《數(shù)字電子技術(shù)》課件第1章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容提要

本章首先介紹數(shù)字電路的一些基本概念及數(shù)字電路中常用的數(shù)制與碼；然后介紹數(shù)字邏輯中的基本邏輯運(yùn)算、邏輯函數(shù)及其表示方法，最后介紹邏輯函數(shù)的化簡。從現(xiàn)在開始，你將跨入數(shù)字電子技術(shù)這一神奇的世界，去探索它的奧秘，認(rèn)識它的精彩。本章內(nèi)容1.1數(shù)制1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換1.3編碼1.4邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯代數(shù)的定律規(guī)矩1.1.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制

用一組統(tǒng)一的符號和規(guī)則表示的數(shù)的方法，稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制。它的概念描述為：把數(shù)分為不同的位數(shù)，逐位累加，加到一定數(shù)量后，再從零開始，同時(shí)向高位進(jìn)位。進(jìn)位計(jì)數(shù)制有三個(gè)要素：數(shù)碼符號，進(jìn)位規(guī)律和進(jìn)位基數(shù)。數(shù)碼符號指進(jìn)位計(jì)數(shù)制用來表示數(shù)的符號，進(jìn)位規(guī)則是指進(jìn)位計(jì)數(shù)制在低位向高位進(jìn)位時(shí)遵循什么法則，進(jìn)位基數(shù)表示進(jìn)位計(jì)數(shù)制所具有的數(shù)字符號的個(gè)數(shù)。1.1.2十進(jìn)制數(shù)的表示

十進(jìn)制數(shù)一共有10個(gè)數(shù)碼符號，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。十進(jìn)制的進(jìn)位基數(shù)為10，表示十進(jìn)制數(shù)一共有10個(gè)數(shù)碼符號。十進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則是由低位向高位進(jìn)位時(shí)“逢十進(jìn)一”，也就是說，每位累計(jì)不能超過9，計(jì)滿10就應(yīng)該向高位進(jìn)1。1.1數(shù)制

進(jìn)位計(jì)數(shù)制中，當(dāng)某一位的數(shù)碼為“1”時(shí)，他所表征的數(shù)值稱為該位的“權(quán)”。從左至右每一位的權(quán)分為是：102、101、100、10-1、10-2。這樣375.38按權(quán)展開式如下

375.38＝3×102＋7×101＋5×100＋3×10-1＋8×10-2

對于十進(jìn)制數(shù)的表示，可以在數(shù)字的右下角標(biāo)注10或D，對于任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N，其按權(quán)展開式如下

(N)D＝an-1×10n-1＋an-2×10n-2＋…＋a1×101＋a0×100＋a-1×10-1＋a-2×10-2＋…＋a-m×10-m

＝

×10i其中，

表示各個(gè)數(shù)字符號，為0～9這10個(gè)數(shù)碼當(dāng)中的一個(gè)；n為整數(shù)部分的位數(shù)；m為小數(shù)部分的位數(shù)。1.1.3二進(jìn)制的表示

數(shù)字系統(tǒng)中常用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制是二進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制數(shù)一共有2個(gè)數(shù)碼符號，即0和1。二進(jìn)制的進(jìn)位基數(shù)為2，表示十進(jìn)制數(shù)一共有2個(gè)數(shù)碼符號。二進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則是由低位向高位進(jìn)位時(shí)“逢二進(jìn)一”。對于二進(jìn)制數(shù)的表示，可以在數(shù)字的右下角標(biāo)注2或B。例如(10010)B就是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)。不同數(shù)位表示的值不同，各位的權(quán)是以2為底的連續(xù)整數(shù)冪，從右向左遞增。對于任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N，其按權(quán)展開式如下在數(shù)字系統(tǒng)中，常用二進(jìn)制來表示數(shù)字和進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)樗哂腥缦聝?yōu)點(diǎn)：（1）二進(jìn)制數(shù)只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，任何具有兩個(gè)不同穩(wěn)定狀態(tài)的元件都可以用來表示一位二進(jìn)制數(shù)。例如晶體管的導(dǎo)通與截至，脈沖信號的“有”與“無”。（2）二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則簡單，其運(yùn)算規(guī)則如下：加法：0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝0（進(jìn)位）減法：0－0＝00－1＝1（借位）1－0＝11－1＝0乘法：0×0＝00×1＝01×0＝01×1＝1除法：0÷1＝01÷1＝1（3）二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)狀態(tài)，數(shù)字的傳輸和處理不容易出錯(cuò)，可靠性高。（4）二進(jìn)制數(shù)碼的0和1，可與邏輯代數(shù)中邏輯變量的值“假”和“真”對應(yīng)起來。也就是可以用一個(gè)邏輯變量代表一個(gè)二進(jìn)制碼，這樣邏輯運(yùn)算中就可以使用邏輯代數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)工具了。1.1.4其他進(jìn)制數(shù)的表示

