彈性力學(xué)簡明教程第三版全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解

第一章楮卷

本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)

一-、彈性力學(xué)的內(nèi)容:彈性力學(xué)的研究對象、內(nèi)容和危困?注意與其它力學(xué)在任

務(wù)、研究對象和研究方法上的相同點(diǎn)及不同點(diǎn).

二、彈性力學(xué)的基本假定、基本fit和坐標(biāo)系

1.為簡化計(jì)算，彈性力學(xué)假定所研究的物體處于連續(xù)的、完全彈性的、均勻的、

各向同性的、小變形的狀態(tài).

2.各種基本量的正負(fù)號規(guī)定.注意彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定與材料

力學(xué)中的正負(fù)號規(guī)定有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn).

外力（體力、面力）均以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?面力的正負(fù)號與所處的面無關(guān)（只

與坐標(biāo)系有關(guān)），注意與應(yīng)力分量正面正向、負(fù)面負(fù)向約定的區(qū)別.

3.五個(gè)基本假定在建立彈力力學(xué)基本方程時(shí)的用途。

難點(diǎn)

建立正面、負(fù)面的概念,確立彈性力學(xué)中應(yīng)力分量的正負(fù)號規(guī)定。

典型例題講解

例1?1試分別根據(jù)在材料力學(xué)中,和彈性力學(xué)中符號的規(guī)定,確定圖中所示

的切應(yīng)力ri.ri?T3的符號?

O：

例1?1圖

2彈怏?力學(xué)的明數(shù)枚（第三?施）金也導(dǎo)母及習(xí)題全*

【解答】（D在材料力學(xué)中規(guī)定，凡企圖使單元或其局部順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力

為正.反之為負(fù).所以,r,.r,為正打八r.為負(fù).

（2）在彈性力學(xué)中規(guī)定,作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以正坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?作

用于負(fù)坐標(biāo)面L的切應(yīng)力以負(fù)坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?，相反的方向均為?fù).所以,c，s，

「3，r4均為負(fù)o

習(xí)題全解

1-1試舉例說明,什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體，什

么是非均勻的各向異性體。

【解答】木材、竹材是均勻的各向異性體;混合材料通常稱為非均勻的各向同

性體?如沙石混凝土構(gòu)件，為非均勻的各向同性體;有生物組織如長骨?為非均勻的

各向異性體.

1-2一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混^土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖

質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？

【解答】一般的混凝土構(gòu)件可以作為理想的彈性體?而鋼筋混凝土構(gòu)件不可

以作為理想的彈性體L?般的巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體，而土質(zhì)地基可以作

為理想的彈性體.

1-3五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？

【解答】（D連續(xù)性假定:引用這一假定以后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物

理量就可看成是連續(xù)的，因此,建立用性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函

數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。

（2）完全彈性假定:引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力

成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，服從胡克定律?從而使物理方程成為線性

的方程。

（3）均勻性假定;在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相

同的.因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模垃E和泊松比〃等）就不隨

位置坐標(biāo)而變化.

（4）各向同性假定:所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相

同的。進(jìn)一步地說,就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化.

（5）小變形假定?我們研究物體受力后的平衡問題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改

變,而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算.同時(shí)，在研究物體的變形和位移時(shí)，

可以將它們的二次器或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性

微分方程.

在上述這些假定下,學(xué)性力學(xué)問題都化為線性問題?從而可以應(yīng)用疊加原理。

1-4應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？鼠分別畫出正面和負(fù)面上的正的

應(yīng)力和正的面力的方向。

?—*紂it3

【解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是:當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的正方向時(shí)（即正

面時(shí)3這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?沿坐

標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù).與此相反.當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面

時(shí)）.這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù).

面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正,沿坐標(biāo)軸的負(fù)方

向時(shí)為負(fù).

解14圖

1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定.

【解答】在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號規(guī)定不盡相同:材料力學(xué)中

規(guī)定,凡企圖使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正；在彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)

面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?作用F負(fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)

方向?yàn)檎?相反的方向均為負(fù).

