；

3

-X

2

3.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一

丈.問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對

角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

4.長方體木箱的高是8dm,長比寬多5dm，體積是528立方分米,求這個木箱的長和

寬.

答案：

1.解：(1)原方程變形為5x2+x-7=0,

這里a=5,b=l,c=-7,因為b2-4ac=l2-4X5X(-7)=141>0,

所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)這里a=25,b=20,c=4.因為b2-4ac=202-4X25X4=0,

所以原方程有兩個相等的實數(shù)根.

(3)原方程變形為4x2+3x+l=0,

這里a=4,b=3,c=l,因為b2-4ac=32-4X4Xl=-7<0,

2.解：(1)a=2,b=-4,c=-l,

b2-4ab=16-4X2X(-1)=24>0,

x=(-b±V(b"2-4ac))/2a=(4+2V6)/4,

x_l=(2+V6)/2,x_2=(2-V6)/2.

(2)5x+2=3x2變形為3x2-5x-2=0.

a=3,b-5,c=-2,

b2-4ac=25-4X3X(-2)=49>0,

x=(-b±J(b2-4ac))/2a=(5±7)/6,

x_l=2,x_2=-l/3.

(3)(x-2)(3x-5)=1變形為3x2-llx+9=0.

a=3,b=-ll,c=9,

b2-4ac=121-108=13>0,

x=(-b±V(b*2-4ab))/2a=(11±V13)/6.

x_l=(ll+V13)/6,x_2=(ll-V13)/6.

(4)0.2x2+5=3/2x變形為0.2x2-3/2x+5=0,

a=0.2,b=-3/2,c=5,

b2-4ac=(-3/2)2-4X0.2X5=-7/4<0,

原方程沒有實數(shù)根.

3.解：設門的高為x尺，則寬為(x-6.8)尺.

根據(jù)題意，得102=x?+(x-6.8)2

整理，得2x2-13.6x-53.76=0.

解得x_l=9.6,x_2=-2.8（不合題意，舍去）.

x=9.6.x-6.8=2.8.

答：門的高度為9尺6寸，寬為2尺8寸.

4.解設木箱的長為xdm,則寬為（x-5）dm,于是有8x（x-5）=528,

解得x_l=ll,x_2=-6（不合題意，舍去）.所以x=ll.所以x-5=l1-5=6.

答：木箱的長為11dm,寬為6dm.

習題2-6

1.在一幅長90cm、寬40cm的風景畫的四周外圍鑲上一條寬度相同

的金色紙邊，制成一幅掛圖，如果要求風景畫的面積是整個掛圖面積

的72%,那么金色紙邊的寬應該是多少？

2.某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m）,另

三邊用木欄圍成，木欄長40nl.

⑴雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m'嗎？

⑵雞場的面積能達到250m?嗎？

如果能，請你給出設計方案;如果不能，請說明理由，

3.如圖，圓柱的高為15cm,全面積（也稱表面積）為200ncm2,那么圓

柱底面半徑為多少？

（第3昭）

派4.如圖,由點P(14,1),A(a,0),B(0,a)(a如)確定的三角形PAB

的面積為18,求a的值。

(第4題)

答案：

1.解設金色紙邊的寬是xcm,根據(jù)題意，得(90+2x)(40+2x)X72%=90

X40,

即x2+65x-350=0,解得x_l=5,x_2=-70(不合題意，舍去).

答：金色紙邊的寬是50cm.

2.解：設雞場的一邊(靠墻的一邊)長為xm,則另外兩邊長均為(40-x)/2m.

(1)若x-(40-x)/2=180,解得x_l=20+2V10(不合題意，舍去)，

x_2=20-2J10.

雞場的面積能達到180m2.

若x-(40-x)/2=200,解得x_l=x_2=20.

二雞場的面積能達到200m2.

(2)若x-(40-x)/2=250,則x2-40x+500=0,方程無實數(shù)根.

...雞場的面積不能達到250m2.

3.解：設圓柱底面半徑為Rem,則15-2nR+2nR2=200n,

解得R_l=5,R_2=-0(不合題意，舍去).

，圓柱底面半徑為5cm.

X4.解：如圖2-3-2所示，過點P做x軸的垂線，垂足為M,根據(jù)題意，

得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma,

即1/2(1+a)X14-1/2a2-l/2XlX(14-a)=18，

解得a_l=3，a_2=12.

所以a的值為3或12.

習題2-7

1.用因式分解法解下列方程：

(l)(4x-l)(5x+7)=0；(2)3x(jr-l)=2-2x；

(3)(2x+3)?=4(2x+3)；(4)2(X-3)2=XZ-9.

2,解下列方程：

(1)5(X2-X)=3(X2+X);(2)(X-2)2=(2X+3)2；

(3)(x-2)(x-3)=12；(4)2x+6=(x+3)2；

(5)2y'+4y=y+2.

3.公園原有一塊正方形空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮

花（如圖），原空地一邊減少了1m,另一邊減少了2m,剩余空地面積為

12n?,求原正方形空地的邊長.

答案:

L解：(1)(4x-l)(5x+7)=0，

4x-l=0,或5x+7=0,

x_l=l/4,x_2=-7/5.

(2)原方程可變形為3x(x-1)+2(x-1)

即(x-1)(3x+2)=0,

X-l=0,或3x+2=0,

Z.x_l=l,x_2=-2/3.

(3)原方程可變形為(2x+3)(2x+3-4)=0,

2x+3=0,或2x-l=0,

x_l=-3/2,x_2=l/2.

(4)原方程可變形為

2(2x-3)2-(x+3)(x-3)=0