二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算規(guī)則簡單，便于電路實(shí)現(xiàn)，是數(shù)字系統(tǒng)中廣泛采用的一種數(shù)值。但是二進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)時(shí)，數(shù)位過長，不便于讀寫和記憶，容易出錯(cuò)。因?yàn)?，常常采用的還有八進(jìn)制和十六進(jìn)制，這兩種進(jìn)制便于讀寫和閱讀，而且具有二進(jìn)制的特點(diǎn)，十分容易將他們轉(zhuǎn)為二進(jìn)制數(shù)。八進(jìn)制的基數(shù)是8，采用的數(shù)碼是0、1、2、3、4、5、6、7。計(jì)數(shù)規(guī)則是低位向高位“逢八進(jìn)一”。權(quán)是以8為底的連續(xù)整數(shù)冪，從右向左遞增。由于八進(jìn)制數(shù)碼和十進(jìn)制前8個(gè)數(shù)碼相同，為便于區(qū)分，通常在八進(jìn)制數(shù)的右下角標(biāo)記8或者字母O。例如(53.7)O就是一個(gè)八進(jìn)制數(shù)。十六進(jìn)制數(shù)基數(shù)為16，采用的數(shù)碼是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。其中A、B、C、D、E、F分別表示十進(jìn)制數(shù)字10、11、12、13、14、15。十六進(jìn)制的計(jì)數(shù)規(guī)則是低位向高位“逢十六進(jìn)一”。權(quán)是以16為底的連續(xù)整數(shù)冪，從右向左遞增。為便于區(qū)分，通常在十六進(jìn)制數(shù)右下角標(biāo)注16或數(shù)字后面接H。例如36FA.4BH就是十六進(jìn)制數(shù)。一般來說，對于任意的r進(jìn)制數(shù)。都有r個(gè)數(shù)碼，計(jì)數(shù)規(guī)則為“逢r進(jìn)一”。權(quán)是以r為底的連續(xù)整數(shù)冪，從右向左遞增。其按權(quán)展開式普遍形式如下：表1.1所示為各種常用不同進(jìn)制數(shù)的區(qū)別，表1.2所示常用進(jìn)制數(shù)前16個(gè)數(shù)表1.1常用進(jìn)制英文表示符號數(shù)碼符號進(jìn)位規(guī)則進(jìn)位基數(shù)二進(jìn)制B0、1逢二進(jìn)一2八進(jìn)制O0、1、2、3、4、5、6、7逢八進(jìn)一8十進(jìn)制D0、1、2、3、4、5、6、7、8、9逢十進(jìn)一10十六進(jìn)制H0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F逢十六進(jìn)一16表1.2不同進(jìn)制計(jì)數(shù)制的各種數(shù)碼十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)00000001000111200102230011334010044501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1.2數(shù)字轉(zhuǎn)換

1.2.1其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

在計(jì)算機(jī)和其他數(shù)字系統(tǒng)中，普遍采用的是二進(jìn)制數(shù)，而人們習(xí)慣使用十進(jìn)制數(shù)，所以在信息處理中，必須先把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，然后再將二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為人們所熟悉的十進(jìn)制數(shù)。其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是很方便的，只要將其他進(jìn)制數(shù)寫成按權(quán)展開式，并將式中的各項(xiàng)計(jì)算出來，即可得到相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。例如

(110110.101)B＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＋1×2-1＋0×2-2＋1×2-3＝32+16+4+2+0.5+0.125＝(54.625)D