1-6試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變.

【解答】如梁受拉伸時(shí),其形狀發(fā)生改變，正的應(yīng)力（拉

應(yīng)力）對應(yīng)于正的形變.

1-7試畫出題1-7圖中的矩形薄板的正的體力,面力

和應(yīng)力的方向.

注意：（1）無論在哪一個(gè)位置的體力,在哪一個(gè)邊界面上

的面力，均以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，反之為?fù).（2）邊界面上

的應(yīng)力應(yīng)是以在正坐標(biāo)面上?方向沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，?/p>

4彈性力學(xué)演明數(shù)檢（第三*）金極導(dǎo)學(xué)及習(xí)網(wǎng)全解

（a）體力和曲力,（b）體力和應(yīng)力

之為負(fù)，在負(fù)坐標(biāo)面上?方向沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。

1-8試畫出題1-8圖中的三角形薄板的正的面力和體力的方向.

題］-8圖

第二,平而同題的基洋理卷

本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)

一、兩類平面問題的概念

平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題

名稱

未知量已知量未知量已知量

位移UtVw#0U，0w=0

二九?=0

應(yīng)變<J，￡y，YQ/,?=T?=3=。

￡?=一百5十?！?/p>

r=r,=0，

應(yīng)力%Wy，r?r?=r.=a.=0<7,?<7,tTjcyytx

4o,=〃（％十%）

體力、面力的作用面平行于Q平體力、面力的作用面平行于“》平

外力

面?外力沿板厚均勻分布。面，外力沿Z軸無變化.

物體在一個(gè)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于

沿一個(gè)方向（通常取為Z軸）很長的

形狀其它兩個(gè)方向的幾何尺寸（等厚度

等截面棱柱體（等截面長柱體）.

薄板1

二、平面問題的基本方程

平面問題的基本方程共有八個(gè)，見下表.其中，E,〃,G分別是彈性模量、泊松

P

比和切變模量,G=57TJ.

1十〃）

名稱基本方程表達(dá)式應(yīng)用基本假定

平衡微連續(xù)性，小變

分方程蓼+鬻巖+既形,均勻性

幾何Du3vdu?3v連續(xù)性，小變

-F‘，=熱，，”=豆+石?

方程形?均勻性

6“忸■力學(xué)演明收桎（第三版）金松導(dǎo)學(xué)及習(xí)國金解

續(xù)表

名稱基本方程表達(dá)式應(yīng)用基本假定

平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題

_1、連續(xù)性?小變

€*=三z（。?一/＞）.

物理形，均勻性，

_1、

方程-一二豆（z%——完全彈性，

各向同性

1

y"=不riy?y~亍T2O

三、平面問題的邊界條件

彈性力學(xué)平面問題的邊界條件有三類，如下表.其中S..S.分別表示面力、位

移已知的邊界，/和m則是邊界面的方向余弦.

位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件

u="S.上

|d+mr”=?S上

產(chǎn)+mr“=7?，5上

ur^-hw,=/,.

1%+鞏=九?-

四、平面問題的兩條求解途徑

1.處理平面問題時(shí)?常用按位移求解和按應(yīng)力求解這兩條途徑.在滿足相應(yīng)

的求解方程和邊界條件之后，前者先求出位移再用幾何方程、物理方程分別求出應(yīng)

變和應(yīng)力，后者先求出應(yīng)力再由物理方程、幾何方程分別求出應(yīng)變和位移.

2.按位移求解平面問題?歸結(jié)為在給定邊界條件F,求解以位移表示的平衡微

分方程（平面應(yīng)力情況）：

?號（票+寧奈+守懸）=。，

“號佛+寧驍+*懸）=。?

3.按應(yīng)力求解平面問題，除運(yùn)用平衡微分方程外，還需補(bǔ)充應(yīng)變相容方程，該

方程可用應(yīng)變或應(yīng)力分量表示.

