大學(xué)一年級(jí)高數(shù)期末考試題及答案

第頁(yè)第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案一．計(jì)算題（本題滿分35分，共有5道小題，每道小題7分），1．求極限．解：2．設(shè)時(shí)，及是等價(jià)無窮小，及等價(jià)無窮小，求常數(shù)及．解：由于當(dāng)時(shí)，及等價(jià)無窮小，所以．而所以，．因此，．3．如果不定積分中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)，求常數(shù)及應(yīng)滿足的條件．解：將化為部分分式，有因此不定積分中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)即．所以，有．比較上式兩端的系數(shù)，有．所以，得．5．計(jì)算定積分．解：所以，．5．設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，求曲線的全長(zhǎng)．解：曲線一周的定義域?yàn)?，即．因此曲線的全長(zhǎng)為二．（本題滿分45分，共有5道小題，每道小題9分），6．求出函數(shù)的所有間斷點(diǎn)，并指出這些間斷點(diǎn)的類型．解：因此及是函數(shù)的間斷點(diǎn)．，，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點(diǎn)．，，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點(diǎn)．7．設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限．解：在區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，知存在，使得所以，．因此，令，則有所以，．8．設(shè)，求．解：在方程中，令，得再在方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，因此，9．研究方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)．解：設(shè)函數(shù)，．令，得函數(shù)的駐點(diǎn)．由于，所以因此，得函數(shù)的性態(tài)⑴若，即時(shí)，函數(shù)在、、內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有3個(gè)實(shí)根．⑵若，即時(shí)，函數(shù)在、內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有2個(gè)實(shí)根．⑶若，即時(shí)，函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有1個(gè)實(shí)根．10．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且滿足試求函數(shù)的極值．解：在方程中令，得，即在方程組中消去，得積分，注意，得．即由得函數(shù)的駐點(diǎn)．而．所以，所以，是函數(shù)極小值；是函數(shù)極大值．三．應(yīng)用題及證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10分），11．求曲線的一條切線，使得該曲線及切線及直線和所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最?。猓涸O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可知曲線在處的切線方程為，或．因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為所以，．得駐點(diǎn)，舍去．由于，因而函數(shù)在處達(dá)到極小值，而且也是最小值．因此所求切線方程為．12．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且證明：至少存在一點(diǎn)，使得．解：因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在，使得由于，所以，．再由，得