(5AF.8C)H＝5×162＋10×161＋15×160＋8×16-1＋12×16-2＝1280+160+15+0.5+0.046875＝(1455.546875)D1.2.2十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，需將待轉(zhuǎn)的十進(jìn)制數(shù)分成整數(shù)部分和小數(shù)部分，整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分采用“除二取整法”，即用十進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分除以2，取余數(shù)“1”或“0”作為相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最低位，把得到的商再除以2，取余數(shù)作為二進(jìn)制數(shù)的次低位，依次類推，直到商為0，所得余數(shù)為最高位。小數(shù)部分采用“乘二取整法”，即用十進(jìn)制數(shù)小數(shù)部分乘以2，取其整數(shù)“1”或“0”作為二進(jìn)制小數(shù)的最高位，然后將乘積的小數(shù)部分再乘以2，并再次取整作為二進(jìn)制數(shù)的次高位，依次類推，知道小數(shù)部分變?yōu)?或達(dá)到所要求的精度。例如，將十進(jìn)制小數(shù)0.3125轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù) 余數(shù)

0.3125×2=0.625…0 最高位

0.625×2=1.25…1 0.25×2=0.5…0 0.5×2=1.0…1 最低位注意：運(yùn)算時(shí)，式中的整數(shù)部分不參與連乘。結(jié)果為：(0.3125)--D＝(0.0101)B

1.3編碼

不同的數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的大小，還可以表示不同的事物。用來表示不同事物的數(shù)碼稱為代碼。在數(shù)字系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)中，數(shù)據(jù)和信息都是用二進(jìn)制數(shù)字符號0和1來表示的，指定某一組二進(jìn)制數(shù)去代表某一指定的信息，就稱為編碼。1.3.1二和十進(jìn)制（BCD）碼用二進(jìn)制碼表示的十進(jìn)制數(shù)，簡稱為二---十進(jìn)制碼，也稱為BCD碼，這種編碼具有二進(jìn)制的性質(zhì)，還同時(shí)具有十進(jìn)制的特點(diǎn)。BCD碼又分為有權(quán)碼和無權(quán)碼。有權(quán)BCD碼指每一位十進(jìn)制數(shù)軍用一組四位二進(jìn)制碼來表示，而且二進(jìn)制碼的每一位都有固定權(quán)值。無權(quán)BCD碼指用來表示十進(jìn)制的四位二進(jìn)制碼中，每一位都沒有固定的權(quán)值。下面介紹幾種常見的編碼。表1.3十進(jìn)制常用的二進(jìn)制編碼十進(jìn)制數(shù)碼8421BCD碼2421BCD碼余3碼格雷碼00000000000110000100010001010000012001000100101001130011001101100010401000100011101105010110111000011160110110010010101701111101101001008100011101011110091001111111001101

一8421BCD碼

8421BCD碼是最基本、最簡單的一種編碼，應(yīng)用十分廣泛。這種編碼是將每個(gè)十進(jìn)制數(shù)碼用4位二進(jìn)制數(shù)表示，按自然二進(jìn)制數(shù)的規(guī)律排列，并且制定前面10個(gè)代碼一次表示數(shù)碼0～9。8421BCD碼是一種有權(quán)碼，其中“8421”是指在這種編碼中，代碼從高位到低位的位權(quán)值分別為8、4、2、1。將其代碼為1的數(shù)權(quán)值相加即可得代碼所代表的十進(jìn)制數(shù)。

8421BCD碼對于十進(jìn)制的10個(gè)數(shù)碼的表示與普通二進(jìn)制中的表示完全相同，很容易實(shí)現(xiàn)彼此之間的轉(zhuǎn)換。這種碼具有奇偶特性，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)碼為奇數(shù)值時(shí)，其所對應(yīng)的二進(jìn)制碼最低位為1；當(dāng)十進(jìn)制數(shù)碼為偶數(shù)時(shí)，其所對應(yīng)的二進(jìn)制代碼的最低位為0。必須指出，在8421BCD碼中不允許出現(xiàn)1010～1111這幾個(gè)代碼，因?yàn)樵谑M(jìn)制中沒有數(shù)碼與他們對應(yīng)。二2421BCD碼

2421碼和8421碼相似，也是一種有權(quán)碼，用4位二進(jìn)制數(shù)代表以為十進(jìn)制數(shù)，2421碼的權(quán)從高位到低位，每位的位權(quán)值分別為2、4、2、1。