用應(yīng)力表示的相容方程：

一般情況下：

V:（a,+%）="—（1+〃）（*?+*§）?平面應(yīng)力問題

▽%+%）=一（心/（蒙+粉）。平面應(yīng)變沖值

第二案平面阿邂的修本m論7

常體力情況下,

V"%+%）=0?

用應(yīng)變表示的相容方程：

???，?31一嘰

dy2dxldxdy*

接應(yīng)力求解常體力情況下的兩類平面問題?歸結(jié)為在給定邊界條件下?求解如

下的偏微分方程組?若是多連通（開孔）物體?相應(yīng)的位移分量需滿足位移單值條件：

符+零+/，=。，

卷+窘+八=。，

▽"%+力）=0.

五、關(guān)于位移解法、應(yīng)力解法及應(yīng)變相容方程

1.彈性力學(xué)問題按位移求解（或按位移、應(yīng)變、應(yīng)力同時(shí)求解）時(shí)?應(yīng)變相容方

程能自行滿足。按應(yīng)力求解時(shí)?為保證從幾何方程求得連續(xù)的位移分量?需補(bǔ)充應(yīng)

變相容方程，是保證物體（單連體）連續(xù)的充分和必要條件。對于多連體?只有在加

上位移單值條件，才能使物體變形后仍保持為連續(xù)體.

2.按位移求解時(shí)需聯(lián)立求解二階偏微分方程，雖在理論上講適用于各類邊界

條件，但實(shí)際運(yùn)用時(shí)較難得到精確滿足位移邊界條件的解析解.因此，使其在尋找

精確解時(shí)受到了限制。然而，這?方法在數(shù)值解法中得到了廣泛應(yīng)用。

3.應(yīng)力解法通常適用于應(yīng)力邊界條件或僅在局部給定位移的混合邊界條件.

由于可引入應(yīng)力函數(shù)求解，故在尋找平面問題的解析解時(shí).用此法求解比按位移求

解容易。

4.在按應(yīng)力解法求解的方程組中并不隱含彈性常數(shù)，因此,按應(yīng)力求解單連通

平面彈性體的應(yīng)力邊界問題時(shí)，其應(yīng)力解答與E.“.G無關(guān)（但應(yīng)變、位移分量與彈

性常數(shù)有關(guān)），即應(yīng)力與材料性質(zhì)無關(guān)。這意味著不同彈性材料的物體（不論是屬

于平面應(yīng)力問題，還是屬于平面應(yīng)變問題）,只要在卬平面內(nèi)具有相同的形狀、約

束和荷載,那么,*的分布情況就相同（不考慮體力）.可以證明：對于多連

通（開孔）物體，若作用在同一邊界上外力的主矢為零,上述結(jié)論也成立。

難點(diǎn)

一、兩類平面問題的異同點(diǎn)。

二、圣維南原理的適用范圍,對其定義的把握。在利用圣維南原理在小邊界

（次要邊界）上局部放松?使應(yīng)力邊界條件近似滿足時(shí)，注意主矢（主矩）的正負(fù)號規(guī)

定:應(yīng)力合成的主矢（主矩）與外力主矢（主矩）方向一致時(shí)取正號?反之取負(fù)號。

三、列出應(yīng)力邊界條件.

8J*帙力學(xué)藺明效松（H三版）金槿5#及習(xí)?金X

典型例題講解

例2?1已知薄板有F列形變關(guān)系：，=AzA￡、=BV，y?=C-Dy'式中

A.B.C.D皆為常數(shù),試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件.若滿足并列出應(yīng)力

分量表達(dá)式.

【解】（】>相容條件：

將形變分量代人形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）

"4?乜二嘰

dyzdx2'

其中=°，=°，垓字=°。

djredxdy

所以滿足相容方程，符合連續(xù)性條件。

（2）在平面應(yīng)力問題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為

*=f一下（―+—>=T-E-2（.Ary+/xBy?

*=[上*i（￡,+-）=]（/iAxy+ByD?

j=Gy“=G（C-D/）.

（3）平衡微分方程

翡+/,=%

言+?+/,=。?

其中空=巖*色=「^<3By—血）,

■=。'=-2GDy.

若滿足平衡微分方程,必須有

[■^y-2GDy+f.=0.

廠一"

C

]（3By?4-/xAj）+/,=0.

分析:用形變分it表示的應(yīng)力分量,滿足了相容方

程和平衡微分方程條件,若要求出常數(shù)A,B?C.D還

需應(yīng)力邊界條件.

例2?2如圖所示為一矩形截面水壩,其右側(cè)面

受好水壓力（水的密度為P）.頂部受集中力P作用.

第二*平面問題的事本理論9

試寫出水現(xiàn)的應(yīng)力邊界條件.

【解】根據(jù)在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系

左側(cè)面t（*）,?》=了*《V）=0.4.）*■*=f、（?y）=0，

右側(cè)面：Q,）.?T=7,<y）=一pgy，（rXv）x--A0—3=0?

上下端面為小邊界面，應(yīng)用圣維南原理,可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。上

端面的面力向截面形心。簡化，得面力的主矢量和主矩分別為FN.F’,M,,

F、=Psina,Fs=-Pcosa,Mo=華sina?

y=0坐標(biāo)面,應(yīng)力主矢量符號與面力主矢量符號相反，應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)

向相反。所以

|A（外）,=odx=—FN=-Psina,

[《%），=oN（lr——Me工—I*PAsina,

J-44

[）,=odx=-Fs=Pcosa?！?/p>

J-A

下端面的面力向截面形心D簡化,得到主矢18和主矩為

/2

FN=-Psina.Fs=Pcosa----

M[>=P/cosa-粵sina一冬pg.

y=/坐標(biāo)面,應(yīng)力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同.所以

JA（%）,?<tr=FN=-Psina,

f*],3

J&）y?ixdLr=MD=P/cosa—yPAsina----"g,

JrCQ…業(yè)=Fs=Pcosa-多圖?

分析：（D與坐標(biāo)軸平行的主要邊界只能建立兩個(gè)等式,而且與邊界平行的應(yīng)

力分量不會(huì)出現(xiàn).如在左、右側(cè)面?不要加入（八九-=0或——=0。

（2）在大邊界上必須精確滿足應(yīng)力邊界條件，當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法精

確滿足時(shí).可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為筒

化.應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者

方向一致時(shí)取正號,反之取負(fù)號。

習(xí)題全解

2-1如果某一問題中-rty=0,只存在平面應(yīng)力分量,r“，且

它們不沿N方向變化,僅為工u的函數(shù)?試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力問題？

10力學(xué)加明敦根（第三版）全權(quán)導(dǎo)學(xué)及習(xí)H金就

【解答】平面應(yīng)力問題.就是作用在物體上的外力.約束沿N向均不變化，只

有平面應(yīng)力分量（,?%"0）,且僅為工~的函數(shù)的彈性力學(xué)問題.所以此問圖是平

面應(yīng)力問題。，

2-2如果某一問題中?—=71?>=72=0,只存在平面應(yīng)變分量一?一?

7”.且它們不沿z方向變化,僅為i.y的函數(shù)?試考慮此問題是否就是平面應(yīng)

變問胭？

【解答】平面應(yīng)變問題,就是物體截面形狀、體力、面力及約束沿？向均不變.

只有平面應(yīng)變分量（￡,，￡,.7”）.且僅為/，3的函數(shù)的彈性力學(xué)問題?所以此問題

是平面應(yīng)變問題。

2-3試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中?題2?3

圖?其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況，

【解答】在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中,可以認(rèn)為在該薄

層的上下表面都無面力?且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有*=r?=r0=0,只存在平面

應(yīng)力分城叫，力.r°，且它們不沿z向變化.僅為工~的函數(shù)?？烧J(rèn)定此間即是平

面應(yīng)力問題。

2-4試分析說明?在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄

板中，題27圖?當(dāng)板上只受向的面力或約束?且不沿厚度變化時(shí)?其應(yīng)力狀

態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況.