2421碼是一種“對9的自補(bǔ)”代碼。在這種編碼中，十進(jìn)制數(shù)0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的對應(yīng)碼位，當(dāng)其中一個(gè)為0時(shí)，另一個(gè)就為1，互為反碼。也就是說，2421碼自身按位求反，就能很方便地地道其“對9的補(bǔ)數(shù)”的2421碼。在計(jì)算機(jī)中對十進(jìn)制進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，2421碼的這一特性很有用。需要指出的是，2421碼的編碼方案不止一種，表1.3給出的只是其中的一種。

三余3碼余3碼是一種特殊的8421碼,他是由8421BCD碼加3后形成的，所以稱為余3碼。例如，十進(jìn)制數(shù)4在8421BCD碼中是0100，在余3碼中就成為0111。余3碼的各位無固定的權(quán)。余3碼也是一種“對9的自補(bǔ)”編碼。利用余3碼能很方便的求得某數(shù)“對9的補(bǔ)數(shù)”，即把該讀數(shù)的余3碼自身按位取反，就得到該數(shù)對9的補(bǔ)數(shù)的余3碼。四格雷（Gray）碼格雷碼又稱為循環(huán)碼，它有多種編碼形式，但其共同的特點(diǎn)是，任意兩個(gè)相鄰的代碼之間僅有一位不同，其余各位均相同。格雷碼是一種可靠性編碼。代碼在數(shù)字系統(tǒng)中處理及傳送過程中，都可能發(fā)生錯(cuò)誤，可靠性編碼是一種不易出錯(cuò)，或者出錯(cuò)后容易被發(fā)現(xiàn)的編碼方式。

1.3.2奇偶校驗(yàn)碼

奇偶校驗(yàn)碼是一種能檢驗(yàn)二進(jìn)制在傳送過程中是否出現(xiàn)錯(cuò)誤的編碼。它分為兩部分，一部分是信息位，這就是需要傳送的信息本身；另一部分是奇偶校驗(yàn)位，它使整個(gè)代碼中的1的個(gè)數(shù)按預(yù)先的規(guī)定成為奇數(shù)或偶數(shù)。當(dāng)信息位和校驗(yàn)位中1的總個(gè)數(shù)為1時(shí)，稱為奇校驗(yàn)；當(dāng)1的總個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，稱為偶校驗(yàn)。表1.4中就是由4位信息位和1位奇偶校驗(yàn)位構(gòu)成的5位奇偶校驗(yàn)碼。這種編碼的特點(diǎn)是代碼始終包含奇數(shù)或偶數(shù)個(gè)1。一旦某一代碼在傳輸過程中出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)不是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，就會(huì)被發(fā)現(xiàn)。奇偶校驗(yàn)碼只能檢測一位出錯(cuò)，而不能發(fā)現(xiàn)兩位出錯(cuò)。由于兩位出錯(cuò)的概率遠(yuǎn)小于一位出錯(cuò)，所以用奇偶校驗(yàn)碼檢測錯(cuò)誤是有效的。表1.4十進(jìn)制數(shù)碼的奇偶校驗(yàn)碼十進(jìn)制數(shù)碼帶奇校驗(yàn)的8421BCD碼帶偶校驗(yàn)的8421BCD碼信息位校驗(yàn)位信息位校驗(yàn)位000001000001000100001120010000101300111001104010000100150101101010601101011007011100111181000010001910011100101.3.3字符代碼

計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)不僅有數(shù)字，還有字母、標(biāo)點(diǎn)符號、運(yùn)算符號及其他特殊符號，這些數(shù)字、字母和專用符號統(tǒng)稱為字符。字符都必須用二進(jìn)制代碼來表示。通常，把用于表示各種字符的二進(jìn)制代碼稱為字符代碼。

ASCII碼（美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼）是一種常見的字符代碼。ASCII碼用7位二進(jìn)制數(shù)表示128種不同的字符，其中有96個(gè)圖形字符，他們是26個(gè)大寫英文字母和26個(gè)小寫英文字母、10個(gè)數(shù)字符號及34個(gè)專用符號，此外還有32個(gè)控制字符。使用時(shí)加第8位作為奇偶校驗(yàn)位。

ASCII碼的編碼如表1.4所示。表1.57位ASCII碼編碼表低4位代碼高3位代碼0000010100111001011101110000NULDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2"2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB'7GWgw1000BSCAN(8HXhx低4位代碼高3位代碼0000010100111001011101111001HTEM)9IYiy1010LFSUB×:JZjz1011VTESC＋;K[k{1100FFFS,＜L\l|1101CRGS－＝M]m}1110SORS.＞N^n~1111SIUS/?O_oDEL注：1.4邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

邏輯代數(shù)是從哲學(xué)領(lǐng)域中的邏輯學(xué)發(fā)展而來，人們使用了一套有效的符號來構(gòu)造邏輯四位的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而將復(fù)雜的邏輯問題抽象為一種簡單的符號演算。這一理論由萊布尼茲（Leibniz）最先提出來，喬治·布爾（G.Boole）總結(jié)了前人的研究成果，與1847年在他的著作中對該理論進(jìn)行了系統(tǒng)的論述，也稱為“布爾代數(shù)”。1938年，克勞德·香農(nóng)（C.E.Shannon）將布爾代數(shù)直接應(yīng)用與電話繼電器的開關(guān)電路，提出了“開關(guān)代數(shù)”。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，集成電路邏輯門已經(jīng)取代了機(jī)械觸點(diǎn)開關(guān)，為了與“邏輯門”這一術(shù)語相適應(yīng)，人們更習(xí)慣于把開關(guān)代數(shù)稱為邏輯代數(shù)。目前，邏輯代數(shù)已經(jīng)稱為研究數(shù)字系統(tǒng)不可缺少的重要數(shù)學(xué)工具。1.4.1邏輯變量

邏輯代數(shù)中也是用字母變量。在普通代數(shù)中，變量的取值是任意實(shí)數(shù)，而邏輯代數(shù)是一種二值代數(shù)系統(tǒng)，任何邏輯變量的取值只有兩種可能性——“0”或“1”。這里的“0”和“1”不再像普通代數(shù)那樣具有數(shù)量的概念，而是一種邏輯值，用來表征矛盾的雙份，兩種對立的狀態(tài)，判斷事物的是與非，他是形式符號，并無大小和正負(fù)之分。在數(shù)字系統(tǒng)中，開關(guān)的連通與斷開，晶體管的導(dǎo)通與截止，電壓的高與低，信號的有和無等都可以用邏輯0和邏輯1來表示。4.2基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算只有3種，“或”、“與”、“非”。這3種基本運(yùn)算反應(yīng)了邏輯電路中3種最基本的邏輯關(guān)系，其他任何復(fù)雜的邏輯關(guān)系都是由這3中最基本的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的。一“或“運(yùn)算對于某一邏輯問題，當(dāng)決定一件事情發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備，這件事情就會(huì)發(fā)生。我們把這種因果關(guān)系稱為“或”邏輯?！盎颉边\(yùn)算的邏輯真值表如表1.6所示，。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為表1.6“或”運(yùn)算真值表ABF000011101111

F＝A+B

“或”運(yùn)算的規(guī)則為：“輸入有1，輸出為1；輸入全0，輸出為0”。0+0=01+0=10+1=11+1=1“或”運(yùn)算也可以推廣到多變量：F=A+B+C+…二“與”運(yùn)算對于某一邏輯問題，只有當(dāng)決定一件事情的多個(gè)條件全部具備之后，這件事情才會(huì)發(fā)生。我們把這種因果關(guān)系稱為“與”邏輯?！芭c”運(yùn)算的邏輯真值表如表1.7所示，。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為表1.7“與”運(yùn)算真值表ABF000010100111

F＝A·B

“與”運(yùn)算的規(guī)則為：“輸入有0，輸出為0；輸入全1，輸出為1”。0·0=01·0=00·1=01·1=1“與”運(yùn)算也可以推廣到多變量：F=A+B+C+…三“非“運(yùn)算對于某一邏輯問題，如果某一事件的發(fā)生取決與條件的否定，即事件的發(fā)生與事件發(fā)生條件之間構(gòu)成矛盾，我們把這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯?！胺恰边\(yùn)算的邏輯真值表如表1.8所示，。若用邏輯表達(dá)式來描述，則可寫為表1.8“非”運(yùn)算真值表AF0110

F＝“與”運(yùn)算的規(guī)則為：“輸入為0，輸出為1；輸入為1，輸出為0”。＝1

=01.4.3其他常用邏輯運(yùn)算任何復(fù)雜的邏輯運(yùn)算都可以由這三種基本邏輯運(yùn)算組合而成。在實(shí)際應(yīng)用中為了減少邏輯門的數(shù)目，使數(shù)字電路的設(shè)計(jì)更方便，還常常使用其他幾種常用邏輯運(yùn)算。一“與非”運(yùn)算“與非”運(yùn)算是由與運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。真值表如表1.9所示F＝表1.9“與非”運(yùn)算真值表ABF001011101110二“或非”運(yùn)算“或非”運(yùn)算是由或運(yùn)算和非運(yùn)算組合而成。真值表如表1.10所示