題24圖

【解答】板上處處受法向約束時(shí)3=0,且不受切向面力作用，則y?=y'=o

（相應(yīng)r0=ro=0）;板邊上只受r.y向的而力或約束?所以僅存在c,，一，人,且不

沿厚度變化?所以其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況.

2-5在題2-5圖的微分體中.若將對形心的力矩平衡條件ZMc=0?改為對

第二皋平面間反的事本逐詒11

角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？

題2-5圖

【解】將對形心的力矩平衡條件EM,=0,改為分別對四個(gè)角點(diǎn)A,B.D.E

的平衡條件.為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為一個(gè)單位。

XMA=o.

力drX1X學(xué)+(*4--dx)dyX1X學(xué)一(「”)dyXIXdx

+(。―+^^血)ctrXIXdy-(%+攀dy)&XIX亨—<r,dyXIX當(dāng)

(a)

+/,drd_yXIX——/vdrdyXIX-=0.

XM”=0,

(〃+翁dr)d_yXI次學(xué)+(I+專打)加*1—4y+

(力+全力)<LrX1X當(dāng)一jdyX1Xdr'-ardyX1X與—(b)

*drXIX華+/,dxdyX】X學(xué)+—dxdyXIX竽=0.

ZM[)=0,

(力+言力)業(yè)X1X~一.“dyXIXdr+o*dyX1X學(xué)+

ry,drX1Xdy-(yvcLrX1X與一(%+^^cLr)d),X1X當(dāng)—(c)

f,drdyXIX冬+f,(lrdyXIX竽=0.

SME=O,

JQ+養(yǎng)dy)drX1X+”,dyX1X*+r>,drX1Xdy+%drXIX

12“性力學(xué)洵明敷更（第三uia）余核導(dǎo)學(xué)及習(xí)H全解

1

y_（%+爹dr）dyX1X-^—（r?+苦dr）dyX1Xdr-f,drdyXIX

學(xué)十八業(yè)出X1X華=0。（d）

略去式（a）、（b）、（c）和式（d）中三階小量（亦即<fxdy.dx^y都趨于零），并將各式

都除以dr力后合并同類項(xiàng)，分別得到

r”=J?

2-6在題2-5圖的微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的,

試問將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？

【解】微分單元體ABCD的邊長dz,d》都是微量,因此可以假設(shè)在單元體各

面上所受的應(yīng)力如圖（a）示,忽略了二階以上的高階微量?而看作是線性分布的.如

圖（b）示.為計(jì)算方便?單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位.

各點(diǎn)正應(yīng)力，

0n一

Tlf

lrj

I

UXUIIMUMB

B

T

T[

.-k

也）

解2-6圖

Q/）A=%，《力》A=Oy；

（力）B=%+粉必，（%）s=%+粉dy；

（%）Q=o,+^^dz,（力力=<7,+養(yǎng)dr；

Q,〉c=%+養(yǎng)&+符”?（%）c=%+若業(yè)+符dy.

各點(diǎn)切應(yīng)力，

）A=r,9.（I）A=T,,：

（ru）B=r”+-^dy，（j）B=Ty,+^^力；

（r"）&=r<y4--^^dx.（r?）c=r”+-J^dr，

需二/平E同18的木本理論13

（r”）c=仁，+養(yǎng)&+警力，（fk〉c=「”+作"+得打.

由微分單元體的平衡條件￡F,=0,2F,=0得

｛_｝［%+（%+言的）］）dy十償［（%卜翁dr）

+（。，+養(yǎng)乙+含的）］｝3一（虹~+上+窘dr）］.

+(l[(r>>+得力)+卜”+笠&+警dy)]}dr+/,drdy

=0,

卜十"+（。,+言&）］｝&+｛+［（*+舞動(dòng)

+（%+柴改+言打）］｝"+（r?+'；jdy）］｝dy

+|l［（r?+若L）+卜,+警力+爭&）］）3+f,drd>

=0.

以上二式分別展開并約簡,再分別除以dzdy.就得到平面問翹中的平衡微分

方程

2-7在導(dǎo)出平面向胭的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方

程的適用條件是什么？

【解答】（D在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假定

是：物體的連續(xù)性，小變形和均勻性?

在兩種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中,平衡微分方程和幾何方程都

適用。

（2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是:物體的連續(xù)性,完全彈

性,均勻性，小變形和各向同性?即物體為小變形的理想彈性體，

在兩種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中的物理方程不一樣,如果將平面

應(yīng)力問題的物理方程中的E換為言了小換為之.就得到平面應(yīng)變問胭的物理

方程.

2-8試列出題2-8圖（《）.期2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件.在其端

部邊界上,應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。

【解】（1）對于圖（a）的向鹿

14彈性力學(xué)演明致桎（第三款）仝柱導(dǎo)學(xué)及習(xí)超全科

在主饕邊界X=O.X-h上.應(yīng)精確滿足下列邊界條件,

（%）.=（?=-豳>?（丁”）…=0;

《%）…=-W?…=0.

在小邊界（次要邊界）y=0上?能精確滿足卜列邊界條件?

<%>v-n=-pM,<r>r）=0。

在小邊界（次要邊界）y?心上?方位移邊界條件：（“）,04=0.（&）八與=0.

這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理?改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替.

當(dāng)板厚6=1時(shí).

J<a,>y-*2<lr=pg（A|+h?）b.

?［《％》一上產(chǎn)dx*0,

￡<ryr）…與業(yè)=0.

?2?8圖

（2）對于圖（b）所示問題

在主要邊界>=±h/2上?應(yīng)精確滿足下列邊界條件：

（%>>一"4=0,（r^=_Q1，

（Sv）y_—*/*==—q?（Tu）,=f2=0。

在次要邊界*=o上.應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件?當(dāng)板摩

6=1時(shí)，

JT.（力）…力=-F、，

,]*_,《%),=oydy=-M,

在次要邊界/=/上，有位移邊界條件：（“）,—=0.?）,』=0。這兩個(gè)位移

邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替

基二立平面問我的基本理論15

匚」。，)一心=磯—八?

《%),川力=—M-FJ-*?

J—*2ZL

J<r,v),-.rdj=■一ql一孰?

2-9試應(yīng)用圣維南原理?列出題2-9圖所示的兩個(gè)問胭中(M邊的三個(gè)積分

的應(yīng)力邊界條件,并比較兩者的面力是否靜力等效？

題2-9圖

【解】(D對于圖(a),上端面的面力向截面形心簡化，得主矢和主矩分別為

八=q6/2?Fs=0.M=，詈(5r)&r=—qb?/12?應(yīng)用圣維南原理,列出三

個(gè)枳分的應(yīng)力邊界條件,當(dāng)板厚<5=1時(shí)，

j(心)>.odr=—qb/2.

<j(*)-oidj=q加/12,

[JT2(r”>?idr=0?

(2)對于圖(b).應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,當(dāng)板厚S=1時(shí).

J(%),=odLr=一馳/2,

<J(*=#/12,

j)y.ocLr=0.

所以.在小邊界QA邊上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同.這兩個(gè)問

16彈性力學(xué)藺明數(shù)極（茶三瓶）全棧導(dǎo)學(xué)及習(xí)fl!全解

題為靜力等效的。

2-10檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（1）用位移表示的平衡微分方程

上（含+寧券+*就）+"。，

缶一+〒票+字懸）+“。?

（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件

言也袈+虛）+"*寧既+給卜力丁

,.（在S?上）

當(dāng)口原+假）+,〒第+機(jī)1f.