F＝表1.10“或非”運(yùn)算真值表ABF001010100110

三“異或”運(yùn)算“異或”是一種二變量邏輯運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)變量取值相同時(shí)，邏輯函數(shù)值為0；當(dāng)兩個(gè)變量取值不同時(shí)，邏輯函數(shù)值為1。異或的邏輯真值表如表1.11所示。

F＝表1.11“異或”運(yùn)算真值表ABF0000111011101.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.5.1邏輯函數(shù)的建立

例5.1

三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。解：第一步：設(shè)置自變量和因變量。將三人的意見設(shè)置為自變量A、B、C，并規(guī)定只能有同意或不同意兩種意見。將表決結(jié)果設(shè)置為因變量F，顯然也只有兩個(gè)情況。第二步：狀態(tài)賦值。對于自變量A、B、C設(shè)：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量L設(shè)：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表如表1.12所示。由真值表可以看出，當(dāng)自變量A、B、C取確定值后，因變量F的值就完全確定了。所以，L就是A、B、C的函數(shù)。A、B、C常稱為輸入邏輯變量，F(xiàn)稱為輸出邏輯變量。一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C…的邏輯函數(shù)，寫作：F=f（A，B，C…）邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相比較，有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個(gè)值0和1。（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。表1.12例1.5.1真值表ABCF000001010011100101110111000101111.5.2邏輯函數(shù)的表示方法

一個(gè)邏輯函數(shù)有四種表示方法，即真值表、函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。這里先介紹前三種。一真值表真值表是將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。為避免遺漏，各變量的取值組合應(yīng)按照二進(jìn)制遞增的次序排列。真值表的特點(diǎn)：（1）直觀明了。輸入變量取值一旦確定后，即可在真值表中查出相應(yīng)的函數(shù)值。（2）把一個(gè)實(shí)際的邏輯問題抽象成一個(gè)邏輯函數(shù)時(shí)，使用真值表是最方便的。所以，在設(shè)計(jì)邏輯電路時(shí)，總是先根據(jù)設(shè)計(jì)要求列出真值表。（3）真值表的缺點(diǎn)是，當(dāng)變量比較多時(shí)，表比較大，顯得過于繁瑣。二函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式就是由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運(yùn)算符所構(gòu)成的表達(dá)式。由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達(dá)式，方法為：在真值表中依次找出函數(shù)值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個(gè)變量相乘。這樣，對應(yīng)于函數(shù)值為1的每一個(gè)變量組合就可以寫成一個(gè)乘積項(xiàng)。然后，把這些乘積項(xiàng)相加，就得到相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式了。例如，用此方法可以直接由表1.6.1寫出“三人表決”函數(shù)的邏輯表達(dá)式：

反之，由表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)換成真值表，方法為：畫出真值表的表格，將變量及變量的所有取值組合按照二進(jìn)制遞增的次序列入表格左邊，然后按照表達(dá)式，依次對變量的各種取值組合進(jìn)行運(yùn)算，求出相應(yīng)的函數(shù)值，填入表格右邊對應(yīng)的位置，即得真值表。1.6邏輯代數(shù)的定律及規(guī)則

邏輯代數(shù)是一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，他也與普通代數(shù)一樣，有一套完整的運(yùn)算規(guī)則，包括公理、定理和定律，用它們對邏輯函數(shù)式進(jìn)行處理，可以完成對電路的化簡、變換、分析與設(shè)計(jì)。1.6.1邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)有以下9個(gè)定律，表1.12列舉了這9個(gè)定律，其中有的定律和普通代數(shù)相似，有的定律和普通代數(shù)不同，使用時(shí)切勿混淆。1.6.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則邏輯代數(shù)有3條重要規(guī)則，即代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。這些規(guī)則在邏輯運(yùn)算中十分有用。一代入規(guī)則代入規(guī)則的基本內(nèi)容是：對于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。代入規(guī)則的正確性是顯然的，因?yàn)槿魏芜壿嫼瘮?shù)都和邏輯變量一樣，只有0和1兩種可能的取值。利用代入規(guī)則可以方便地?cái)U(kuò)展公式。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：