（3）位移邊界條件

（u）,Na,（V）,=V.（在5.上）

2-11檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（1）平衡微分方程

（2）相容方程

+%）=-"+"）（養(yǎng)+粉）.

（3）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件,s=s.）

/（d+mj），=乙，/夫,x

（.f（在3=S上）

1（皿十/r”），=九?t

（4）若為多連體?還須滿足位移單值條件.

2-12檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力函數(shù)0是否為正確解答的條件是什么？

【解】應(yīng)力函數(shù)須滿足以下條件

（1）相容方程

V*<J>=0.

（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件?$=$?）

H-mr?>,=.

{7（在$=力上）

（<WVf-hr,）,=fy.

（3）若為多連體,還須滿足位移單值條件.

求出應(yīng)力函數(shù)。后,可以按下式求出應(yīng)力分量，

s=每一/>，力=5?一/0'、=Sxdy'

第二案平面間M的a本理論17

2-13檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：

（a）@2-13圖（a）,%=gq，*=rr二。?

（b）02-13圖M由材料力學(xué)公式必0卷,“=等（取梁的厚度6=1）.

得出所示問題的解答：

%=-2q舒，丁”=一舞（爐-4九

又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出

_3qiy八x>3qx

%―彳仄-2q市一方。

試導(dǎo)出上述公式,并檢驗(yàn)解答的正確性.

【解】按應(yīng)力求解時(shí)（本題體力不計(jì)），在單連體中應(yīng)力分量外必須滿

足:平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件（假設(shè)$="）.

⑴題2-13圖⑸0=方qg=ro=0.

①相容條件:將應(yīng)力分量代人相容方程，教材中式（2-23）

（備+券）（*+9>=1?X0，

不滿足相容方程.

②平衡條件:將應(yīng)力分量代入平衡微分方程

言+需=。，

'粉+窘=。?

顯然滿足.

③應(yīng)力邊界條件:在H=±。邊界上，

=（下“）*=裁=。。

在y=±6邊界上，

《力）,皿獷h。，“〃），"="=。.

滿足應(yīng)力邊界條件。

⑵題2-13圖（b）,由材料力學(xué)公式.*=%，r“=皆（取梁的厚度&=1），

得出所示問題的解答孫=一2q家,r”一?言又根據(jù)平衡微分

方程和邊界條件得出a,=學(xué)會(huì)'-2qJTT~^~j.試導(dǎo)出上述公式,并檢驗(yàn)解答的

￡rIflin4H

正確性.

18嫌性力學(xué)簡明敷程（第三版）金根導(dǎo)學(xué)及習(xí)到全科

題2?13圖

①推導(dǎo)公式：

在分布荷栽的作用下,梁發(fā)生彎曲變形，梁橫截面是寬度為1?高為人的矩形.

其對z軸（中性軸）的慣性矩為h=差，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和

剪力方程分別為MJ）=$，—%

所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

3

M（J:）V°xy

°'=~T.------Tq肝,

r“=喙2（一務(wù)）一學(xué)融―八

根據(jù)平衡微分方程的第二式（體力不計(jì)）

.+.=。，

得到

%=4*一2<7/+A?

根據(jù)邊界條件（*）,-*,?=0,

得A=一好，

所以?=的紅一2。士一里三

②相容條件：

將應(yīng)力分量代入相容方程

（或+給——云。?

不滿足相容方程。

③平衡條件：

票二塞平面同題的孤本設(shè)論19

將應(yīng)力分貴代人平衡微分方程顯然滿足。

④應(yīng)力邊界條件：

在主要邊界y=士人/2上,應(yīng)精確滿足卜列邊界條件：

(。>),h—hfl1*《T"j1r),=T/2=。0

(%),-*々=0.=0。

自然滿足.

在”=0的次要邊界上?外力的主矢量.主矩都為零.有三個(gè)枳分的應(yīng)力邊界

條件：

0/2產(chǎn)

L“Q,〉,idy=0，L“<%〉，7dy=0,

)匚“…dy=0.