使用代入規(guī)則必須將等式中所有出現(xiàn)同義變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則帶入后的等式就不成立。二反演規(guī)則將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·

；0→1，1→0；原變量→反變量，反變量→原變量。所得新函數(shù)表達(dá)式叫做F的反函數(shù)，用表示。利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)

例1.6.3求函數(shù)的反函數(shù)。

例1.6.4求函數(shù)的反函數(shù)。

在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號表明，如例1.6.3。變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號保持不變，如例1.6.4。三對偶規(guī)則將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換：

·→＋，＋→·0→1，1→0所得新函數(shù)表達(dá)式叫做F的對偶式，用表示。對偶規(guī)則的基本內(nèi)容是：如果兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等，那么它們的對偶式也一定相等。利用對偶規(guī)則可以幫助我們減少公式的記憶量。例如，表1.14中的公式l和公式2就互為對偶，只需記住一邊的公式就可以了。因?yàn)槔脤ε家?guī)則，不難得出另一邊的公式。

1.6.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法

一邏輯函數(shù)式的常見形式一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。常見的邏輯式主要有5種形式，例如在上述多種表達(dá)式中，與—或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。因此，在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，通常是將邏輯式化簡成最簡與—或表達(dá)式，然后再根據(jù)需要轉(zhuǎn)換成其他形式。

2．最簡與—或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)（1）與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中“+”號最少。（2）每個(gè)與項(xiàng)中的變量數(shù)最少，即表達(dá)式中“·

”號最少。

3．用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)，就是直接利用邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)則進(jìn)行化簡。代數(shù)法化簡沒有固定的步驟，常用的化簡方法有以下幾種。并項(xiàng)法。運(yùn)用公式，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。如

在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。1.6.4邏輯函數(shù)的卡如圖化簡法

本節(jié)介紹一種比代數(shù)法更簡便、直觀的化簡邏輯函數(shù)的方法。它是一種圖形法，是由美國工程師卡諾（Karnaugh）發(fā)明的，所以稱為卡諾圖化簡法。一最小項(xiàng)的定義與性質(zhì)

1．最小項(xiàng)的定義

在n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。其中每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，但只能出現(xiàn)一次。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項(xiàng)共有2n個(gè)。如三變量邏輯函數(shù)F=f（A,B,C）的最小項(xiàng)共有23=8個(gè)，列入表中。從表3.2.2中可以看出最小項(xiàng)具有以下幾個(gè)性質(zhì)：（1）對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而其余各種變量取值均使它的值為0。（2）不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那組變量取值也不同。（3）對于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。（4）對于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為1。

二邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。三．卡諾圖

1．相鄰最小項(xiàng)如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡稱相鄰項(xiàng)。如果兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)量。如

可見，利用相鄰項(xiàng)的合并可以進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡。有沒有辦法能夠更直觀地看出各最小項(xiàng)之間的相鄰性呢？有。這就是卡諾圖?？ㄖZ圖是用小方格來表示最小項(xiàng)，一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，然后將這些最小項(xiàng)按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性?？ㄖZ圖實(shí)際上是真值表的一種變形，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表有多少行，卡諾圖就有多少個(gè)小方格。所不同的是真值表中的最小項(xiàng)是按照二進(jìn)制加法規(guī)律排列的，而卡諾圖中的最小項(xiàng)則是按照相鄰性排列的。2．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）二變量卡諾圖。（2）三變量卡諾圖。（3）四變量卡諾圖。

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性。首先是直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。其次是對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性

例1.6.12用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

解：該函數(shù)為三變量，且為最小項(xiàng)表達(dá)式，寫成簡化形式然后畫出三變量卡諾圖，將卡諾圖中m0、m3、m6、m7對應(yīng)的小方格填1，其他小方格填0。（2）如果邏輯表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與—或表達(dá)式”，可將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可直接填入，直接填入的具體方法是：分別找出每一個(gè)與項(xiàng)所包含的所有小方格，全部填入1。

例1.6.13用卡諾圖表示邏輯函數(shù)圖1.2

圖1.3（3）如果邏輯表達(dá)式不是“與—或表達(dá)式”，可先將其化成“與—或表達(dá)式”再填入卡諾圖。1.6.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法一卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理

（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合（用一個(gè)包圍圈表示），可以消去1個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)，如圖1.4所示。（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合（用一個(gè)包圍圈表示），可以消去2個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)，如圖1.5所示。（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合（用一個(gè)包圍圈表示），可以消去3個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)，如圖1.6所示。圖1.42個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并

圖1.54個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并圖1.68個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并總之，2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去n個(gè)取值不同的變量而合并為l項(xiàng)。二用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，就是在卡諾圖中找相鄰的最小項(xiàng)，即畫圈。為了保證將邏輯函數(shù)化到最簡，畫圈時(shí)必須遵循以下原則：（1）圈要盡可能大，這樣消去的變量就多。但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個(gè)數(shù)盡量少，這樣化簡后的邏輯函數(shù)的與項(xiàng)就少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）取值為1的方格可以被重復(fù)圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

三用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡與—或表達(dá)式。例1.6.15用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：解：（1）由表達(dá)式畫出卡諾圖如圖1.8所示。（2）畫包圍圈合并最小項(xiàng)，得簡化的與—或表達(dá)式:

圖1.7圖1.8注意：圖中的虛線圈是多余的，應(yīng)去掉；圖中的包圍圈是利用了四角相鄰性。

四卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法如果一個(gè)邏輯函數(shù)用卡諾圖表示后，里面的0很少且相鄰性很強(qiáng)，這時(shí)用圈0法更簡便。但要注意，圈0后，應(yīng)寫出反函數(shù)，再取非，得原函數(shù)。例1.6.17已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖1.10所示，分別用“圈0法”和“圈1法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈0法畫包圍圈如圖3.2.13（a）所示，得對取非，得：

（2）用圈1法畫包圍圈如圖3.2.13（b）所示，得：圖1.10（a）圈0的卡諾圖（b）圈1的卡諾圖1.6.6具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡一什么是無關(guān)項(xiàng)例1.6.18在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值表如表1.19所示。表1.19真值表顯而易見，在這個(gè)函數(shù)中，有5個(gè)最小項(xiàng)是不會(huì)出現(xiàn)的，如（三個(gè)燈都不亮）、（紅燈綠燈同時(shí)亮）等。因?yàn)橐粋€(gè)正常的交通燈系統(tǒng)不可能出現(xiàn)這些情況，如果出現(xiàn)了，車可以行也可以停，即邏輯值任意。無關(guān)項(xiàng)；在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)，在卡諾圖中用符號×來表示其邏輯值。帶有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：

L=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）二具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，要充分利用無關(guān)項(xiàng)可以當(dāng)0也可以當(dāng)1的特點(diǎn)，盡量擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。畫出例3.2.10的卡諾圖如圖3.2.14所示，如果不考慮無關(guān)項(xiàng)，包圍圈只能包含一個(gè)最小項(xiàng)，如圖1.11（a）所示，寫出表達(dá)式為如果把與它相鄰的三個(gè)無關(guān)項(xiàng)當(dāng)作1，則包圍圈可包含4個(gè)最小項(xiàng)，如圖1.11（b）所示，寫出表達(dá)式為注意，在考慮無關(guān)項(xiàng)時(shí)，哪些無關(guān)項(xiàng)當(dāng)作1，哪些無關(guān)項(xiàng)當(dāng)作0，要以盡量擴(kuò)大卡諾圈、減少圈的個(gè)數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則。圖1.11(a)不考慮無關(guān)項(xiàng)(b)考慮無關(guān)項(xiàng)例1.6.19某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼（即不可能出現(xiàn)1010～1111這6種輸入組合），其邏輯表達(dá)式為L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15），用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)解：（1）畫出4變量卡諾圖，如圖1.12（a）所示。將1、4、5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號小方格填入×。（2）合并最小項(xiàng)。與1方格圈在一起的無關(guān)項(xiàng)被當(dāng)作1，沒有圈的無關(guān)項(xiàng)被當(dāng)做0。注意，1方格不能漏?！练礁窀鶕?jù)需要，可以圈入，也可以放棄。（3）寫出邏輯函數(shù)的最簡與—或表達(dá)式:如果不考慮無關(guān)項(xiàng)，如圖1.12（b）所示，寫出表達(dá)式為可見不是最簡。圖1.12(a)考慮無關(guān)項(xiàng)(b)不考慮無