在工=/次要邊界上，(〃)-/=0,(>),?，=0.這兩個(gè)位移邊界條件可以改

用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替.

J.2(%),_,dy=Jf“-2q/dy=0,

“J:5L刁二一2q京加工一哈.

J-a-T二-￥君⑴一4戶出=一￥.

所以.滿足應(yīng)力的邊界條件.

雖然上兩圖中的應(yīng)力分量都滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件,但都不滿足

相容方程,所以兩題的解答都不是問題的解.

2-14試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上,正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個(gè)主

應(yīng)力的平均值.

【證明】任意斜截面上.的切應(yīng)力為r,=/m<6—6〉，其中6，G為兩個(gè)主

應(yīng)力.

用關(guān)系式八+m?=l消去m,得

r.=±/?/1—z2-6)=±je—4(6—6)=±J}--尸)㈤-6).

由上式可見.當(dāng)十一廠=0時(shí)”.為最大和最小.于是得I-±JJ.

而%=八(G-6)十。2，得到="^金?

2-15設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，試求62—，

(a)(yx=100,%=50,rjy=10/50;

(b)%=200,力=0,=-400;

20舞M力學(xué)前明效植（第三J?）金枚導(dǎo)學(xué)及習(xí)餐全解

(c)”=-2000,*=1000,r,y=-400j

(d)w=-1000.%=—1500,rx,=500.

【解】根據(jù)教材中式（2-6）和tana,二51二2可分別求出主應(yīng)力和主應(yīng)力的

方向：

3）%=100,ay=50,r?==10>/50；

;卜100^50土.1^9）2+（10^7.

得

<b)

::卜咿土J（毛）丁+《二嬴,

o\—a,-691+1000NQ

tana,=F-=-500—=0A-618-

得Ox=-691.“二-1809,ai=31*43\

2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計(jì)?在全部邊界上（包括孔口

邊界上）受有均勻壓力q.試證乙=*=一。及r”=。能滿足平衡微分方程、相容

方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答.

第二*平面內(nèi)題的事本理論21

解276圖

【證明】(1)將應(yīng)力分量=-q.r”=0和/,=八=0分別代入平衡

微分方程、相容方程

■+需+….

</儲(chǔ))

用+*+八=。??

(3+弄)<%+%)-《1+小空+駕)=0.⑸

顯然式(a)、(b)是滿足的。

(2)對于微小的三角板A,dz,dy都為正值?斜邊上的方向余弦Z=COS(%N).

m=cos(〃.y),將%=%=-q,r1y=0代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式

八包+mj),=/*《5),,、

,r(0

I(w,+ITJ9),=/,($)?

則布'

011cos(n,x)=-qcos(ntx)*

%cos(〃，y)=-qcos

所以%=-q,。,=—g?

對于單連體?上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件.

(3)對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。

該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量久=-q及下0=0代入物理

方程，教材中式(2?12),得形變分量

(〃―1)C

=Eq，y”=。。

然后，將式(d)的形變分量代入幾何方程.教材中式(2-8),得

du(〃一】)dv(隰一1)dv.8u八

si=-E-g'石豆=①

22彈位力學(xué)福明數(shù)桎I第三麻)全程與學(xué)及習(xí)現(xiàn)全JW

前二式的積分得到

U-"宜―'r+/i(y)，0=、￡飛"qy+'2(N)，(f)

其中的人和人分別是丫和1的待定函數(shù)?可以通過幾何方程的第三式求出。

將式(力代人式”)的第三式，得

_d/1(y)_df,(JC)

dydr

等式左邊只是y的函數(shù)?而等式右邊只是工的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于

同,個(gè)常數(shù)3.于是有

”《y)d/2(j)

-37^=i-

積分以后得

/i(>)=—<?y\u(>?/zCxJ^cur-Fv0.

代人式(f)得位移分址

(〃一］)

u=~￡-9"—wy+“0?

,<<-1)")

v=--.